Рассмотрим движение тела, брошенного в горизонтальном направлении с некоторой высоты h и начальной скоростью v0. Траектория такого движения имеет вид спадающей ветви параболы.
Для описания движения тела необходимо задать координатные оси. Ось Оy направим вертикально вверх, горизонтальную ось Оx — вдоль полета. Такое движение по криволинейной траектории рассматривают как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга — движение с ускорением свободного падения вдоль оси Оy и равномерного прямолинейного движения вдоль оси Оx.
Движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
Движение вдоль вертикальной оси ОУ — свободное падение тела с некоторой высоты h (на графике y0).
Реальная скорость тела в некоторый момент времени — это векторная сумма горизонтальной составляющей скорости vx и вертикальной скорости vy.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Угол броска определяет траекторию движения, дальность полета, максимальную высоту подъема тела.
Аналогично движению тела, брошенного горизонтально, это движение рассматривают как сумму независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси ОХ и свободного падения тела вдоль вертикальной оси ОУ.
Движение вдоль горизонтальной оси ОХ равномерное.
Движение вдоль вертикальной оси ОУ — свободное падение тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью v0y. Тело поднимается на максимальную высоту h, затем возвращается вниз.
Действительная скорость, с которой движется тело.
Упражнения
При каком угле бросания достигается максимальная дальность полета?
При угле бросания 45 0 , так как можно вывести формулу для дальности полета . Максимальная дальность полета будет при
Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли ( g ) – вдоль вертикальной оси ( y ), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:
— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):
.
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.
Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение
Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и
Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:
Дальность полета:
Из этой формулы следует, что:
— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45 0 ;
— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.
Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело . Время, за которое тело долетит до середины, равно:
Тогда:
Максимальная высота:
Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна
Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:
Траектория движения
Определение и основные понятия траектории движения
Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.
Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.
В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:
прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).
Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.
При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:
Уравнение траектории движения
Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.
Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:
Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:
Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.
Вершина этой параболы находится в точке с координатами:
Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac$) от нее по $x$.
Обратимость движения
Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.
Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.
Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.
Параметры траектории движения
Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:
Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]
При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: \[\overline=\overline\left(t\right)\left(7\right).\]
Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:
Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:
где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.
Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.
Примеры задач с решением
Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline=A\overline+Bx\overline\ ,\ $где $\overline$, $\overline$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit<>
Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:
Из этого уравнения следует, что:
Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):
Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:
Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\< \beginx=At. \\ y=At(1+Bt) \end \right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.
Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:
Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:
Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:
. Максимальная дальность полета будет при 
.
