Уравнение центробежных машин эйлера теоретический напор центробежного насоса

Теоретический напор насоса, формула Эйлера

Во вращающемся рабочем колесе на частицы жидкости действует центробежная сила:

F= m ω 2 R = ρ∙V∙ ω 2 R

Где Fц- центробежная сила

V – объем частиц

ω- угловая скорость

R- радиус рабочего колеса

В результате этого в центре колеса падает давление, создается разрежение, а на периферии колеса давление повышается, тем самым создается напор.

Движение жидкости в межлопаточных каналах вращающегося колеса можно рассматривать как результат сложения двух движений: переносного (вращение колеса) и относительного (движе­ние относительно колеса).

Поэтому вектор абсолютной скоростижидкости в колесе V может находиться как сумма векторов окруж­ной скорости U и относительной скорости W.

При этом относительная скоростьWнаправлена по касательной к лопатке, а окружнаяU — по касательной к соответствующей окружности.

Параллелограмм скоростей можно построить для лю­бой точки на лопатке.

Если все величины, относящиеся к входу на лопатку, отмечать индексом 1, а величины, относящиеся к выходу, — индексом 2, а угол между векторами скоростей окружной и абсолютной обо­значим через a, а между касательной к лопатке и касательной к окружности колеса, проведенной в сторону, обратную вращению, — через b ,то можно получить формулу для расчета теоретического напора (формула Эйлера)

(12)

Для вывода основного уравнения теории центробежного насоса принимают следующие два допущения:

1. Насос имеет бесконечно большое число одинаковых лопаток (z=¥), а толщина этих лопаток равна нулю (b=0). Это допущение означает, что мы предполагаем в межлопаточных кана­лах колеса такое струйное течение, при котором форма всех струек в относительном движении совершенно одинакова и точно соответ­ствует форме лопаток, а скорости зависят только от радиуса и не меняются на окружности данного радиуса. Это положение может иметь место лишь в том случае, когда каждая элементарная струйка направляется своей лопаткой.

2. Коэффициент полезного действия насоса равен единице (h=1), т.е. в насосе отсутствуют все виды потерь энергии и, сле­довательно, вся мощность, которая затрачивается на вращение колеса, целиком передается жидкости Такая работа насоса возможна лишь при перекачке идеальной жидкости, при отсутствии зазоров в насосе, а также при отсутствии механического трения в сальниках и подшипниках

Такой насос, у которого z=¥ и h=1, называетсяидеальным центробежным насосом.

Обычно жидкость подходит к рабочему колесу насоса без предварительной закрутки, а войдя в колесо, вступает в межло­паточные каналы, двигаясь радиально Это значит, что вектор V₁ направлен по радиусу, а угол a₁=90°. Следовательно, второй член в уравнении делается равным нулю и уравнение прини­мает вид

Эта форма уравнения Эйлера более употребительна.

Реальное колесо центробежного насоса имеет Z=4-8, a₂ = 5 — 10 0 , b₂ = 20 — 40 0 .

В этом случае поток в относительном движении уже не следует строго по направлению лопаток, что проводит к снижению теоретического напора Н_Т по сравнению с Н_Т∞..

где: К — поправка на коническое число лопаток,

Коэффициент К = 0,6 — 0,8 и зависит от кинематики и конструкции колеса.

Формула показывает, что для получения с помощью центробежного насоса больших напоров нужно иметь,

во-первых, большую окружную скорость вращения колеса и,

во-вторых, достаточную закрутка потока жидкости колесом.

Первое достигается соответствующими значениями числа оборотов и диаметра колеса, а второе — достаточным числом лопаток, их размером и формой.

Уравнение Эйлера

Жидкость, перекачиваемая под действием центробежной силы насосом, при прохождении через межлопаточные пространства (каналы) рабочего колеса приобретает как потенциальную, так и кинетическую энергию.

На рис. 2.25 изображена схема изменения направления скоростей на рабочем колесе при входе жидкости на рабочую лопатку и выходе с нее. Энергия в потоке жидкости увеличивается в результате силового воздействия лопаток колеса на жидкость и соответствующего расхода энергии двигателя, приводящего насос в действие. Напор, развиваемый насосом, может характеризовать удельную энергию, т. е. энергию, приобретенную единицей массы жидкости.

Рис. 2.25. Схема изменения направления скоростей на рабочем колесе насоса

Эйлер вывел уравнение для определения теоретического напора при следующих допущениях: а) перекачиваемая жидкость является идеальной (при ее протекании через проточную часть насоса исключаются гидравлические сопротивления); б) рассматриваемый насос имеет бесконечно большое число лопаток, благодаря чему все частицы жидкости движутся внутри колеса по одинаковым траекториям, имеющим очертания лопаток.

