Уравнение траектории частицы y x

Следовательно, скорость частицы в начале координат

Траектория движения

Определение и основные понятия траектории движения

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]
• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: \[\overline=\overline\left(t\right)\left(7\right).\]
• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline=A\overline+Bx\overline\ ,\ $где $\overline$, $\overline$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit<>

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

Из этого уравнения следует, что:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\< \begin x=At. \\ y=At(1+Bt) \end \right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Рис. 3.1. Скорость и ускорение материальной точки. Пунктиром показана её траектория

При изучении движения сплошной среды можно также выделить бесконечно малые объёмы, положение которых характеризуется в пространстве тремя координатами или величиной одного радиус-вектора , и рассматривать движение сплошной среды как движение совокупности взаимно связанных и взаимодействующих бесконечно малых (точечных) объёмов.

Метод Лагранжа. Обозначим координаты начального (в момент времени ) положения каждой точки сплошной среды через . Для полного описания движения сплошной среды необходимо знать траектории движения всех частиц, т.е. положение каждой частицы в любой момент времени . Это означает, что для каждой частицы надо знать уравнение её траектории . При этом одну частицу от другой отличает начальное положение частицы, и, следовательно, величина войдёт в уравнение траектории жидкой частицы как параметр:

Рис.3.2. Задание координат методом Лагранжа

. (3.2.1)

Такой подход к описанию движения сплошной среды называется методом Лагранжа, а характеристики сплошной среды (скорость, плотность, давление и т.п.), связанные с движущимися элементарными объёмами сплошной среды, равно как и координаты этого объёма, называются лагранжевыми переменными.

Лагранжевы координаты — это параметры, которые характеризуют каждую точку среды и не меняются в процессе. Таким образом, точка зрения Лагранжа опирается на описание истории движения каждой точки сплошной среды в отдельности. Такое описание на практике оказывается слишком подробным и сложным, оно всегда подразумевается при формулировке физических законов.

Используя равенства, введённые в теоретической механике

,

можно вычислить скорость и ускорение каждой частицы, а затем, определив величину внешних (поверхностных и объёмных) сил, действующих на каждую частицу, записать уравнения движения для сплошной среды.

Несмотря на кажущуюся простоту метода Лагранжа, уравнения движения, получаемые на основе этого метода, очень сложны, и он используется сравнительно редко.

Более удобен и потому гораздо шире используется другой подход к описанию движения сплошной среды, называемый методом Эйлера.

Согласно этому методу фиксируют не частицы жидкости, а точки пространства, через которые проходят в разные моменты времени различные элементарные объёмы жидкости, т.е. жидкие частицы. В этих точках определяются значения скорости движения сплошной среды. Таким образом, средством описания движения сплошной среды является поле скорости движения жидких частиц в фиксированных точках пространства:

. (3.2.2)

Характеристики сплошной среды (поле скорости, поле давлений, поле напряжений и т.п.), отнесённые к фиксированным неподвижным элементам геометрического пространства (точкам, линиям, поверхностям, объёмам), и сами эти элементы называют эйлеровыми переменными.

Этот метод удобен благодаря следующим преимуществам.

· Во-первых, наблюдать за движущимися (например, в трубе) фиксированными (мечеными) жидкими частицами значительно сложнее, чем за характеристиками движения сплошной среды.

· Во-вторых, соответствующие этому методу уравнения оказываются проще для анализа.

Подчеркнём, что, если в методе Лагранжа — это искомые функции времени, то в методе Эйлера пространственные координаты — не функции времени, а независимые переменные, декартовы координаты пространства, в котором перемещается сплошная среда. Искомыми переменными являются скорость и давление .

Учитывая, что в методе Эйлера описание движения отличается от принятого в теоретической механике, существуют некоторые отличия в определении ускорения, которое входит во второй закон Ньютона. В это уравнение входит ускорение материальной точки, которое для сплошной среды определяется, как и в теоретической механике, второй производной пути по времени только при использовании метода Лагранжа. В случае метода Эйлера ускорение, а также другие гидромеханические величины, которые меняются вместе с движением объёма жидкости, выражаются через специальный вид производной, которая определённым образом связана с полем скорости (3.2.2). Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции). Такую производную называют полной или субстанциальной.

Скорость. Пусть некоторая точка сплошной среды в момент t находится в точке М пространства, а в момент t + Dt в точке M´, и . Dr-малоенаправленноеперемещениеиндивидуальнойточки сплошной среды за время Dt(если в пространстве можно ввести радиус-вектор, то это приращение радиус-вектора рассматриваемой точки сплошной среды). Предел отношения двух соответствующих бесконечно малых количеств Dr и Dt при Dt® 0 (в случае неевклидова пространства) или частная производная радиуса-вектора точки сплошной среды относительно системы отсчёта по времени (в случае евклидова пространства) называется скоростью точки сплошной среды.

