Уравнение траектории движения точки график
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
1.1. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.2. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;9).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.3. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при , и ось OY и
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.4. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,375), а с осью OY (0;-4,5).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.5. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
,
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
1.6. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.7. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , ,
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y уменьшается. Это направление примем за положительное, тогда ,
откуда .
1.8. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при ,
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.9. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.10. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.11. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.12. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0; ) и пересечение с осью OY (-3;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.13. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OY в точке (0;11,75).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.14. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;0,75) и пересечение с осью OY (1;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.15. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-6,5).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
1.16. Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории и построить ее.
2. Определить начальное положение точки на траектории.
3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.
4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.
5. Построить график движения точки.
Дано: , .
Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :
.
Строим уравнение траектории:
2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:
.
Точка при занимает положение .
3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,75) и пересечение с осью OY (9;0).
4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:
, при ,
видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:
,
.
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
iSopromat.ru
Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.
Задача
где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение
Расчет траектории
Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).
Расчет скорости
Расчет ускорения
Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,
т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.
С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:
Определение пути
Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:
Проинтегрируем последнее выражение:
Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
- сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
- цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
- на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:
http://isopromat.ru/teormeh/primery-reshenia-zadach/opredelit-traektoriu-dvizenia-tocki-skorost-i-uskorenie-a-takze-put-projdennyj-tockoj
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/uravnenie-dvizhenija-materialnoj-tochki/