Бесконечное число лопаток дает бесконечно узкий канал для прохода жидкости и обеспечивает ламинарный характер течения жидкости, что упрощает построение векторной диаграммы на выходе. Допустим, что за 1 с через колесо протекает масса жидкости т. При входе в лопаточное колесо частица жидкости получает окружную скорость направленную по касательной к окружности входных кромок и равную u1 = 0,5ωD1, где ω — угловая скорость колеса насоса (по часовой стрелке); D1 — диаметр внутренней окружности колеса. Кроме того, жидкость получает относительную скорость ω1 которая направлена по касательной к контуру лопатки от положения входа.

Абсолютная скорость с1 может быть найдена построением параллелограмма, сторонами которого являются векторы скорости u1 и ω1. После того как частица жидкости совершила путь вдоль лопаток колеса, при выходе она будет иметь окружную скорость u2, направленную по касательной к наружному контуру колеса, и относительную ω2, направленную по касательной к контуру лопатки. Построив параллелограмм, можно найти абсолютную скорость выхода с2. Напор Ht∞ (t — идеальная жидкость; ∞ — бесконечно большое число лопаток) определяется на основании закона, известного из теоретической механики, по которому приращение момента количества движения материальной системы относительно данной оси за некоторый промежуток времени равно моменту импульса всех внешних сил за тот же промежуток времени (например, за 1 с).

Количество движения массы жидкости при входе равно произведению массы на скорость F1 = mc1, а при выходе F2 = mс2. Момент количества движения массы жидкости при входе равен 0,5mc1D1 cos α1, момент количества движения массы жидкости при выходе 0,5mc2D2 cos α2, где α1, α2 — углы между направлениями абсолютной и окружной скоростей. Момент импульса внешних сил равен разности моментов количества движения М = 0,5 (mc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1). Для упрощения обе части уравнения умножим на угловую скорость и разделим на массу, а левую часть разделим и умножим на ускорение свободного падения:
Mωg/(mg) = 0,5 (ωc2D2 cos α2 — mc1D1 cos α1. (2.6)
Известно, что мощность равна произведению угловой скорости и момента импульса внешних сил: N = ωМ. Если мощность выразить через теоретический напор, то она равна N = mgHt∞, откуда
Ht∞ = N/(mg). (2.7)
Заменяя в уравнении (2.6) произведение Мω на N и помня, что u1 = 0,5ω1D1 и u2 = 0,5ω2D2, получаем N/(mg) = (c2u2 cos α2 —с1u1 cos α1)/g. С учетом равенства (2.7) теоретический напор определится из выражения Ht∞ = (c2u2 cos α2 — c1u1 cos α1)/g.

Полный теоретический напор равен сумме статического и динамического напоров: Ht∞ = Hст + Hдин. Это очевидно из другого уравнения Эйлера, полученного через уравнение Бернулли: Ht∞ = Hст + Hдин = (n2 — u1)/(2g) + (w1 — w2)/(2g) + (c2—c1)/(2g).

Так как проекция абсолютной скорости на направление окружной скорости u2 представляет собой тангенциальную составляющую абсолютной выходной скорости с2, то она вычисляется по выражению c2u = с2 cos a2. Ввиду того что у большинства центробежных насосов отсутствуют направляющие аппараты при входе жидкости на лопатки и во избежание больших гидравлических потерь от ударов жидкости о лопатки угол ах принято выбирать равным 90°. Но cos 90° = 0, следовательно, c1u1 cos а1 = = 0. Таким образом, получаем основное уравнение центробежного насоса, или уравнение Эйлера:
Ht∞ = u2c2 cos a2/g = u2c2u/g. (2.8)
Основные уравнения для получения теоретического напора Ht в центробежном насосе были получены при условии, что траектория каждой частицы жидкости, движущейся по рабочему колесу, совпадает с профилем лопатки. Это было бы возможно лишь в том случае, когда каждая элементарная струйка направлялась бы двумя бесконечно тонкими лопатками, которых потребовалось бы бесконечно большое число. В действительном насосе число лопаток ограничено и они имеют определенную толщину. Это приводит к искажению треугольников скоростей, пересечению струек жидкости и образованию различных завихрений. Затраты на эти потери энергия снижают создаваемый напор на величину коэффициента φ = 1/<1 + 2 /z·1/[1 — (γ1/γ2)2]>, где ψ — технологический коэффициент, который зависит от степени обработки проточной части и угла β2 между направлениями относительной и окружной скоростей, находится по соотношению ψ= (0,55÷0,65) + 0,6 sin β1 ≈ 0,8÷1,3; z = 6÷9 — число лопастей судового насоса.

