Уравнение цепи 2 го порядка

Уравнение цепи 2 го порядка

3.3 Переходные процессы в цепях второго порядка

Цепи второго порядка содержат два реактивных элемента; это могут быть две индуктивности, две емкости или емкость с индуктивностью. Кроме того, цепь включает некоторое количество резистивных элементов и независимых источников энергии, которые для простоты анализа будем считать стационарными. В зависимости от наличия тех или иных реактивных элементов, решение задачи следует искать или для переменной состояния i _L ( t) , или для u _C ( t). Форма записи решения определена общей теорией:

где p₁ и p₂ — корни характеристического уравнения.

Поиск решения выполняется в той же последовательности, что и для цепей первого порядка:

1. Находят корни характеристического уравнения. Они могут быть вещественными разными и отрицательными или вещественными кратными и отрицательными или комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью;

2. Из анализа цепи после коммутации определяют принужденную составляющую режима или , что можно сделать, если в цепи продолжают действовать стационарные источники питания;

3. Исследуя основные и неосновные начальные условия, находят постоянные интегрирования , или , .

Рассмотрим подробнее каждый шаг решения.

1. Определение корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение может быть получено классическим методом путем составления системы уравнений по законам Кирхгофа с последующим сведением этой системы к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Этот способ подробно описан в учебной литературе и здесь не рассматривается. Как показывают примеры, рассмотренные ранее, этот путь сопровождается достаточно громоздкими преобразованиями.

Было замечено, что характеристическое уравнение содержится внутри

функции входного сопротивления как некоторый инвариант, присущий данной цепи. Рассмотрим этот способ получения характеристического уравнения путем исследования входного сопротивления на примере цепи, представленной на рис.3.13а. Будем считать, что цепь питается от источника постоянного тока и содержит два резистивных сопротивления, индуктивность и емкость. После коммутации ( t>0) (ключ S замыкается) переходный процесс в цепи, изображенной на рис.3.13б, развивается за счет независимого источника тока, а также за счет энергии, запасенной в реактивных элементах цепи. Свободная составляющая режима, определяемая корнями характеристического уравнения, не зависит от внешнего источника питания, а определяется только параметрами элементов ветвей и способом их соединения. Точно так же не зависит от внешних источников питания и функция входного сопротивления [1]. Поэтому возникает идея поискать корни характеристического уравнения внутри функции входного сопротивления.

На рис.3.13в и рис.3.13г представлены комплексные схемы замещения цепи, которые следует составить для определения входного сопротивления со стороны

первой и третьей ветви, где .

Рис. 3.13. Схема RLC -цепи второго порядка:

а) исходная цепь

б) схема после коммутации

в) входное сопротивление со стороны третьей ветви

г) входное сопротивление со стороны первой ветви

Объединяя параллельно и последовательно соединенные ветви, найдем входные сопротивления со стороны обозначенных зажимов

Числители полученных выражений совпадают, а знаменатели различны. Аналогичный результат получим, если найдем входное сопротивление со стороны второй ветви. Следовательно, числитель входного сопротивления со стороны любой ветви является некоторым расчетным инвариантом, определяемым топологией цепи. Числитель этого инварианта при замене комплексной переменной jω на p совпадает с характеристическим полиномом. Используя эту замену и, приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение:

После замены в числителе переменной jω на p и деления на коэффициент при старшем члене получим уравнение второй степенин.Найдем корни этого уравнения

На основании этого анализа сформулируем порядок получения характеристического уравнения цепи:

а. Для времени t>0 следует изобразить комплексную расчетную цепь;

б. Исключить из схемы все независимые источники энергии: источники тока разомкнуть, источники напряжения замкнуть накоротко. Найти входное сопротивление со стороны любой ветви и записать это выражение в виде дробно-рациональной функции, где в числителе и в знаменателе образуются полиномы по степеням jω

в. Числитель полученного выражения, совпадающий с характеристи-ческим полиномом, приравнять к нулю, предварительно заменив переменную jω на p. Найти корни характеристического уравнения и записать решение для искомой переменной состояния в виде (3.17) или (3.18).

