Уравнение третьей степени формула кардано

Формула Кардано для решения кубического уравнения

Сведение кубического уравнения к приведенному виду

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) ,
где . Разделим его на :
(2) ,
где , , .
Далее считаем, что , и – есть действительные числа.

Приведем уравнение (2) к более простому виду. Для этого сделаем подстановку
.
;
;
.
Приравняем коэффициент при к нулю. Для этого положим
:
;
;
.
Получаем уравнение приведенного вида:
(3) ,
где
(4) ; .

Вывод формулы Кардано

Решаем уравнение (3). Делаем подстановку
(5) :
;
;
;
.
Чтобы это уравнение удовлетворялось, положим
(6) ;
(7) .

Решаем квадратное уравнение.
(8) .
Возьмем верхний знак “+”:
,
где мы ввели обозначение
.
Из (6) имеем:
.

Итак, мы нашли решение приведенного уравнения в следующем виде:
(5) ;
(9) ;
(10) ;
(7) ;
(11) .
Такое решение называется формулой Кардано.

Если мы, при выборе знака квадратного корня в (8), возьмем нижний знак, то и поменяются местами и мы не получим ничего нового. Величины и равны кубическим корням, поэтому они имеют по три значения. Из всех возможных пар и нужно выбрать такие, которые удовлетворяют уравнению (7).

Итак, алгоритм решения приведенного кубического уравнения
(3)
следующий.
1) Вначале мы определяем любое значение квадратного корня .
2) Вычисляем три значения кубического корня .
3) Используя формулу (7), для каждого значения , вычисляем значение :
.
В результате получаем три пары величин и .
4) Для каждой пары величин и , по формуле (5) находим значения корней приведенного уравнения (3).
5) Рассчитываем значения корней исходного уравнения (1) по формуле
.
Таким способом мы получаем значения трех корней исходного уравнения. При два или три корня являются кратными (равными).

На шаге 3) данного алгоритма можно поступить по другому. Мы можем вычислить три значения величины по формуле (10). И далее составить три пары корней и так, чтобы для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .

Случай Q ≥ 0

Рассмотрим случай . При этом и являются действительными числами. Введем обозначения. Пусть и обозначают действительные значения кубических корней.

Найдем остальные значения корней и . Запишем и в следующем виде:
; ,
где – есть целое число;
– мнимая единица, .
Тогда
.
Присваивая значения , получаем три корня:
, ;
, ;
, .
Точно также получаем три корня :
;
;
.

Теперь группируем и в пары, чтобы, для каждой пары выполнялось соотношение
(7) .
Поскольку , то
.
Тогда
.
Отсюда получаем первую пару: .
Далее замечаем, что
.
Поэтому
; .
Тогда и являются еще двумя парами.

Теперь получаем три корня приведенного уравнения:
;
;
.
Их также можно записать в следующем виде:
(12) ; .
Эти формулы называются формулой Кардано.

При , . Два корня являются кратными:
; .
При все три корня являются кратными:
.

Случай Q . То есть и могут быть комплексными. Тогда для и можно выбрать любые значения кубических корней, между которыми выполняется соотношение
.

Формула Кардано для решения кубического уравнения

Итак, мы установили, что корни приведенного кубического уравнения

можно найти по формуле Кардано:
, ,
где
; ; ;
.

Однако, при , формула Виета являются более удобной.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-09-2016

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Схема метода Кардано

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Вспомогательная страница к разделу ПОЛИНОМ

Решение уравнений в радикалах

Можно ли выразить корни полинома $ f(x)=a_<0>x^n+a_1x^+\dots+a_n $ с комплексными коэффициентами $ a_<0>,a_1,\dots,a_n $ в виде «хороших» функций от этих коэффициентов? Вспомним, что для корней квадратного уравнения существует общая формула вычисления корней: $$x^2+ax+b=0 \ \Rightarrow \ \lambda_<1,2>=\frac<-a\pm \sqrt> <2>\ . $$ Эта формула включает в себя элементарные алгебраические операции $ +,- ,\times, \div $ и операцию извлечения квадратного корня. По аналогии можно сформулировать и общую задачу.