Для получения действительного напора необходимо учитывать также потери на преодоление гидравлических сопротивлений в насосе. Тогда (2.8) может быть преобразована в формулу действительного напора Hд = Ht∞φηr=u2c2uφηr/g.

Основное уравнение центробежных машин Эйлера

Основные параметры насосов

Основными параметрами насоса любого тина являются производительность, напор и мощность.

Производительность или подача Q (м 3 /с) определяется объемом жидкости, подаваемой насосом в нагнетательный трубопровод в единицу времени.

Напор Н (м) характеризует удельную энергию, которая сообщается насосом единице веса перекачиваемой жидкости. Этот параметр показывает, насколько возрастает удельная энергия жидкости при прохождении ее через насос, и определяется с помощью уравнения Бернулли. Напор можно представить как высоту, на которую может быть поднят 1 кг перекачиваемой жидкости за счет энергии, сообщаемой ей насосом. Поэтому напор не зависит от удельного веса (кгс/м 3 ) или плотности (кг/м 3 ) перекачиваемой жидкости.

Полезная мощность N_п, затрачиваемая насосом на сообщение жидкости энергии, равна произведению удельной энергии Н на весовой расход gQ жидкости:

. (1)

Мощность на валу N_в больше полезной мощности в связи с потерями энергии в насосе, которые учитываются коэффициентом полезного действия КПД насоса h_н:

. (2)

Коэффициент полезного действия h_н характеризует совершенство конструкции и экономичность эксплуатации насоса. Величина h_н отражает относительные потери мощности в самом насосе и выражается произведением

, (3)

где — коэффициент подачи, или объемный КПД, представляющий собой отношение действительной производительности насоса Q к теоретической Q_т (учитывает потери производительности при утечках жидкости через зазоры и сальники насоса, а также вследствие неодновременного перекрытия клапанов и выделения воздуха из перекачиваемой жидкости при давлении ниже атмосферного — во время всасывания); — гидравлический КПД — отношение действительного напора насоса к теоретическому (учитывает потери напора при движении жидкости через насос); — механический КПД, характеризующий потери мощности на механическое трение в насосе (в подшипниках, сальниках и др.).

Мощность, потребляемая двигателем, или номинальная мощность двигателя N_дв, больше мощности на валу вследствие механических потерь в передаче от электродвигателя к насосу и в самом электродвигателе. Эти потери учитываются введением в уравнение (3) КПД передачи и КПД двигателя :

. (4)

Произведение представляет собой полный КПД насосной установки , который определяется как отношение полезной мощности к номинальной мощности двигателя и характеризует полные потери мощности насосной установкой:

. (5)

Из уравнений (3) и (5) следует, что полный КПД насосной установки может быть выражен произведением пяти величин:

. (6)

Установочная мощность двигателя N_ycт рассчитывается по величине с учетом возможных перегрузок в момент пуска насоса, возникающих в связи с необходимостью преодоления инерции покоящейся массы жидкости:

здесь b — коэффициент запаса мощности; его значения определяют в зависимости от номинальной мощности двигателя .

Напор насоса

Рассмотрим схему насосной установки, представленной на рис. 1. Введем обозначения: р_о –давление в емкости 1, из которой насосом 2 засасывается жидкость (назовем ее условно приемной емкостью); р₂ – давление в напорной емкости 3; р_вс – давление во всасывающем патрубке насоса; р_н – давление в напорном патрубке насоса; Н_вс – высота всасывания; Н_н – высота нагнетания; Н_г – геометрическая высота подачи жидкости; h – расстояние по вертикали между уровнями установки манометра М и вакуумметра В.

Примем за плоскость сравнения уровень жидкости в приемной емкости (сечение О—О). Уравнение Бернулли для сечений O-О и I-I:

. (8)

Уравнение Бернулли для сечений 1′-1′ и II-II:

, (9)

где и — скорости жидкости в приемной и напорной емкостях (в сечениях О-О и II-II соответственно); и — скорости жидкости во всасывающем и нагнетательном патрубках насоса; и — потери напора во всасывающем и нагнетательном трубопроводах.

Скорость жидкости пренебрежимо мала по сравнению со скоростью во всасывающем трубопроводе , и поэтому может быть исключена из уравнения (8). Тогда из этого уравнения удельная энергия Е_вх жидкости на входе в насос:

. (9)

Аналогично 90°, cos .

