Уравнение тонкой собирающей линзы через показатель преломления

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой .

Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими . Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше (рис. 3.3.1).

Рисунок 3.3.1.

Прямая, проходящая через центры кривизны и сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы. В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы . Луч света проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями .

Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке , которая называется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, расположенных симметрично на главной оптической оси относительно линзы. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, после прохождения через линзу также фокусируются в точку , которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 3.3.2). Расстояние между оптическим центром линзы и главным фокусом называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой .

Рисунок 3.3.2.

Основное свойство линз – способность давать изображения предметов . Изображения бывают прямыми и перевернутыми , действительными и мнимыми , увеличенными и уменьшенными .

Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей, ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей. Примеры таких построений представлены на рис. 3.3.3 и 3.3.4.

Рисунок 3.3.3.

Рисунок 3.3.4.

Следует обратить внимание на то, что некоторые из стандартных лучей, использованных на рис. 3.3.3 и 3.3.4 для построения изображений, не проходят через линзу. Эти лучи реально не участвуют в образовании изображения, но они могут быть использованы для построений.

Положение изображения и его характер (действительное или мнимое) можно также рассчитать с помощью формулы тонкой линзы . Если расстояние от предмета до линзы обозначить через , а расстояние от линзы до изображения через , то формулу тонкой линзы можно записать в виде:

Величину , обратную фокусному расстоянию. называют оптической силой линзы. Единицой измерения оптической силы является диоптрия (дптр). Диоптрия – оптическая сила линзы с фокусным расстоянием :

Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Ее можно получить для параксиальных лучей из подобия треугольников на рис. 3.3.3 или 3.3.4.

Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные знаки: для собирающей линзы , для рассеивающей .

Величины и также подчиняются определенному правилу знаков:
и – для действительных предметов (то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений;
и – для мнимых источников и изображений.

Для случая, изображенного на рис. 3.3.3, имеем: (линза собирающая), (действительный предмет).

По формуле тонкой линзы получим: следовательно, изображение действительное.

В случае, изображенном на рис. 3.3.4, (линза рассеивающая), (действительный предмет), то есть изображение мнимое.

В зависимости от положения предмета по отношению к линзе изменяются линейные размеры изображения. Линейным увеличением линзы Γ называют отношение линейных размеров изображения и предмета . Величине , как и в случае сферического зеркала, удобно приписывать знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или перевернутым. Величина всегда считается положительной. Поэтому для прямых изображений , для перевернутых . Из подобия треугольников на рис. 3.3.3 и 3.3.4 легко получить формулу для линейного увеличения тонкой линзы:

В рассмотренном примере с собирающей линзой (рис. 3.3.3): , следовательно, – изображение перевернутое и уменьшенное в 2 раза.

В примере с рассеивающей линзой (рис. 3.3.4): , ; следовательно, – изображение прямое и уменьшенное в 3 раза.

Оптическая сила линзы зависит как от радиусов кривизны и ее сферических поверхностей, так и от показателя преломления материала, из которого изготовлена линза. В курсах оптики доказывается следующая формула:

Радиус кривизны выпуклой поверхности считается положительным, вогнутой – отрицательным. Эта формула используется при изготовлении линз с заданной оптической силой.

Во многих оптических приборах свет последовательно проходит через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй линзы, которая строит второе изображение предмета. Это второе изображение также может быть действительным или мнимым. Расчет оптической системы из двух тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при этом расстояние от первого изображения до второй линзы следует положить равным величине , где – расстояние между линзами. Рассчитанная по формуле линзы величина определяет положение второго изображения и его характер ( – действительное изображение, – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз: . Если предмет или его изображение находятся в бесконечности, то линейное увеличение утрачивает смысл.

Частным случаем является телескопический ход лучей в системе из двух линз, когда и предмет, и второе изображение находятся на бесконечно больших расстояниях. Телескопический ход лучей реализуется в зрительных трубах – астрономической трубе Кеплера и земной трубе Галилея (см. § 3.5).

Тонкие линзы обладают рядом недостатков, не позволяющих получать высококачественные изображения. Искажения, возникающие при формировании изображения, называются аберрациями . Главные из них – сферическая и хроматическая аберрации. Сферическая аберрация проявляется в том, что в случае широких световых пучков лучи, далекие от оптической оси, пересекают ее не в фокусе. Формула тонкой линзы справедлива только для лучей, близких к оптической оси. Изображение удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается размытым.

Хроматическая аберрация возникает вследствие того, что показатель преломления материала линзы зависит от длины волны света λ. Это свойство прозрачных сред называется дисперсией. Фокусное расстояние линзы оказывается различным для света с разными длинами волн, что приводит к размытию изображения при использовании немонохроматического света.

В современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы, в которых удается приближенно устранить различные аберрации.

Формирование собирающей линзой действительного изображения предмета используется во многих оптических приборах, таких как фотоаппарат, проектор и т. д.

Фотоаппарат представляет собой замкнутую светонепроницаемую камеру. Изображение фотографируемых предметов создается на фотопленке системой линз, которая называется объективом . Специальный затвор позволяет открывать объектив на время экспозиции.

Особенностью работы фотоаппарата является то, что на плоской фотопленке должны получаться достаточно резкими изображения предметов, находящихся на разных расстояниях.

В плоскости фотопленки получаются резкими только изображения предметов, находящихся на определенном расстоянии. Наведение на резкость достигается перемещением объектива относительно пленки. Изображения точек, не лежащих в плоскости резкого наведения, получаются размытыми в виде кружков рассеяния. Размер этих кружков может быть уменьшен путем диафрагмирования объектива, т.е. уменьшения относительного отверстия (рис. 3.3.5). Это приводит к увеличению глубины резкости.

Рисунок 3.3.5.

Проекционный аппарат предназначен для получения крупномасштабных изображений. Объектив проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив ) на удаленном экране (рис. 3.3.6). Система линз , называемая конденсором , предназначена для того, чтобы сконцентрировать свет источника на диапозитиве. На экране создается действительное увеличенное перевернутое изображение. Увеличение проекционного аппарата можно менять, приближая или удаляя экран с одновременным изменением расстояния между диапозитивом и объективом .

Тонкие линзы

Линза – это прозрачное тело, имеющая 2 сферические поверхности. Она, является тонкой, если ее толщина меньше радиусов кривизны сферических поверхностей.

Линза — это составляющая часть почти каждого оптического прибора. Линзы бывают по своему определению собирающие и рассеивающие (рис. 3 . 3 . 1 ).

Собирающая линза — это линза, которая в середине толще, чем по краям.

Линза, имеющая большую толщину по краям, называется рассеивающей.

Рисунок 3 . 3 . 1 . Собирающие ( a ) и рассеивающие ( b ) линзы и их условные обозначения.

Главная оптическая ось – это прямая, которая проходит через центры кривизны O 1 и O 2 сферических поверхностей.

В тонкой линзе главная оптическая ось пересекается в одной точке – оптическом центре линзы O . Световой луч проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от своего первоначального направления.

Побочные оптические оси – это прямые, проходящие через оптический центр.

Если к линзе направить пучок лучей, которые расположены параллельно главной оптической оси, тогда после прохождения через линзу лучи (либо их продолжения) сосредоточатся в одной точке F .

Эта точка получила название главный фокус линзы.

Тонкая линза имеет два главных фокуса, которые располагаются симметрично на главной оптической оси по отношению к линзе.

Фокус собирающей линзы – действительный, а у рассеивающей – мнимый.

Пучки лучей, параллельные одной из всей совокупности побочных оптических осей, после прохождения через линзу тоже нацелены на точку F ‘ , расположенную на пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф .

Фокальная плоскость – это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный фокус (рис. 3 . 3 . 2 ).

Расстояние между главным фокусом F и оптическим центром линзы О , называется фокусным ( F ) .

Рисунок 3 . 3 . 2 . Преломление параллельного пучка лучей в собирающей ( a ) и рассеивающей ( b ) линзах. O 1 и O 2 – центры сферических поверхностей, O 1 O 2 – главная оптическая ось, О – оптический центр, F – главный фокус, F ‘ – фокус, O F ‘ – побочная оптическая ось, Ф – фокальная плоскость.

Главным свойством линз является способность передавать изображения предметов. Они, в свою очередь, бывают:

Действительные и мнимые;
Прямые и перевернутые;
Увеличенные и уменьшенные.

Построение изображения в линзах

Геометрические построения помогают определить положение изображения, а также его характер. Для этой цели применяют свойства стандартных лучей, направление которых определено. Это лучи, которые проходят через оптический центр либо один из фокусов линзы, и лучи, параллельно расположенные главной либо одной из побочных оптических осей. Рисунки 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 демонстрируют данные построения.

Рисунок 3 . 3 . 3 . Построение изображения в собирающей линзе.

Рисунок 3 . 3 . 4 . Построение изображения в рассеивающей линзе.

Стоит выделить то, что стандартные лучи, использованные на рисунках 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 для построения изображений, не проходят через линзу. Данные лучи не используются в построении изображения, но могут быть использованы в этом процессе.