Радиус-вектор r зависит в общем случае от трёх параметров x, y, z , индивидуализирующих точку сплошной среды, и времени t. Скорость вычисляется для индивидуальной точки сплошной среды, т.е. при фиксированных x, y, z , поэтому и берётся частная производная от rпо t: . Бесконечно малое перемещение точки сплошной среды можно разложить по векторам базиса, взятым в точке М:

Dr = Dx×i + Dy×j + Dz×k,

где Dx, Dy, Dz являются компонентами перемещения Dr.Или, переписывая в обобщённом и сокращённом виде, будем иметь

Dr = S Dx i е_i = Dx i е_i (*)

(В последнем выражении знак суммы опущен).

Поделив (*) на элемент времени Dt,соответствующий перемещению точки сплошной среды из точки Мв точку M´ пространства наблюдателя, и взяв предел при Dt® 0, получим по определению скорость точки сплошной среды : ,

откуда ,

индексы внизу указывают на то, что производные берутся при постоянных параметрах, индивидуализирующих точку среды. Величины v_x, v_y, v_z называются компонентами вектора скорости v в базисе i, j, k. Скорость и её компоненты зависят от x, y, z, t:

v_x = v_x (x, y, z, t),

v_y = v_y (x, y, z, t),

v_z = v_z (x, y, z, t).

Запишем проекции скоростей и ускорений точек среды на обобщённые оси координат х_i, которые определяются обычными равенствами:

,

. (3.2.3)

Таким образом, в методе Эйлера задаются перемещение, скорость, ускорение в точке пространства (неподвижная система отсчёта), мимо которой в данный момент проходят частицы среды как функции координат точек пространства x_i и времени t:

Совокупность параметров х_i и tназывают переменными Эйлера.

Ввиду того, что в механике сплошной среды могут встретиться оба метода, необходимо научиться осуществлять переход от одних переменных к другим.

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера.Предположим, что у нас всё известно о среде с точки зрения Лагранжа, то есть, мы имеем и закон движения в соответствующей форме:

Для того, чтобы перейти к переменным Эйлера нам необходимо:

· разрешить уравнения относительно x_i. При фиксированных координатах х_i эти соотношения указывают те точки x_i сплошной среды, которые в разные моменты времени проходят через данную точку пространства.

(3.2.5)

· подставить это в выражения по Эйлеру:

.

Рис. 3.3. Переход от координат Эйлера к координатам Лагранжа

Для перехода от переменных Эйлера к переменным Лагранжаимеем:

(*),проекция которой на ось х₂ равна , а проекция на ось х₃ равна .

Для начальных условий при t = 0:

,

· получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно х_i: или

· Решая эту систему, определим х_i = х_i(С₁, С₂, С₃, t),где — С₁, С₂, С₃-постоянные, определяемые по х_i при t = t_0;

· подставив (**) в (*),получим лагранжевы координаты.

.

Ускорение и его вычисление по скорости.Ускорение – это скорость изменения скорости индивидуальной частицы. Если скорость задана по Лагранжу, т.е.

.

Если скорость задана по Эйлеру, то В индивидуальной частице:

Поэтому по формуле дифференцирования сложной функции

Окончательная формула по Эйлеру будет выглядеть:

.

Это полная (материальная) производная скорости по времени, индивидуальная производная по времени, субстанциальная производная.

По Эйлеру производная по времени при x_i = const – изменение скорости по времени в данном месте пространства – локальная производная по времени.

Если =0, то движение установившееся (стационарное):

.

В декартовых координатах x,y,z:

.

;

;

.

Материальная (полная) или индивидуальная производная по t от любой величины (например, плотности r) определится следующим образом:

· Если используется способ Лагранжа, т.е. если , то индивидуальная производная есть частная .

· Если используется способ Эйлера, т.е. , то индивидуальная производная есть

или = .

Для несжимаемой среды , при этом может быть и не равно 0 (т.к.среда неоднородная).

Таким образом, если функция задана в переменных Эйлера: r = r (x₁, x₂, x₃, t), необходимо

· перейти к переменным Лагранжа;

· воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции, в результате чего получим

. (3.2.6)

Производнаяназывается полной производной (индивидуальной, субстанциальной) и характеризует изменение плотности данной частицы сплошной среды в единицу времени. Производная называется частной (местной, локальной) и характеризует изменение плотности в данной точке пространства в единицу времени. Величина называется конвективной производной.