2. Лопатки загнуты в направлении, обратном направлению вращения колеса: 0 и Н_т 2 /с развивает напор 1 м. Коэффициент быстроходности является основной характеристикой серии подобных насосов, имеющих одинаковые углы и (см. рис. 5) и коэффициенты и .

Коэффициент быстроходности n_s (мин -1 ) можно определить по уравнению

,

где п – число оборотов насоса, мин -1 : Q – производительность насоса при максимальном КПД, м 3 /с; Н – полный напор насоса, м.

Из приведенного уравнения следует, что при постоянном числе оборотов колеса п коэффициент быстроходности n_s возрастает с увеличением производительности и уменьшением напора. Поэтому в общем случае тихоходные колеса применяют для получения повышенных напоров при малой производительности, а быстроходные — для достижения высоких производительностей при небольших напорах,

Колеса центробежных насосов в зависимости от значения коэффициента быстроходности n_s делятся на три основных типа:

Поршневые насосы

Принцип действия и типы насосов. В поршневом насосе (рис. 10) всасывание и нагнетание жидкости происходят при возвратно-поступательном движении поршня 1 в цилиндре 2 насоса. При движении поршня вправо в замкнутом пространстве между крышкой 3 цилиндра и поршнем создается разрежение под действием разности давлений в приемной емкости и цилиндре жидкость поднимается по всасывающему трубопроводу и поступает в цилиндр через открывающийся при этом всасывающий клапан 4. Нагнетательный клапан 5 при ходе поршня вправо закрыт, так как на него действует сила давления жидкости, находящейся в нагнетательном трубопроводе. При ходе поршня влево в цилиндре возникает давление, под действием которого закрывается клапан 4 и открывается клапан 5.

Рис. 10. Схема горизонтального поршневого насоса простого действия:

1 – поршень, 2 – цилиндр, 3 – крышка цилиндра, 4 – всасывающий клапан, 5 – нагнетательный клапан, 6 – кривошипно-шатунный механизм, 7 – уплотнительные кольца

Жидкость через нагнетательный клапан поступает в напорный трубопровод и далее в напорную емкость. Таким образом, всасывание и нагнетание жидкости поршневым насосом простого действия происходит неравномерно: всасывание – при движении поршня слева направо, нагнетание – при обратном направлении движения поршня. В данном случае за два хода поршня жидкость один раз всасывается и один раз нагнетается. Поршень насоса приводится в движение кривошипно-шатунным механизмом 6, преобразующим вращательное движение вала в возвратно-поступательное движение поршня.

По числу всасываний или нагнетаний, осуществляемых за один оборот кривошипа или за два хода поршня, поршневые насосы делятся на насосы простого и двойного действия. В зависимости от конструкции поршня различают собственно поршневые и плунжерные (скальчатые) насосы.

В поршневых насосах основным рабочим органом является поршень 1, снабженный уплотнительными кольцами 7 (рис. 10), пришлифованными к внутренней зеркальной поверхности цилиндра. Плунжер, или скалка, не имеет уплотнительных колец и отличается от поршня значительно большим отношением длины к диаметру.

По числу оборотов кривошипа (числу двойных ходов поршня) различают тихоходные (п = 45…60 мин -1 ), нормальные (п = 60…120 мин -1 ) и быстроходные (га = 120…180 мин -1 ) поршневые насосы. У прямодействующих насосов число двойных ходов составляет 50—120 в минуту.

Производительность. В поршневых насосах жидкость при всасывании занимает в цилиндре объем, освобождаемый поршнем. В период нагнетания этот объем жидкости вытесняется поршнем в нагнетательный трубопровод. Следовательно, теоретически (без утечек жидкости) производительность поршневого насоса будет определяться объемом, описываемым поршнем в единицу времени.

В поршневом насосе простого действия объем, описываемый поршнем в единицу времени, будет равен произведению площади сечения F поршня, длины хода S поршня и числа оборотов п кривошипно-шатунного механизма.

Таким образом, теоретическая производительность (Q, м 3 /с) насоса простого действия

,

где п – число оборотов, с -1 .

В насосе двойного действия за два хода поршня или один оборот кривошипа происходит два раза всасывание и два раза нагнетание. При ходе поршня вправо с левой стороны засасывается объем жидкости, равный FS, а с правой — нагнетается объем (F – f) S, где – площадь поперечного сечения штока. При ходе поршня влево с левой стороны выталкивается в нагнетательный трубопровод объем FS, а с правой – засасывается из всасывающей линии (F – f) S м 3 жидкости.

Следовательно, за п оборотов кривошипа или двойных ходов поршня, теоретическая производительность насоса двойного действия составит:

Из выражения (28) следует, что если пренебречь объемом жидкости, вытесняемым штоком (f