Для расчета положения изображения и его характера используется формула тонкой линзы. Если записать расстояние от предмета до линзы как d , а от линзы до изображения как f , то формула тонкой линзы имеет вид:

1 d + 1 f + 1 F = D.

Величина D – это оптическая сила линзы, равная обратному фокусному расстоянию.

Диоптрия ( д п т р ) является единицей измерения оптической силы, фокусное расстояние которой равно 1 м : 1 д п т р = м — 1 .

Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала. Можно вывести ее для параксиальных лучей из подобия треугольников на рисунках 3 . 3 . 3 либо 3 . 3 . 4 .

Фокусное расстояние линз записывается с определенными знаками: собирающая линза F > 0 , рассеивающая F 0 .

Величина d и f тоже подчиняются определенным знакам:

d > 0 и f > 0 – применительно к действительным предметам (то есть реальным источникам света) и изображений;
d 0 и f 0 – применительно к мнимым источникам и изображениям.

Для случая на рисунке 3 . 3 . 3 F > 0 (линза собирающая), d = 3 F > 0 (действительный предмет).

Из формулы тонкой линзы получаем: f = 3 2 F > 0 , означает, что изображение действительное.

Для случая на рисунке 3 . 3 . 4 F 0 (линза рассеивающая), d = 2 | F | > 0 (действительный предмет), справедлива формула f = — 2 3 F 0 , следовательно, изображение мнимое.

Линейные размеры изображения зависят от положения предмета по отношению к линзе.

Линейное увеличение линзы Г – это отношение линейных размеров изображения h ‘ и предмета h .

Величину h ‘ удобно записывать со знаками плюс или минус, в зависимости от того, прямое оно или перевернутое. Она всегда положительна. Потому для прямых изображений применяется условие Γ > 0 , для перевернутых Γ 0 . Из подобия треугольников на рисунках 3 . 3 . 3 и 3 . 3 . 4 нетрудно вывести формулу для расчета линейного увеличения тонкой линзы:

В примере с собирающей линзой на рисунке 3 . 3 . 3 при d = 3 F > 0 , f = 3 2 F > 0 .

Значит, Г = — 1 2 0 – изображение перевернутое и уменьшенное в два раза.

В примере с рассеивающей линзой на рисунке 3 . 3 . 4 при d = 2 | F | > 0 , справедлива формула f = — 2 3 F 0 ; значит, Г = 1 3 > 0 – изображение прямое и уменьшенное в три раза.

Оптическая сила D линзы находится в зависимости от радиусов кривизны R 1 и R 2 , ее сферических поверхностей, а также и от показателя преломления n материала линзы. В теории оптики имеет место следующее выражение:

D = 1 F = ( n — 1 ) 1 R 1 + 1 R 2 .

Выпуклая поверхность имеет положительный радиус кривизны, а вогнутая поверхность – отрицательным. Данная формула применима в изготовлении линз с заданной оптической силой.

Многие оптические приборы устроены таким образом, что свет последовательно проходит через 2 или несколько линз. Изображение предмета от 1 -й линзы служит предметом (действительным или мнимым) для 2 -й линзы, выстраивающей, в свою очередь, 2 -е изображение предмета, которое также может быть действительным либо мнимым. Расчет оптической системы из 2 -х тонких линз состоит в
2 -кратном применении формулы линзы, причем расстояние d 2 от 1 -го изображения до 2 -й линзы следует предложить равное величине l – f 1 , где l – это расстояние между линзами.

Вычисленная, по формуле линзы, величина f 2 предопределяет положение 2 -го изображения, а также его характер ( f 2 > 0 – действительное изображение, f 2 0 – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из 2 -х линз равняется произведению линейных увеличений 2 -х линз, то есть Γ = Γ 1 · Γ 2 . Если предмет либо его изображение находятся в бесконечности, тогда линейное увеличение не имеет смысла.

Астрономическая труба Кеплера и земная труба Галилея

Рассмотрим частный случай – телескопический ход лучей в системе из 2 -х линз, когда и предмет, и 2 -е изображение расположены на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Телескопический ход лучей выполняется в зрительных трубах: земной трубе Галилея и астрономической трубе Кеплера.

Тонкая линза имеет некоторые недостатки, которые не позволяют получать изображения высокого разрешения.

Аберрация – это искажение, которое возникает в процессе формирования изображения. В зависимости от расстояния, на котором проводится наблюдение, аберрации могут быть сферическими и хроматическими.

Смысл сферической аберрации в том, что при широких световых пучках лучи, находящиеся на далеком расстоянии от оптической оси, пересекают ее не в месте фокуса. Формула тонкой линзы действует лишь для лучей, которые находятся близко к оптической оси. Изображение удаленного источника, которое создается широким пучком лучей, преломленных линзой, размыто.