Рис. 3.14. Схема для определения принужденных составляющих режима

2. Определение принужденной составляющей режима при стационарном воздействии находят для момента времени t = ∞, когда переходный процесс в цепи уже закончен. Для рассматриваемого в примере режима постоянного тока исследуемая схема приведена на рис.3.14, где индуктивность заменена короткозамкнутой перемычкой, а емкость разрывом. Используя правило деления тока на части, найдем

3. Постоянные интегрирования A₁ и A₂ (или B₁ и B₂) можно найти на основании основных и неосновных начальных условий. Основные начальные условия определяются законами коммутации по схеме докоммутационного состояния цепи. Для рассматриваемого примера такая схема приведена на рис.3.15а, из анализа которой следует

что дает одно уравнение для определения постоянных интегрирования:

Переходной процесс в цепи второго порядка

5 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рисунок 5.1 — Схема цепи

Уравнение цепи имеет вид

(5.1)

Дифференцируя обе части выражения (5.1), получим уравнение второго порядка для тока i в цепи:

(5.2)

Однородное уравнение, определяющее свободный ток, можно записать

(5.3)

Введем обозначения и . Тогда

(5.4)

(5.5)

. (9.34)

Ток переходного режима

(5.6)

Ток установившегося режима можно найти, если известен вид функции .

Произвольные постоянные интегрирования A1 и A2 определяют из начальных физических условий: .

Для определения постоянных A1 и A2 надо знать значение тока и всех его производных до (n – 1) включительно в начальный момент времени. В данном случае необходимо знать начальное значение тока и его первой производной. Начальное значение первой производной тока находится из уравнения цепи (5.1) при (t = 0)

(5.7)

где u(0) – значение приложенного напряжения u(t) при t = 0.

Из последнего уравнения получаем

(5.8)

Из уравнения (5.8) для производной тока имеем

.

Уравнения для нахождения постоянных интегрирования

(5.9)

где – значения тока установившегося режима и его производной в начальный момент времени, известные из найденного ранее частного решения исходного дифференциального уравнения (5.1).

В качестве примера рассмотрим расчет переходного процесса классическим методом для схемы, изображенной на рис. 5.2. Определить ток.

Рисунок 5.2 — Расчетная схема

1. Для цепи после коммутации составляются уравнения по I и II законам Кирхгофа.

2. Определяются независимые начальные условия из расчета схемы до коммутации:

;

.

3. Искомая величина записывается в виде

.

4. Установившуюся составляющую определяют из расчета режима цепи после коммутации (при E = const ток после коммутации есть ток во внешнем контуре).

5. Составляется характеристическое уравнение, и определяются его корни

.

Корни могут быть:

действительные разные p1 и p2; действительные равные p1 = p2 = p; комплексно сопряженные ,

где б – коэффициент затухания;

щсв – угловая частота свободных колебаний.

6. В соответствии с полученными корнями характеристического уравнения записывается свободная составляющая:

1) ;

2) ;

3) , где .

7. Искомое решение для первого случая

.

8. Определяются постоянные интегрирования A1 и A2:

,

.

Уравнения п.1 для момента времени t = 0 запишутся как

.

Независимые начальные условия i(0) и уже определены в п.2. Зависимые начальные условия i1(0), i2(0) и определяются из последней системы уравнений.

Для определения необходимо продифференцировать систему уравнений п.1:

9. После определения постоянных интегрирования A1 и A2 подставляют их в искомое решение и расчет окончен.

Для определения других токов и напряжений не требуется выполнять все этапы расчета. Можно использовать известные выражения

.

В этом случае приложенное напряжение, а также ток установившегося режима равны нулю:

.

Для определения произвольных постоянных интегрирования в уравнении необходимо положить: .

Рисунок 5.3 — Расчетная схема

Обозначим . Тогда

.

(5.10)

Напряжения на катушке и конденсаторе

(5.11)

При выводе последнего уравнения учитывалось, что .

5.1 Корни характеристического уравнения

Характер процессов при разряде конденсатора оказывается различным в зависимости от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными, что определяется соотношениями между параметрами R, L и C.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Пусть корни характеристического уравнения вещественны и отличны друг от друга. Это имеет место при условии

.

Так как и и, кроме того, , то при изменении t от 0 до ∞ величины и убывают от 1 до 0 и при том разность всегда положительна (рис. 5.4).

Ток i не меняет своего направления, т. е. конденсатор все время разряжается. Такой односторонний разряд конденсатора называют апериодическим. Кривые изменения напряжений показаны на рис. 5.5.

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2−го порядка

3.4 Апериодическое звено второго порядка

Апериодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье — мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модель механического демпфера. Это поршень на пружине, он движется внутри цилиндра, может перемещается вверх-вниз. Его положение – это интересующая нас функция Y(t), сверху на него воздействует возмущающая сила (U(t)), на стенках поршня действует сила вязкого трения. (См. рис. 3.4.1)

Рисунок 3.4.1. Расчетная схема амортизатора.

