Уравнение траектории частицы имеет вид

Следовательно, скорость частицы в начале координат

Траектория движения

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]
• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: \[\overline=\overline\left(t\right)\left(7\right).\]
• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline=A\overline+Bx\overline\ ,\ $где $\overline$, $\overline$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit<>

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

Из этого уравнения следует, что:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\< \begin x=At. \\ y=At(1+Bt) \end \right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

Траектории и линии тока

Траекториейматериальной частицы называется линия, которую частица описывает в процессе движения.

Дифференциальное уравнение траектории имеет вид:

или .

Решив его, найдем параметрическое уравнение траектории рассматриваемой частицы с материальной координатой ξ:

.

Линией тока называется такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости сплошной среды в этой точке в данный момент времени (Рис.1.3.1).

Рис.1.3.1

Из определения следует, что линия тока есть векторная линия поля скоростей сплошной среды.

Линия тока рассматривается для фиксированного момента времени, траектория описывает перемещение частицы в пространстве с течением времени.

Получим уравнение линии тока в параметрической форме с параметром .

По определению в любой фиксированный момент времени вектор касательной к линии тока коллинеарен вектору скорости . Поэтому

– дифференциальное уравнение линии тока.

Поверхностью (трубкой) тока называется поверхность, состоящая из линий тока, проведенных через каждую точку некоторого контура, не являющегося линией тока.

Если скорость сплошной среды или в некоторой точке, то эта точка называется особой точкой.

Теорема. Через каждую неособую точку проходит единственная линия тока.

Данная теорема следует из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примеры особых точек.

1. Круг на плоскости обтекается жидкостью, в лобовой точке и линия тока раздваивается в этой точке.

2. Источник или сток. Из точки равномерно во все стороны вытекает жидкость (источник), в этой точке , линий тока бесконечно много.

Движение абсолютно твердого тела называется поступательным, если все точки тела перемещаются с одинаковой скоростью .

Примеры траекторий и линий тока.

1. Произвольное поступательное движение абсолютно твердого тела.

Траектории – любые линии. Найдем уравнение линий тока.

,

то есть линии тока – прямые линии.

2. Прямолинейное поступательное движение абсолютно твердого тела.

Траектории — прямые линии и совпадают с линиями тока. Заметим, что модуль скорости может меняться, но ее направление остается постоянным. Этого оказывается достаточно, чтобы траектории и линии тока совпадали.

3. Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг оси.

Траектории и линии тока являются окружностями с центром на оси и совпадают.

4. Произвольное движение абсолютно твердого тела.

Траектории – любые линии, линии тока – винтовые линии.

1.3.2. Установившиеся и неустановившиеся
движения сплошной среды

Движение называется установившимся (стационарным), если при эйлеровом описании параметры движения не зависят от времени.

Заметим, что в стационарном движении ускорение может быть отлично от нуля. Далее, из определения следует, что движение может быть стационарным или нестационарным в зависимости от выбора системы координат наблюдателя.

Моделирование стационарного движения может оказаться легче, так как параметры будут зависеть от трех аргументов вместо четырех. Но иногда решение стационарной задачи бывает сложнее, чем нестационарной.

Теорема. Если движение стационарное, то линии тока и траектории совпадают.

◄ Для стационарного движения и . Видно, что отличие лишь в обозначении параметра интегрирования, следовательно, решения этих уравнений, то есть линии тока и траектории, совпадают. ►

Замечание. Пусть движение нестационарное и , т.е. модуль скорости зависит от времени, а направление нет. Линия тока связана с направлением скорости, следовательно, она со временем меняться не будет и линии тока и траектории совпадут.

Дата добавления: 2015-12-29 ; просмотров: 3673 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