Смысл хроматической аберрации в том, что на показатель преломления материала линзы влияет длина световой волны λ . Данное свойство прозрачных сред называют дисперсией. Фокусное расстояние линзы различно для света с различными длинами волн. Данный факт приводит к размытию изображения при излучении немонохроматического света.

Современные оптические приборы оснащены не тонкими линзами, а сложными линзовыми системами, в которых есть возможность исключить некоторые искажения.

В таких приборах, как фотоаппараты, проекторы и т.д., используются собирающие линзы для формирования действительных изображений предметов.

Что представляет собой фотоаппарат

Фотоаппарат – это замкнутая светонепроницаемая камера, в которой изображение запечатленных предметов создается на пленке системой линз – объективом. На время экспозиции объектив открывается и закрывается с помощью специального затвора.

Особенность работы фотоаппарата в том, что на плоской фотопленке получаются довольно резкие изображения предметов, которые находятся на различных расстояниях. Резкость меняется вследствие перемещения объектива относительно фотопленки. Изображения точек, которые не лежат в плоскости резкого наведения, выходят на снимках размытыми в виде рассеянных кружков. Размер d данных кружков можно уменьшить методом диафрагмирования объектива, то есть уменьшения относительного отверстия a F , как показано на рисунке 3 . 3 . 5 . Это в результате увеличивает глубину резкости.

Рисунок 3 . 3 . 5 . Фотоаппарат.

С помощью проекционного аппарата удается снять масштабные изображения. Объектив O проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив D ) на удаленном экране Э (рисунок 3 . 3 . 6 ). Система линз K (конденсор) используется для концентрации света источника S на диапозитиве. На экране воссоздается увеличенное перевернутое изображение. Масштаб проекционного устройства можно изменять, приближая или отдаляя экран и одновременно изменяя расстояние между диапозитивом D и объективом O .

Рисунок 3 . 3 . 6 . Проекционный аппарат.

Рисунок 3 . 3 . 7 . Модель тонкой линзы.

Рисунок 3 . 3 . 8 . Модель системы из двух линз.

Тонкие линзы

1. Преломление света на сферической поверхности. Пусть две среды с показателями преломления n₁ и n₂ разделяются сферической поверхностью S. Если из точки A₁, лежащей на главной оптической оси поверхности, выходит узкий гомоцентрический пучок лучей, то, преломившись на поверхности, он сходится в точке A₂ (полагаем n₂ > n₁). Найдем связь между расстоянием a₁ от предмета A₁ до вершины поверхности точки O, между расстоянием a₁ от вершины поверхности O до изображения A₂ и радиусом кривизны поверхности R.

Рассмотрим один луч A₁MA₂, где M – точка на поверхности, в которой луч преломляется (рис.33). По теореме синусов в треугольниках A₁MC и MCA₂ имеем:

, , (6.1)

, , (6.2)

Разделим 1-е уравнение на 2-е.

. (6.3)

Полагаем пучок лучей параксиальным. В этом случае с учетом правила знаков A₁M = A₁O = -a₁, MA₂ = OA₂ = a₂, MC = OC = R, A₁C = –a₁+ R, CA₂ = a₂— R. Уравнение (6.3) принимает вид: . (6.4)

Избавившись от дробности и разделив на a₁a₂R, получаем: . (6.5)

Это формула преломляющей сферической поверхности. Интересно, что при n₂ = — n₁ она переходит в формулу сферического зеркала.

Из формулы (6.5) следует, что любой луч, вышедший из точки A₁, при малых углах y₁ независимо от положения точки преломления M придет в одну и ту же точку A₂. Сферическая преломляющая поверхность преобразует один гомоцентрический пучок в другой.

2. Фокусы сферической преломляющей поверхности. Если на сферическую границу падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, например слева, то —a₁ = ∞. Отсюда находим a₂: . (6.6)

Если пучок падает справа, то a₂ = ∞, и . (6.7)

Величины f₁ и f₂ определяют расстояния от вершины поверхности O до точек F₁ и F₂, в которых сходятся параллельные пучки. Точки F₁ и F₂ – это фокусы преломляющей поверхности, а f₁ и f₂ – фокусные расстояния.

3. Тонкая линза. Оптически прозрачное тело, ограниченное двумя гладкими кривыми поверхностями, называется линзой. Бывают цилиндрические, сферические, конические и другие линзы. Рассмотрим сферическую линзу с радиусами кривизны поверхностей R₁ и R₂. Полагаем, слева по рис.34 от линзы находится среда 1 с показателем преломления n₁, справа от линзы – среда 2 с показателем преломления n₂. Вещество самой линзы имеет показатель преломления n.