Выведем передаточную функцию для этого звена. Согласно 2-му закону Ньютона ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

— масса поршня;

— положение поршня (выходная переменная);

— приложенная сила (входное воздействие);

— сила тяжести;

– сила сопротивления пружины;

– сила вязкого трения (пропорциональная скорости движения поршня).

Считаем, что в нулевой момент времени поршень находится в равновесии. Тогда начальное положение поршня — y₀ в равновесии, где скорость и ускорения равны 0, можно посчитать из уравнения 2.

Перепишем уравнение равновесия в отклонениях от нулевого состояния:

Поскольку мы приняли, что в начальный момент у нас состояние равновесия, а сумма трех сил в состоянии равновесия равна нулю, их можно убрать из уравнения, и в итоге получим:

Приведем данное уравнение к классическому виду:

Уравнение динамики апериодического звена 2−го порядка имеет следующий вид:

Если D Рисунок 3.4.2 Апериодическое звено 2-го порядка (два варианта)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ):

Домножив числитель и знаменатель формулы (3.4.5) на комплексно-сопряженные скобки и , получаем:

Действительная и мнимая части передаточной функции:

Анализируя поведение и при и при , получаем:

Модуль АФЧХ (амплитуда), то есть mod(W(i·ω)) = |W(i·ω)| из формулы 3.4.5:

Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ω можно построить векторы, соответствующие различным значениям ω:

Рисунок 3.4.3 Годограф АФЧХ апериодического звена 2-го порядка

Из формул 3.4.6 очевидно, что на рисунке годографа 3.4.3 :

\omega_5>\omega_4>\omega_3>\omega_2>\omega_1>0\\ 2) \ \ 0 >\varphi_1>\varphi_2>\varphi_3>\varphi_4>\varphi_5>\varphi_6″ alt=»1) \ \omega_6>\omega_5>\omega_4>\omega_3>\omega_2>\omega_1>0\\ 2) \ \ 0 >\varphi_1>\varphi_2>\varphi_3>\varphi_4>\varphi_5>\varphi_6″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/663/02f/0f1/66302f0f16e854680e603612571bc0af.svg» width=»733″ height=»44″/>

Используя формулу 3.4.6 можно показать что при

Из рисунка видно, что .

Формула фазового сдвига:

\omega_3 \Rightarrow j=1.» alt=» \omega\leq \omega_3 \Rightarrow j = 0;\\ \omega>\omega_3 \Rightarrow j=1.» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/ee5/e65/0f3/ee5e650f39001b205a1e75c0ca3f70a8.svg» width=»733″ height=»40″/>

Для фазового сдвига удобно представить апериодическое звено в виде последовательного соединения двух звеньев (см. рис. 3.4.2). Известно, что при последовательном соединении звеньев общий сдвиг фазы равен сумме фазовых сдвигов:

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)

Графики А(ω), φ (ω), Lm(ω) имеют вид:

Рисунок 3.4.4 АЧХ и ФЧХ апериодического звена 2-го порядка Рисунок 3.4.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка

В инженерных расчетах часто график Lm(ω) представляют виде отрезков ломаных, тогда:

при — звено близко к идеальному усилительному звену

при — звено близко к идеальному интегрирующему звену

при 1/T_3″ alt=»\omega>1/T_3″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/230/304/ad3/230304ad37f36d023cf3233756aa804a.svg»/>- звено близко к дважды интегрирующему звену

В граничном случае или отмеченные на графике Lm(ω) (см. рис. 3.4.5 выше) точки «излома» совпадают:

Рисунок 3.4.6 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка в граничном случае

Если звено “переходит” в разряд колебательных звеньев. Поэтому постоянная Т₁ в уравнении динамики (3.4.1) играет роль демпфирующего фактора, увеличение Т₁ (в колебательном звене) приводит к уменьшению или к полному исчезновению колебаний.

Найдем переходную функцию звена — реакцию на воздействие единичное воздействие 1(t).

Для нахождения функции по формуле Хэвисайда (см. раздел 2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению), запишем корни полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых обращается в ноль:

Тогда по формуле Хэвисайда:

Вычисляя пределы получим формулу для переходной функции звена:

Весовая функция получается дифференцированием :

Рисунок 3.4.7 Переходная функция апериодического звена 2-го порядка

Примерами апериодического звена 2-го порядка являются:

1) двигатель постоянного тока при учете инерционности самого якоря (механической) и цепи якоря (электрической);

2) электрический усилитель руля автомобиля с учетом инерционности (механической и электрической) ротора;

3) двойные R − C или R – L цепочки

Рисунок 3.4.9 Пример апериодического звена 2-го порядка

Если звено представлено в переменных состояния в матричной форме таким образом:

то звено будет апериодическим 2-го порядка, если:

Пример

В качестве примера возьмём модель демпфера, которую мы уже использовали в лекциях. (см. Рисунок 3.4.10) Структурная схема модели описывает уравнения динамики, описанные в начале статьи. Свойства системы заданы в списке общих сигналов проекта (см. рис. 3.4.11). Для получения из демпфера апериодического звена 2-го порядка необходимо увеличить силу трения таким образом, чтобы (как показано выше) коэффициент T₁ был больше, чем 2 х T₂. В этом случае D>0 и из колебательного звена мы получим апериодическое 2-го порядка.