Задача. Найти выражения корней полинома степени $ n > 2 $ в виде функций его коэффициентов; при этом функции должны представлять конечную комбинацию элементарных алгебраических операций и операций извлечения корней произвольных (целых) степеней.

Поставленная задача называется задачей о разрешимости уравнения в радикалах 1) .

Оказывается, что любое уравнение третьей или четвертой степени разрешимо в радикалах. Перед тем, как изложить способы их решения, сделаем два упрощения. Первое из них заключается в том, что уравнение $ f_<>(x)=0 $ делится на старший коэффициент полинома $ f_<>(x) $.

Полином называется нормализованным, если его старший коэффициент равен $ 1_<> $. Операция деления полинома на его старший коэффициент называется нормализацией полинома.

Очевидно, что нормализованный полином имеет те же корни (и в тех же кратностях ), что и исходный. Для простоты обозначений, будем считать, что полином уже нормализован: $$ f(x)=x^n+a_1x^+\dots+a_n \, .$$

Второе упрощение заключается в замене переменной (подстановке): $ x=y +\alpha $. Ее результатом будет новый полином той же степени, что и исходный, относительно переменной $ y $: $ F(y)\equiv f(y+\alpha) $. Корни нового полинома связаны (cм. преобразование 2 ☞ ЗДЕСЬ ) с корнями старого по формуле $ \lambda_j = \Lambda_j+\alpha $; так что, найдя корни одного полинома, легко установим и корни другого. Подберем теперь параметр $ \alpha $ так, чтобы обратить в нуль коэффициент при $ y^ $ в полиноме $ F(y) $. Используя формулу бинома Ньютона, получаем $$ \begin f(x)&=&x^n+a_1x^+a_2x^+\dots+a_n= \\ &=&(y+\alpha)^n +a_1(y+\alpha)^+a_2(y+\alpha)^+\dots+a_n = \\ &=&y^n + C_n^1 \alpha y^ +C_n^2 \alpha^2 y^+\dots+ \alpha^n + \\ & & \ \qquad + a_1y^+a_1 C_^1 \alpha y^+\dots +a_1\alpha^ + \\ & & \quad \qquad \qquad +a_2y^ + \dots + a_n. \end $$ Понятно, что если положить $ \alpha= — a_1/n $, то коэффициент при $ y^ $ исчезнет. Для простоты обозначений будем считать, что полином уже предварительно подвергнут такому преобразованию: $ f(x)=x^n+a_2x^+\dots+a_n $.

Уравнение третьей степени: формула Кардано

Рассмотрим уравнение третьей степени: $$ x^3+p\,x+q=0 $$ Сделаем в этом уравнении замену переменной: $ x=u+v $, введя две неизвестные $ u_<> $ и $ v_<> $; получим: $$ u^3+v^3+3\,uv(u+v)+p(u+v)+q=0 \ . $$ Сгруппируем: $$ u^3+v^3+(3\,uv+p)(u+v)+q=0 \ . $$ Подчиним теперь неизвестные $ u_<> $ и $ v_<> $ условию $$ 3\,uv+p=0 \ \iff \ uv=-\frac

<3>\ . $$ Тогда предыдущее уравнение приведется к виду $$u^3+v^3=-q \ . $$ Итак, для определения неизвестных величин $ u_<> $ и $ v_<> $ мы получили систему уравнений $$ u^3+v^3=-q,\ uv=-\frac

<3>. $$ Возведя последнее уравнение в куб, получим $$ u^3v^3=-\frac <27>\ . $$ Два полученных равенства, связывающие $ u^ <3>$ и $ v^ <3>$, позволяет утверждать, что эти величины являются решениями квадратного уравнения: $$t^2+q\,t- \frac<27>=0 \ .$$

Выражение $$ \Delta = \frac<4>+\frac <27>$$ называется дискриминантом кубического уравнения.

Решив квадратное уравнение, получим: $$ u^3=-\frac<2>+ \sqrt<\Delta>,\ v^3=-\frac<2>— \sqrt <\Delta>\ . $$ В итоге имеем формулу для решений уравнения: $$ x=u+v=\sqrt[3]<-\frac<2>+\sqrt<\frac<4>+\frac<27>>>+ \sqrt[3]<-\frac<2>-\sqrt<\frac<4>+\frac<27>>> \ ; $$ она называется формулой Кардано.