Полагаем линзу тонкой, то есть считаем, что толщина ее O₁O₂ мала по сравнению с радиусом кривизны поверхностей линзы R₁ и R₂. Это значит, что точки O₁ и O₂ совпадают с точкой O, называемой оптическим центром линзы.

Все лучи, проходящие через точку O, не меняют своего направления и называются осями линзы. Ось, проходящая через центры кривизны поверхностей точки c₁ и С₂, называется главной оптической осью линзы, остальные – побочными осями.

4. Формула тонкой линзы. Найдем связь между расстоянием от линзы до светящейся точки A₁, расстоянием a₂ от линзы до изображения этой точки A₂ и параметрами линзы R₁ и R₂ и сред n₁, n₂, n.

Преломление лучей на первой сферической поверхности S₁ создало бы без второй сферической поверхности S₂ в сплошной среде с показателем преломления n изображение A₂‘ на расстоянии a₂‘ от вершины O. Так что из формулы (6.5) следует: .(6.8)

Для второй поверхности S₂ изображение A₂‘ является мнимым источником света. Построение изображения этого источника A₂‘ после преломления на поверхности S₂ дает точку A₂ на расстоянии a₂ от линзы. Так что можно записать:

. (6.9)

Просуммировав оба выражения, получаем формулу линзы. . Общая формула линзы. (6.10)

5. Фокусы линзы. При падении параллельного пучка слева, когда a₁ = -∞, получаем фокусное расстояние справа от линзы f₂, а при падении пучка справа, когда a₂ = +∞, получаем фокусное расстояние f₁ слева от линзы.

, . (6.11)

В подавляющем большинстве практических случаев линза находится в однородной среде с показателем преломления n₁. Тогда n₂ = n₁, и формула линзы упрощается. Так как обычно n > n₁, то формулу удобно записать так: . (6.12)

Здесь — фокусное расстояние линзы. (6.13)

Если линза находится в однородной сфере, то фокусы линз слева и справа удалены на одинаковое расстояние f. Если n > n₁, то линза, более толстая в средине, называется собирающей. Ее фокусное расстояние положительно, f > 0, а фокус действительный (рис.35).

Линза, более толстая по краям, чем в середине, называется рассеивающей. Ее фокусное расстояние отрицательно, f 0, у рассеивающих D

6. Построение изображений в собирающих линзах выполняется с помощью трех лучей: луча 1, проходящего через оптический центр не преломляясь, луча 2, идущего параллельно главной оптической оси, а после линзы – через задний фокус F₂, и луча 3, идущего через передний фокус F₁, а после линзы – параллельно главной оптической оси.

Различают 3 случая.

а. Предмет находится от линзы дальше двойного фокусного расстояния (рис.37). Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное.

б. Предмет находится между двойным и главным фокусами линзы (рис.38). Изображение действительное, перевернутое, увеличенное. По сравнению с первым случаем предмет и изображение меняются местами.

в. Предмет находится между главным фокусом и линзой (рис.39). Изображение мнимое, прямое и увеличенное. Этот случай соответствует использованию линзы в качестве лупы.

7. Построение изображения в рассеивающих линзах. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя собирающую линзу, сходится в точке заднего главного фокуса F₂ (рис.40). Такой же пучок лучей, прошедший рассеивающую линзу, расходится. Через фокус рассеивающей линзы идут не сами лучи, а их продолжения, построенные в обратном ходу лучей направлении (рис.41). Поэтому если задний фокус F₂ собирающей линзы находится справа, то у рассеивающей линзы он находится слева. Справа находится передний фокус F₁.

Независимо от расстояния до предмета во всех случаях получается мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное между предметом и линзой (рис.42).

8. Построение изображения точки A₁, лежащей на главной оптической оси, делается с помощью произвольного луча 1, вышедшего из точки A₁, вспомогательного параллельного луча 2, проходящего через оптический центр линзы не преломляясь. Этот вспомогательный луч 2 позволяет определить направление преломленного луча 1 после выхода из линзы.

В собирающей линзе луч 1 идет так, чтобы пересечься со вспомогательным в фокальной плоскости заднего фокуса (рис.43), а в рассеивающей линзе так, чтобы со вспомогательным лучом в фокальной плоскости заднего фокуса пересеклось его продолжение (рис.44).

Пересечение самого луча 1 или его продолжения с главной оптической осью и дает изображение A₂. В первом случае действительное, во втором – мнимое.

источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/geometricheskaja-optika/tonkie-linzy/

http://mydocx.ru/4-58930.html