Рассмотрим полную производную по времени от температуры. По Эйлеру это будет выглядеть следующим образом:

.

Физический смысл (по Эйлеру) – это производная температуры по времени в какой-либо фиксированной точке пространства x = const. В координатах Лагранжа . Физический смысл (по Лагранжу) — производная по времени температуры какой-то частицы, где бы она ни находилась.

Рис.3.4. Векторные линии или линии тока

Линия тока и траектория. Линией тока в поле скорости сплошной среды (в фиксированный момент времени) называется такая кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней. Линия тока является эйлеровой характеристикой потока; её не следует отождествлять с траекторией — геометрическим местом последовательных положений материальной точки (элементарной жидкой частицы) при её движении в пространстве, которая является лагранжевой характеристикой потока. Траектория — это путь индивидуальной частицы. Поэтому эти линии совпадают только при установившемся движении, когда поле скорости не меняется во времени, т.е. u = u (r). Если же движение неустановившееся, u = u(r,t), то эти линии не совпадают.

Важной особенностью совокупности линий тока в фиксированный момент времени является то, что они никогда не пересекаются друг с другом, за исключением особых точек (например, в случае источника — фонтана). Это следует из того, что скорость в данной точке не может быть касательной одновременно к двум пересекающимся кривым.

Рис. 3.5. Траектория движения частицы

Если элементарный вектор, касательный к линии тока, обозначить через , то вследствие того, что вектор коллинеарен , дифференциальные уравнения линий тока можно записать в виде

. (3.2.7)

,

,

(при t = const).

Рис.3.6. Линии тока и траектории: а — при установившемся движении совпадают; б — при неустановившемся движении 1,2.3 — линии тока в моменты времени t, t + Dt1, t + Dt2. Т — траектории элементарного жидкого объёма показаны пунктиром

Особенности лагранжева и эйлерова методов описания движения сплошной среды продемонстрируем на примере установившегося движения жидкости (рис.3.6), при котором траектория и линия тока совпадают.

При лагранжевом методе (рис.3.4,а) жидкая частица, имеющая при t = t₀ начальную координату r₀ = (x₀, y₀, z₀), движется по траектории, занимая в моменты времени t₀, t₀ +Dt, t₀ + 2Dt, t₀ + 3Dt положения в пространстве, отмеченные на рисунке точками, то есть в параметрическом виде будем иметь .

Скорость этой частицы изменяется со временем; картина течения представляется набором траекторий различных частиц жидкости. При эйлеровом подходе тот же поток (рис.3.6,б) описывается полем скорости u = u(r,t); при установившемся движении, когда , скорость жидкости в любой точке потока зависит только от пространственных координат этой точки . Картина течения характеризуется достаточным набором линий тока.

Если выбрать произвольную кривую С, не совпадающую с линией тока, и через каждую её точку провести линию тока, то образуется поверхность тока. Если кривая С замкнута, поверхность тока превращается в трубку тока.

Аналитически семейство линий тока в проекциях выглядит следующим образом:

(i = 1,2,3). (3.2.8)

Где dl — скалярный параметр. Выражение (3.2.8) – это дифференциальные уравнения линий тока.

Они отличаются от уравнений, описывающих закон движения или траектории движения частиц сплошной среды:

(i = 1,2,3), (3.2.9)

тем, что в уравнениях (3.2.8) t –параметр, а в(3.2.9) t — переменная величина.

Итак, линии тока не совпадают с траекториями. Совпадать они могут только в двух случаях:

1. При установившихся движениях (тогда между двумя последними уравнениями нет различия).

2. При неустановившихся течениях (когда поле скоростей меняется по величине, но не меняется по направлению).

Если какая-либо скалярная величина задана как функция переменных Эйлера, то в каждый момент времени можно рассматривать

Эта поверхность называется поверхностью равного уровня или эквипотенциальной поверхностью. Вектор, направленный по нормаливкакой-либо точке Мэквипотенциальной поверхности (3.2.10)в сторону ростаrи равный по величине ,называется вектором-градиентом скалярной функции r в точке М.

Вектор-градиент обозначается как grad r и вычисляется по формуле:

,

где —единичные векторы по направлению и вдоль координатных осей.

Проекция вектора grad r на некоторое направление определяет изменение плотностей в этом направлении:

где q — угол между направлениями и ; Cos a_I – направляющие косинусы вектора .

Наибольшее изменение плотности происходит в направлении, нормальном к поверхности (3.2.10).