Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
- сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
- цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
- на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:
Траектория движения
Определение и основные понятия траектории движения
Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.
Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.
В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:
- прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
- и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).
Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.
При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:
Уравнение траектории движения
Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.
Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:
Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:
Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.
Вершина этой параболы находится в точке с координатами:
Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac
Обратимость движения
Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.
Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.
Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.
Параметры траектории движения
Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:
- Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции: \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]
- При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline
$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline $ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение: \[\overline =\overline \left(t\right)\left(7\right).\] - Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:
Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:
где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.
Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.
Примеры задач с решением
Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline
Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:
Из этого уравнения следует, что:
Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):
Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:
Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\< \begin
Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:
Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:
Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:
Механическое движение. Траектория. Путь. Перемещение
1. Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Существуют различные виды механического движения. Если все точки тела движутся одинаково и любая прямая, проведённая в теле, при его движении остаётся параллельной самой себе, то такое движение называется поступательным (рис. 1).
Точки вращающегося колеса описывают окружности относительно оси этого колеса. Колесо как целое и все его точки совершают вращательное движение (рис. 2).
Если тело, например шарик, подвешенный на нити, отклоняется от вертикального положения то в одну, то в другую сторону, то его движение является колебательным (рис. 3).
2. В определение понятия механического движения входят слова «относительно других тел». Они означают, что данное тело может покоиться относительно одних тел и двигаться относительно других тел. Так, пассажир, сидящий в автобусе, движущемся относительно зданий, тоже движется относительно них, но покоится относительно автобуса. Плот, плывущий по течению реки, неподвижен относительно воды, но движется относительно берега (рис. 4). Таким образом, говоря о механическом движении тела, необходимо указывать тело, относительно которого данное тело движется или покоится. Такое тело называют телом отсчёта. В приведённом примере с движущимся автобусом в качестве тела отсчёта может быть выбран какой-либо дом, или дерево, или столб около автобусной остановки.
Для определения положения тела в пространстве вводят систему координат, которую связывают с телом отсчёта. При рассмотрении движения тела вдоль прямой линии используют одномерную систему координат, т.е. с телом отсчёта связывают одну координатную ось, например ось ОХ (рис. 5).
Если тело движется по криволинейной траектории, то система координат будет уже двухмерной, поскольку положение тела характеризуют две координаты X и Y (рис. 6). Таким движением является, например, движение мяча от удара футболиста или стрелы, выпущенной из лука.
Если рассматривается движение тела в пространстве, например движение летящего самолёта, то система координат, связанная с телом отсчёта, будет состоять из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей (OX, OY и OZ) (рис. 7).
Поскольку при движении тела его положение в пространстве, т.е. его координаты, изменяются с течением времени, то необходим прибор (часы), который позволяет измерять время и определить, какому моменту времени соответствует та или иная координата.
Таким образом, для определения положения тела в пространстве и изменения этого положения с течением времени необходимы тело отсчёта, связанная с ним система координат и способ измерения времени, т.е. часы, которые все вместе представляют собой систему отсчёта (рис. 7).
3. Изучить движение тела — это значит определить, как изменяется его положение, т.е. координата, с течением времени.
Если известно, как изменяется координата со временем, можно определить положение (координату) тела в любой момент времени.
Основная задача механики состоит в определении положения (координаты) тела в любой момент времени.
Чтобы указать, как изменяется положение тела с течением времени, нужно установить связь между величинами, характеризующими это движение, т.е. найти математическое описание движения или, иными словами, записать уравнение движения тела.
Раздел механики, изучающий способы описания движения тел, называют кинематикой.
4. Любое движущееся тело имеет определённые размеры, и его различные части занимают разные положения в пространстве. Возникает вопрос, как в таком случае определить положение тела в пространстве. В делом ряде случаев нет необходимости указывать положение каждой точки тела и для каждой точки записывать уравнение движения.
Так, поскольку при поступательном движении все точки тела движутся одинаково, то нет необходимости описывать движение каждой точки тела.