Исторические заметки об открытии метода решения кубического уравнения ☞ ЗДЕСЬ.

Формула Кардано не очень удобна для практических вычислений. Дело в том, что корень кубический из комплексного числа принимает три различных значения. Решение же, представленное формулой Кардано, имеет в правой части комбинацию из двух кубических корней. Таким образом, получаем 9 всевозможных комбинаций из значений корней кубических. С другой стороны, основная теорема высшей алгебры утверждает, что кубическое уравнение должно иметь только три решения. Для того, чтобы установить соответствие между значениями $ u_<> $ и $ v_<> $, обратимся к условию $ uv=-p/3 $ . Согласно этому условию, задание значений для $ u_<> $ позволит однозначно восстановить $ v_<> $. Пусть $$ u_1=\sqrt[3]<-\frac<2>+\sqrt<\frac<4>+\frac<27>>> $$ какое-то одно из трех возможных значений корня кубического. Два оставшихся значения корня кубического получаются домножением $ u_1 $ на корни кубические из единицы (см. ☞ ЗДЕСЬ ): $$u_2=u_1\varepsilon_1, \ u_3=u_1\varepsilon_2 $$ при $$\varepsilon_1=\cos \frac<2\pi> <3>+ <\mathbf i>\sin \frac<2\pi><3>= -\frac<1><2>+ <\mathbf i>\frac<\sqrt<3>> <2>\ u \ \varepsilon_2=\cos \frac<4\pi> <3>+ <\mathbf i>\sin \frac<4\pi><3>= -\frac<1><2>— <\mathbf i>\frac< \sqrt<3>> < 2>\ . $$ Если теперь взять $$ v_1=-\frac

<3u_1>\ , $$ то решения кубического уравнения можно выразить в виде комбинаций $ u_1 $ и $ v_1 $: $$ \begin \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&u_2+v_2=u_2-\frac<\displaystyle p><\displaystyle 3u_2>=u_1\varepsilon_1-\frac<\displaystyle p> <\displaystyle 3u_1\varepsilon_1>=u_1\varepsilon_1-\frac<\displaystyle p\varepsilon_2><\displaystyle 3u_1>=u_1\varepsilon_1+v_1\varepsilon_2,\\ \lambda_3&=&u_3+v_3=u_1\varepsilon_2+v_1\varepsilon_1 \ . \end $$ Окончательно получаем формулы для вычисления корней: $$ \left\< \begin \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&-\frac<\scriptstyle 1><\scriptstyle 2>(u_1+v_1) + <\mathbf i>\frac<\scriptstyle \sqrt<3>> <\scriptstyle 2>(u_1-v_1),\\ \lambda_3&=&-\frac<\scriptstyle 1><\scriptstyle 2>(u_1+v_1) — <\mathbf i>\frac<\scriptstyle \sqrt<3>> <\scriptstyle 2>(u_1-v_1), \end \right. $$ где $ u_ <1>$ — одно из значений корня кубического, а $ v_ <1>$ связано с ним соотношением $ v_1=-p/(3u_1) $.

Пример [1]. Решить уравнение $ x^3-6<\mathbf i>\,x^2-10\,x+8 <\mathbf i>=0 $.

Решение. Подстановка $ x=y+2 <\mathbf i>$ приводит уравнение к виду $$y^3+2\,y+4 <\mathbf i>=0 \ , $$ т.е. $ p=2,\,q=4 <\mathbf i>$. Далее $$\Delta=-\frac<100> <27>\ \Rightarrow \ \sqrt <\Delta>= \pm \frac<10 <\mathbf i>><3\sqrt<3>> \ \Rightarrow \ u_1=\sqrt[3]<\left(-2 + \frac<10><3\sqrt<3>> \right)<\mathbf i>> \ . $$ Одно из значений последнего корня: $$u_1=-<\mathbf i>\, \sqrt[3]<-2 + \frac<10><3\sqrt<3>>> \ , $$ это выражение можно упростить, если повезет заметить, что подкоренное выражение равно $ \left(-1+1/<\sqrt<3>>\right)^3 $: $$u_1=<\mathbf i>\left(1-\frac<1><\sqrt<3>>\right)\ \Rightarrow \ v_1=-\frac

<3u_1>= <\mathbf i>\left(1+\frac<1><\sqrt<3>>\right) \ . $$ Получаем: $$\mu_1=2\, <\mathbf i>,\ \mu_2=1- <\mathbf i>,\ \mu_3=-1- <\mathbf i>\ .$$ Значения корней исходного уравнения получатся «сдвигом» на $ 2 <\mathbf i>$.

Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами

Пусть коэффициенты $ p^<> $ и $ q^<> $ уравнения $ x^<3>+p\,x+q=0 $ вещественны. Тогда и дискриминант $$ \Delta = \frac<4>+\frac <27>$$ этого уравнения — тоже вещественное число. В зависимости от знака этого числа, уравнение будет иметь разное число вещественных корней.

I. Пусть $ \Delta>0 $. Тогда $ \sqrt <\Delta>$ является числом вещественным, и мы будем считать его положительным. В формуле для $ u_1=\sqrt[3]<-q/2+\sqrt<\Delta>> $ в качестве значения кубического корня возьмем единственное его вещественное значение: $$ u_1 \in \mathbb R \ \Rightarrow \ v_1 \in \mathbb R \ .$$

Согласно формулам $$ \begin \lambda_1&=&u_1+v_1, \\ \lambda_2&=&u_2+v_2=u_2-\frac<\displaystyle p><\displaystyle 3u_2>=u_1\varepsilon_1-\frac<\displaystyle p> <\displaystyle 3u_1\varepsilon_1>=u_1\varepsilon_1-\frac<\displaystyle p\varepsilon_2><\displaystyle 3u_1>=u_1\varepsilon_1+v_1\varepsilon_2,\\ \lambda_3&=&u_3+v_3=u_1\varepsilon_2+v_1\varepsilon_1 \ . \end $$ получим: корень $ \lambda_ <1>$ уравнения веществен, а $ \lambda_ <2>$ и $ \lambda_ <3>$ — мнимы и комплексно-сопряжены.

Пример. Решить уравнение $$ x^3-\frac<1> <2>\, x-\frac<1> <2>=0 . $$

Решение. Здесь $$p=-\frac<1><2>,\ q=-\frac<1><2>,\ \Delta=\frac<25><432>,\ u_1=\sqrt[3]<\frac<1><4>+\frac<5 \sqrt<3>><36>> \ , \ v_1=\sqrt[3]<\frac<1><4>-\frac<5 \sqrt<3>><36>> \ . $$ Единственный вещественный корень должен получаться в виде суммы чисел $ u_ <1>$ и $ v_ <1>$ — «сильно» иррациональных, судя по внешнему виду. Тем не менее, этот корень очевиден: $ \lambda = 1 $.

Объяснить эту кажущуюся несуразность можно если заметить, что выражения под кубическими корнями в $ u_ <1>$ и $ v_ <1>$ представимы в виде кубов: $$\frac<1><4>+\frac<5 \sqrt<3>><36>=\left(\frac<1> <2>+\frac<\sqrt<3>> <6>\right)^3 ,\quad \frac<1><4>-\frac<5 \sqrt<3>><36>=\left(\frac<1> <2>-\frac<\sqrt<3>> <6>\right)^3 \ .$$ Тогда и два оставшихся корня $ -1/2 \pm 1/2 \, \mathbf i $ получаются из общих формул. ♦

II. Пусть $ \Delta=0 $. Формулы для корней дают $$ \lambda_1=2 \sqrt[3] <-q/2>\ , \ \lambda_2= \sqrt[3] , \ , \lambda_3= \sqrt[3] \ , $$ т.е. уравнение имеет кратный корень кратности $ 2_<> $ если $ q\ne 0 $ и кратности $ 3_<> $ если $ q=0 $.

III. Пусть $ \Delta ♦

В только что рассмотренном примере формула Кардано позволяет получить вещественные корни полинома — даже если для их выражения приходится иметь дело с мнимыми числами. Попробуем, однако, применить тот же прием ко следующему примеру.

Пример [2]. Решить уравнение $ x^3-3\,x+1=0 $.

