Уравнение точки пересечения прямой плоскость треугольника

Пересечение прямой с плоскостью в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Пересечение прямой с плоскостью:

Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью:

1. прямая — проецирующая, плоскость — общего положения;
2. прямая — общего положения, плоскость — проецирующая;
3. прямая и плоскость — общего положения.

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

При решении задач на определение точки пересечения проецирую- щей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой

Алгоритм решения

1. Так как прямая — горизонтально- проецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вы- рожденной проекцией прямой Отметим горизонтальную проекцию
2. Фронтальную проекцию определим по принадлежности точки K плоскости (задача 3).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4.

Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения с проецирующей плоскостью (рис. 51).

Алгоритм решения

1. Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость — фронтально- проецирующая, следовательно, проекция определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости
2. Горизонтальную проекцию определим по принадлежности точки K прямой (задача 1).

Видимость прямой относительно плоскости при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2.

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения выполним следующие операции:

1. Заключим прямую во вспомогательную плоскость (рис. 52). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость.

2. Строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости — прямую m. 3. Определим точку пересечения K прямой линии с построенной линией m.

Так как линия m принадлежит заданной плоскости следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой с плоскостью

Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа п. 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а.

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения (ABC) с проецирующей плоскостью

При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости.

Алгоритм решения

1. Определим фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (рис. 53, б).
2. Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости (задача 2).

• Заказать чертежи

Задача:

На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения  (ABC) (рис. 54, а).

Алгоритм решения

1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии совпадет с вырожденной проекцией плоскости (рис. 54, б).

2. Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (см. рис. 53).

3. Определим проекции точки пересечения K прямой линии с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом:

• отметим проекцию
• на пересечении и линии проекционной связи отметим проекцию (рис. 55, б).

4. Определим видимость прямой относительно плоскости

Точка K делит прямую на две части — видимую и невидимую (плоскость считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на и под плоскостью при проецировании на (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией.

Определим видимость прямой при проецировании на плоскость по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций можно сделать вывод, что точка 3, принадлежащая — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций эту часть прямой отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией.

Видимость прямой при проецировании на плоскость определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций этот участок прямой отметим основной линией.

• Пересечение прямой с поверхностью
• Пересечение поверхностей
• Способы преобразования чертежа
• Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость
• Отображение пространственных объектов на плоскость
• Моделирование линии на эпюре Монжа
• Моделирование плоскости на эпюре Монжа
• Моделирование поверхностей на эпюре Монжа

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости — примеры нахождения

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая параллельна плоскости;
• прямая пересекает плоскость.

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Вычислить, может ли точка М 0 с координатами — 2 , 3 , — 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 — 1 = y — 3 = z + 2 3 с плоскостью x — 2 y — z + 3 = 0 .

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Представим координаты точки — 2 , 3 , — 5 и получим:

— 2 + 3 — 1 = 3 — 3 = — 5 + 2 3 ⇔ — 1 = — 1 = — 1 — 2 — 2 · 3 — ( — 5 ) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 — точка пересечения заданной прямой с плоскостью.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.

Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x — y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x — z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.

Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x — y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x — z + 7 = 0 .

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Возьмем систему уравнений вида x — y = — 3 5 x + 2 z = — 8 3 x — z = — 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что

∆ = 1 — 1 0 5 0 2 3 0 — 1 = 1 · 0 · ( — 1 ) + ( — 1 ) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 — 0 · 0 · 3 — 1 · 2 · 0 — ( — 1 ) · 5 · ( — 1 ) = — 11

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

∆ x = — 3 — 1 0 — 8 0 2 — 7 0 — 1 = ( — 3 ) · 0 · ( — 1 ) + ( — 1 ) · 2 · ( — 7 ) + 0 · ( — 8 ) · 0 — — 0 · 0 · ( — 7 ) — ( — 3 ) · 2 · 0 — ( — 1 ) · ( — 8 ) · ( — 1 ) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 — 11 = — 2 ∆ y = 1 — 3 0 5 — 8 2 3 — 7 — 1 = 1 · ( — 8 ) · ( — 1 ) + ( — 3 ) · 2 · 3 + 0 · 5 · ( — 7 ) — — 0 · ( — 8 ) · 3 — 1 · 2 · ( — 7 ) — ( — 3 ) · 5 · ( — 1 ) = — 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 11 — 11 = 1 ∆ z = 1 — 1 — 3 5 0 — 8 3 0 — 7 = 1 · 0 · ( — 7 ) + ( — 1 ) · ( — 8 ) · 3 + ( — 3 ) · 5 · 0 — — ( — 3 ) · 0 · 3 — 1 · ( — 8 ) · 0 — ( — 1 ) · 5 · ( — 7 ) = — 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = — 11 — 11 = 1

Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение ( — 2 , 1 , 1 ) .

Ответ: ( — 2 , 1 , 1 ) .

Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.

Найти точку пересечения прямой z — 1 = 0 2 x — y — 2 = 0 и плоскости 2 x — y — 3 z + 1 = 0 .

Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z — 1 = 0 2 x — y — 2 = 0 2 x — y — 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.

Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 — 1 0 2 — 1 — 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 — 1 0 2 2 — 1 — 3 — 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 — 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 — 1 0 2 — 1 — 3 = 0 , 0 1 1 — 1 0 2 — 1 — 3 — 1 = 0

Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z — 1 = 0 2 x — y — 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x — y — 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y — 4 = 0 и плоскости x + 4 y — 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.

Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y — 4 = 0 x + 4 y — 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем

x + z + 1 = 0 2 x + y — 4 x + 4 y — 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = — 1 2 x + y = 4 x + 4 y — 7 z = — 2 ⇔ ⇔ x + z = — 1 y — 2 z = 6 4 y — 8 z = — 1 ⇔ x + z = — 1 y — 2 z = 6 0 = — 25

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y — 4 = 0 с плоскостью x + 4 y — 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Найти координаты точки пересечения прямой x = — 1 + 4 · λ y = 7 — 7 · λ z = 2 — 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z — 2 = 0 .

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

— 1 + 4 · λ + 4 · 7 — 7 · λ + 2 — 3 · λ — 2 = 0 ⇔ — 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .

x = — 1 + 4 · 1 y = 7 — 7 · 1 z = 2 — 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = — 1

Ответ: ( 3 , 0 , — 1 ) .

Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.

Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой («канонический» или «параметрический» ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

• Содержание
• 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде.
• 2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
• 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

,

(3)

(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

(7)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

(8)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

(10)

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

(11)

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

(13)

Откроем скобки и найдем t:

(14)

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

(15)

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

(17)

(18)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

(21)

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

(22)

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

(24)

(25)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

(28)

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

(29)

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

(30)

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.