Движение каждой точки тела не нужно описывать и при решении таких задач, когда размерами тела можно пренебречь. Например, если нас интересует, с какой скоростью пловец проплывает свою дистанцию, то рассматривать движение каждой точки пловца нет необходимости. Если же необходимо определить действующую на мяч выталкивающую силу, то пренебречь размерами пловца уже нельзя. Если мы хотим вычислить время движения космического корабля от Земли до космической станции, то корабль можно считать единым целым и представить в виде некоторой точки. Если же рассчитывается режим стыковки корабля со станцией, то, представив корабль в виде точки, решить эту задачу невозможно.
Таким образом, для решения ряда задач, связанных с движением тел, вводят понятие материальной точки.
Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
В приведённых выше примерах материальной точкой можно считать пловца при расчёте скорости его движения, космический корабль при определении времени его движения.
Материальная точка — это модель реальных объектов, реальных тел. Считая тело материальной точкой, мы отвлекаемся от несущественных для решения конкретной задачи признаков, в частности, от размеров тела.
5. При перемещении тело последовательно проходит точки пространства, соединив которые, можно получить линию. Эта линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией. Траектория может быть видимой или невидимой. Видимую траекторию описывают трамвай при движении по рельсам, лыжник, скользя по лыжне, мел, которым пишут на доске. Траектория летящего самолёта в большинстве случаев невидима, невидимой является траектория ползущего насекомого.
Траектория движения тела относительна: её форма зависит от выбора системы отсчёта. Так, траекторией точек обода колеса велосипеда, движущегося по прямой дороге, относительно оси колеса является окружность, а относительно Земли — винтовая линия (рис. 8 а, б).
6. Одной из характеристик механического движения является путь, пройденный телом. Путём называют физическую величину, равную расстоянию, пройденному телом вдоль траектории.
Если известны траектория тела, его начальное положение и пройденный им путь за время \( t \) , то можно найти положение тела в момент времени \( t \) . (рис. 9)
Путь обозначают буквой \( l \) (иногда \( s \) ), основная единица пути 1 м: \( [\,\mathrm
Путь — величина относительная, значение пути зависит от выбора системы отсчёта. Так, путь пассажира, переходящего из конца движущегося автобуса к его передней двери, равен длине автобуса в системе отсчёта, связанной с автобусом. В системе отсчёта, связанной с Землёй, он равен сумме длины автобуса и пути, который проехал автобус относительно Земли.
7. Если траектория движения тела неизвестна, то значение пути не позволит установить его положение в любой момент времени, поскольку направление движения тела не определено. В этом случае используют другую характеристику механического движения — перемещение.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (рис. 10)
Перемещение — векторная физическая величина, имеет направление и числовое значение, обозначается \( \overrightarrow \) . Единица перемещения \( [\,\mathrm\,] \) = 1 м.
Зная начальное положение тела, его перемещение (направление и модуль) за некоторый промежуток времени, можно определить положение тела в конце этого промежутка времени.
Следует иметь в виду, что перемещение в общем случае не совпадает с траекторией, а модуль перемещения — с пройденным путём. Это совпадение имеет место лишь при движении тела по прямолинейной траектории в одну сторону. Например, если пловец проплыл 100-метровую дистанцию в бассейне, длина дорожки которого 50 м, то его путь равен 100 м, а модуль перемещения равен нулю.
Перемещение, так же как и путь, величина относительная, зависит от выбора системы отсчёта.
При решении задач пользуются проекциями вектора перемещения. На рисунке 10 изображены система координат и вектор перемещения в этой системе координат.
Координаты начала перемещения — \( x_0, y_0 \) ; координаты конца перемещения — \( x_1, y_1 \) . Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна: \( s_x=x_1-x_0 \) . Проекция вектора перемещения на ось OY равна: \( s_y=y_1-y_0 \) .