Решение. Здесь $ \Delta=-\frac<3> <4>$ и $ u_1=\sqrt[3]<-\frac<1> <2>+ \frac<\sqrt<3>><2>\, \mathbf i> $. $$\sqrt[3]<-\frac<1> <2>+ \frac<\sqrt<3>><2>\, \mathbf i>= \alpha+ \mathbf i\, \beta \ \Rightarrow \ 4\, \alpha^3-3\, \alpha +\frac<1> <2>=0 \ . $$ Умножив последнее уравнение на $ 2_<> $ и сделав в нем замену переменной $ A = 2\alpha $ мы придем к уравнению $$A^3-3\, A +1 =0 \ , $$ т.е. вернемся к исходному уравнению!

Вывод: все корни полинома вещественны, но в радикалах их можно представить только с помощью мнимых чисел. ♦

Как разрешить этот парадокс?

Как получить вещественный вид для корней полинома? На помощь приходит альтернативный алгебраическому способ извлечения корня кубического из комплексного числа: способ, основанный на представлении этого числа в тригонометрической форме.

Теорема. В случае $ \Delta ♦

Пример. Решить уравнение из предыдущего примера: $ x^3-3\,x+1=0 $.

Решение. Здесь $ p=-3, q=1 $ и $ \displaystyle \varphi = \operatorname \left(- \frac<1> <2>\right) =\frac<2\,\pi> <3>$.

Ответ. $$ 2 \cos \frac<2\pi> <9>\approx 1.53208 \ ,\quad 2 \cos \frac<8\pi> <9>\approx -1.87938\ , \quad 2 \cos \frac <-4\pi> <9>\approx 0.34729 \ . $$ Проверка может быть выполнена применением формулы приведения для степени косинуса, приведенной ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Решить уравнение $ x^3-6\,x+3=0 $.

Решение. Здесь $ p=-6, q=3 $ и $ \displaystyle \varphi = \operatorname \left(- \frac<3><4\sqrt<2>> \right) \approx 2.1297861 $.

Ответ. $ \approx 2.145103,\ \approx -2.669079,\ \approx 0.523976 $.

Уравнение четвертой степени

рассмотрим в виде: $$ x^4+p\,x^2+q\,x+r=0 , $$ перепишем его в виде $$x^4=-p\,x^2-q\,x-r $$ и прибавим к обеим частям $ x^2t+t^2/4 $, где $ t $ — новая неизвестная: $$ x^4+x^2t+t^2/4=(t-p)\,x^2-q\,x +(t^2/4-r) \ . $$ Левая часть получившегося уравнения является полным квадратом: $$ \left(x^2+t/2 \right)^2 =(t-p)\,x^2-q\,x+(t^2/4-r) \ . $$ Подберем теперь значение $ t $ так, чтобы и правая часть стала полным квадратом.

Теорема. Для того, чтобы квадратный полином $ Ay^2+By+C $ был квадратом полинома первой степени, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант $ B^2-4\,AC $ был равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Если $ Ay^2+By+C\equiv (ky+ \ell)^2 $, то $ A=k^2,\, B=2\,k\ell,\, C=\ell^2 $ и тогда очевидно $ B^2-4\,AC=0 $.

Применяя этот результат к правой части полученного уравнения, находим условие на параметр $ t $, при котором это выражение станет полным квадратом: $$ q^2-4\,(t-p)(t^2/4-r)=0\ \iff \ t^3-p\,t^2-4\,r\,t+(4\,pr-q^2)=0 $$ Это уравнение называется резольвентой Феррари для уравнения $ x^4+p\,x^2+q\,x+r=0 $.

Поскольку резольвента Феррари является уравнением кубическим, то его можно разрешить в радикалах по методу изложенному ВЫШЕ. Обозначим через $ t_1 $ какой-то из его корней. При этом значении $ t $ правая часть уравнения $$ \left(x^2+t/2 \right)^2 =(t-p)\,x^2-q\,x+(t^2/4-r) \ . $$ будет полным квадратом: $$ (t_1-p)\,x^2-q\,x+(t_1^2/4-r) \equiv \left(Kx+L \right)^2 \quad npu \quad \ K= \sqrt,\, L= -\frac<2\sqrt> \ . $$ Следовательно, уравнение это уравнение приобретает вид: $$ \left(x^2+ t_1/2 \right)^2 = \left(Kx+L \right)^2 $$ и разлагается на два квадратных: $$ x^2+t_1/2 =Kx+L \quad u \quad x^2+t_1/2 =-Kx-L \ . $$ Последние, по их решении, и дают четыре значения корней уравнения четвертой степени.

Если обозначить корни этих квадратных уравнений через $ x_1,x_2 $ и, соответственно, $ x_3,x_4 $, то они будут связаны с корнем $ t_ <1>$ резольвенты Феррари равенством $ t_1=x_1x_2+x_3x_4 $. В самом деле, это равенство следует из двух формул Виета: $ x_1x_2=t_1/2-L,\, x_3x_4=t_1/2+L $. Остальные корни резольвенты получаются в результате перестановок $ t_2=x_1x_3+x_2x_4,\, t_3=x_1x_4+x_2x_3 $.

Пример [2]. Решить уравнение $ x^4+4\,x-1=0 $ .

Решение. Здесь $ p=0,\,q=4,r=-1 $ и резольвента Феррари имеет вид $$t^3+4\,t-16=0 \ .$$ Последнее уравнение имеет корень $ t_1=2 $. Следовательно, исходное уравнение можно переписать в виде: $$ (x^2+1)^2 =\left(\sqrt<2>x- \sqrt<2>\right)^2 \ . $$ Оно распадается на два квадратных: $$ x^2+1=\sqrt<2>\, x- \sqrt <2>\ u \ x^2+1=-\sqrt<2>\, x + \sqrt <2>\ . $$

Преобразование Чирнгауза

Успех, достигнутый в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода была очевидна: свести решение уравнения $ n_<> $-й степени к решению уравнения $ (n-1)_<> $-й степени. Одну из возможных вариаций этого подхода поясним на примере.

Пример. Решить уравнение $ x^3+6\,x-2=0 $.

Решение. Обозначим неизвестные корни полинома $ f(x)=x^3+6\,x-2 $ через $ \lambda_1,\lambda_2, \lambda_3 $. Построим полином $ F_<>(y) $, корнями которого являются величины $$ \mu_j=\lambda_j^2+2\, \lambda_j+4 . $$ Выражение $$F(y)= (y-\mu_1)(y-\mu_2)(y-\mu_3)$$ является симметрическим полиномом относительно $ \lambda_1,\lambda_2 $ и $ \lambda_ <3>$. Следовательно, по теореме Гаусса о симметрических полиномах, коэффициенты $ F_<>(y) $ должны полиномиально выражаться через коэффициенты $ f_<>(x) $, т.е. быть числами целыми. Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат: $$F(y)\equiv y^3-108 .$$ Корни этого полинома легко определить: $$ \mu_1=3\sqrt[3]<4>,\ \mu_2= 3\sqrt[3] <4>\left(-\frac<1> <2>+\mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\right),\ \mu_3= 3\sqrt[3]<4>\left(-\frac<1> <2>-\mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\right) \ . $$ Теперь находим $ \lambda_ $ из квадратных уравнений $$\sqrt[3] <4>— \sqrt[3]<2>,\ -2-\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>,\ $$ $$ \frac<1><2>\left(-\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right) + \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\left(\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right),\ -2 + \frac<1><2>\left(\sqrt[3] <4>— \sqrt[3]<2>\right) — \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\left(\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right),\ $$ $$ \frac<1><2>\left(-\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right) — \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\left(\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right),\ -2 + \frac<1><2>\left(\sqrt[3] <4>— \sqrt[3]<2>\right) + \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\left(\sqrt[3] <4>+ \sqrt[3]<2>\right). $$ Подстановкой в исходное уравнение выделяем истинные его корни.

Подобное преобразование полинома $ f_<>(x) $ в полином $ F_<>(y) $ той же степени, имеющий корнями числа $ g(\lambda_1),\dots, g(\lambda_n) $ при произвольном полиноме $ g(x)\in \mathbb A[x] $, называется преобразованием Чирнгауза.

Биографические заметки о Чирнгаузе ☞ ЗДЕСЬ.