Модуль вектора перемещения равен: \( s=\sqrt
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. В состав системы отсчёта входят
1) только тело отсчёта
2) только тело отсчёта и система координат
3) только тело отсчёта и часы
4) тело отсчёта, система координат, часы
2. Относительной величиной является: А. Путь; Б. Перемещение. Правильный ответ
1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б
3. Пассажир метро стоит на движущемся вверх эскалаторе. Он неподвижен относительно
1) пассажиров, стоящих на другом эскалаторе, движущемся вниз
2) других пассажиров, стоящих на этом же эскалаторе
3) пассажиров, шагающих вверх по этому же эскалатору
4) светильников на баллюстраде эскалатора
4. Относительно какого тела покоится автомобиль, движущийся по автостраде?
1) относительно другого автомобиля, движущегося с такой же скоростью в противоположную сторону
2) относительно другого автомобиля, движущегося с такой же скоростью в ту же сторону
3) относительно светофора
4) относительно идущего вдоль дороги пешехода
5. Два автомобиля движутся с одинаковой скоростью 20 м/с относительно Земли в одном направлении. Чему равна скорость одного автомобиля в системе отсчёта, связанной с другим автомобилем?
1) 0
2) 20 м/с
3) 40 м/с
4) -20 м/с
6. Два автомобиля движутся с одинаковой скоростью 15 м/с относительно Земли навстречу друг другу. Чему равна скорость одного автомобиля в системе отсчёта, связанной с другим автомобилем?
1) 0
2) 15 м/с
3) 30 м/с
4) -15 м/с
7. Какова относительно Земли траектория точки лопасти винта летящего вертолёта?
1) прямая
2) окружность
3) дуга
4) винтовая линия
8. Мяч падает с высоты 2 м и после удара о пол поднимается на высоту 1,3 м. Чему равны путь \( l \) и модуль перемещения \( s \) мяча за всё время движения?
1) \( l \) = 3,3 м, \( s \) = 3,3 м
2) \( l \) = 3,3 м, \( s \) = 0,7 м
3) \( l \) = 0,7 м, \( s \) = 0,7 м
4) \( l \) = 0,7 м, \( s \) = 3,3 м
9. Решают две задачи. 1. Рассчитывают скорость движения поезда между двумя станциями. 2. Определяют силу трения, действующую на поезд. При решении какой задачи поезд можно считать материальной точкой?
1) только первой
2) только второй
3) и первой, и второй
4) ни первой, ни второй
10. Точка обода колеса при движении велосипеда описывает половину окружности радиуса \( R \) . Чему равны при этом путь \( l \) и модуль перемещения \( s \) точки обода?
1) \( l=2R \) , \( s=2R \)
2) \( l=\pi R \) , \( s=2R \)
3) \( l=2R \) , \( s=\pi R \)
4) \( l=\pi R \) , \( s=\pi R \) .
11. Установите соответствие между элементами знаний в левом столбце и понятиями в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами понятия правого столбца.
ЭЛЕМЕНТ ЗНАНИЙ
A) физическая величина
Б) единица величины
B) измерительный прибор
ПОНЯТИЕ
1) траектория
2) путь
3) секундомер
4) километр
5) система отсчёта
12. Установите соответствие между величинами в левом столбце и характером величины в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами понятия правого столбца.
ВЕЛИЧИНА
A) путь
Б) перемещение
B) проекция перемещения
ХАРАКТЕР ВЕЛИЧИНЫ
1) скалярная
2) векторная
Часть 2
13. Автомобиль свернул на дорогу, составляющую угол 30° с главной дорогой, и совершил по ней перемещение, модуль которого равен 20 м. Определите проекцию перемещения автомобиля на главную дорогу и на дорогу, перпендикулярную главной дороге.
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_95_traektorija_dvizhenija.php
http://fizi4ka.ru/ogje-2018-po-fizike/mehanicheskoe-dvizhenie-traektorija-put-peremeshhenie.html