Задача. Найти такое преобразование Чирнгауза, которое преобразует исходный полином к виду $ y^n-a $. Корни последнего, очевидно, выражаются в радикалах. Если при этом, $ \deg g ♦

Следующий способ нахождения преобразования Чирнгауза является развитием метода Безу вычисления результанта.

Найдем остатки от деления $ x^kg(x) $ на $ f_<>(x) $ $$ g_k(x) = b_+b_x+\dots +b_x^+b_x^ \quad npu \quad k\in\ <0,1,\dots,n-1\>$$ (здесь изменен порядок нумерации коэффициентов по сравнению с тем, что указан при изложении ☞ метода Безу ) и составим матрицу из коэффициентов: $$ B=[b_]_^ \ . $$

Теорема [Эрмит]. Имеем:

Доказательство. Равенства $$y=g(x),\, xy=g(x)x,\, \dots, x^y=g(x)x^ \ ,$$ при подстановке корня $ \lambda_j $ полинома $ f(x) $ переходят в $$y=g_0(\lambda_j),\,\lambda_jy=g_1(\lambda_j),\dots, \lambda_j^y=g_(\lambda_j) \ .$$ Рассмотрим получившиеся уравнения как линейную однородную систему относительно столбца неизвестных $$X=[1,\lambda_j,\dots,\lambda_j^]^ <\top>\ . $$ Поскольку эта система имеет нетривиальное решение, то (на основании следствия к теореме Кронекера-Капелли ) определитель ее матрицы должен обращаться в нуль. ♦

Пример. Решить предыдущий пример по методу Эрмита.

Решение. Имеем $$g_0(x)\equiv g(x)=-1+x+x^2, \ g_1(x)=-3+x+x^2, \ g_2(x)=-3-x+x^2 $$ и, следовательно, $$F(y)=(-1)^3\left| \begin -1-y & 1 & 1 \\ -3 & 1-y & 1 \\ -3 & -1 & 1-y \end\right|=y^3-y^2+6\,y-4 \ . $$

Будем решать теперь вторую из сформулированных выше подзадач: подобрать преобразование Чирнгауза таким образом, чтобы обнулить как можно большее число коэффициентов у полинома $ F_<>(y) $.

Пример. Для полинома $ f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 \in \mathbb C[x] $ подобрать преобразование Чирнгауза вида $ y=x^2+b_1x+b_2\in \mathbb C[x] $ так, чтобы получившийся в результате преобразования полином имел вид $ F(y)=y^3+c_3 $.

Найти преобразование Чирнгауза, позволяющее решить в радикалах уравнение $ x^3+a_1x^2+\frac<1><3>\, a_1^2x+a_3=0 $.

Статья не закончена!

Разрешимость в радикалах

Успех достигнутый в решении уравнений третьей и четвертой степени побудил исследователей искать подобные формулы для уравнений высших степеней. Методология подхода очевидна из предыдущих пунктов: свести решение уравнения $ n_<> $-й степени к решению уравнения $ (n-1) $-й степени. Однако, несмотря на почти трехвековые усилия лучших математиков мира, решить уравнение пятой степени не удавалось. Наконец, в начале XIX века был получен отрицательный результат.

Теорема [Руффини, Абель]. Уравнение степени выше четвертой в общем случае неразрешимо в радикалах.

Пример. Уравнение $ x^5-4\, x -2=0 $ неразрешимо в радикалах.

Установить разрешимо или нет данное конкретное уравнение в радикалах возможно с помощью теории, развитой французским математиком Галуа.

Пример. Уравнение $ x^5+x+1=0 $ разрешимо в радикалах, поскольку $ x^5+x+1\equiv (x^2+x+1)(x^3-x^2+1) $.

Отрицательный характер результата теоремы Руффини-Абеля не должен слишком уж разочаровывать. Он означает только лишь то, что корни полинома нельзя представить в виде формулы, состоящей из конечного набора сравнительно простых функций. Тем не менее, если расширить класс допустимых в формуле функций (или допустить бесконечность числа операций), представление для корня можно найти. Cм., к примеру,

Наконец, для практических задач часто более важна не столько «красивая» аналитическая формула для корня, сколько приближенное его значение с требуемой точностью.

Задачи

Источники

[1]. Журавский А.М. Сборник задач по высшей алгебре. М.-Л.ГТТИ. 1933

[2]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[3]. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.