Рисунок 3.4.10 Структурная схема модели демпфера. Рисунок 3.4.11 Параметры модели

Для дальнейшего исследования на схему добавлена модель демпфера в виде звена общего вида, а его свойства заданы в виде формул, выражающих коэффициенты звена через параметры модели. (см. рис. 3.4.12).

Рисунок 3.4.12. Параметры для модели демпфера в виде звена

Выполним моделирование переходного процесса при ступенчатом изменении приложенной силы и сравним переходные процессы в двух вариантах модели демпфера. График переходного процесса (см. рис. 3.4.13) показывает, что переходные процессы в двух моделях полностью идентичны:

Рисунок 3.4.13 Переходные процессы в двух моделях.

График частотных характеристик звена (ЛАХ и ФЧХ) представлен на рисунке 3.4.14 На графике видно две точки излома характеристики ЛАХ в которых наклон последовательно меняется с 0, до 20дБ/дек и с 20дБ/дек до 40 дБ/дек.

Рисунок 3.4.14 Частотные характеристика ЛАХ и ФЧХ

Для демонстрации влияния изменения Т₁ на свойства звена выполним моделирование, в котором структурная схема является эталонной, а в модели звена будем уменьшать коэффициент силы трения (коэффициент T₁).

Источником воздействия будет меандр, с периодом 3 секунды.

Для изменения свойств звена создадим блок на языке программирования. Данный блок, в процессе моделирования, постепенно уменьшает коэффициент Т₁ для модели в виде звена. Этот же блок готовит данные для отображения на 3D графике переходного процесса.

Общая схема модели приведена на рисунке 3.4.15.

Рисунок 3.4.15 Схема демпфера с изменения свойств блока

Меандр задает изменение приложенной силы 0 – 30 Н (входного воздействия) с полупериодом 1.5 сек. График изменения положения приведен на рисунке 3.4.16 Видно, что на первом изменении графики совпадают, но потом по мере накопления отличий в параметрах динамика изменения положения начинает меняться.

Рисунок 3.4.16 Графики положения демпферов.

Первая часть процесса изображена на рисунке 3.4.17 Видно, что снижение силы трения обеспечивает более быстрое изменении положения демпфера.

Рисунок 3.4.17 Начальная часть графика

Конечная часть графика представлена на рисунке 3.4.19. Дальнейшее снижение силы трения приводит к тому, что процесс перехода при ступенчатом изменении воздействия становится колебательным.

Рисунок 3.4.18 Конечная часть моделировани

ЗD поверхность отображает переходный процесс при ступенчатом увеличении воздействия в блоке меандр. По оси Z отражается положение демпфера, по оси Y – время после увеличения входного воздействия в блоки меандр, по оси X – изменений T₁ (уменьшение силы трения).

Рисунок 3.4.19 Поверхность переходного процесса при снижении трения

В заключение, сравним переходные процессы для разных параметров T₁ (разных коэффициентов трения). Поскольку все основные блоки в SimInTech являются векторными, создадим модели 7-ми демпферов из одного звена. Для этого в главном окне программы подготовим 7 векторов значений с разными коэффициентами трения. Скрипт приведен на рисунке 3.4.20.

Рисунок 3.4.20 Скрипт модели для задания параметров 7 демпферов

Четвертый вектор содержит переходное значение T₁. Как было показано выше, переходное значение T₁, при котором апериодическое звено второго порядка превращается в колебательное рассчитывается по формуле T₁ = 2хT_2.

В модели, в свойствах блока указываем эти векторы в столбце «формулы», и теперь блок может рассчитывать одновременно 7 демпферов одним блоком. (см. рис. 3.4.21)

Рисунок 3.4.21 Настройка параметров блока для векторного расчета

Общая схема модели в этом случае будет выглядеть как показано на рисунке 3.4.22 Ступенчатое изменение силы передается в блок «Размножитель», где преобразуется в вектор из 7 воздействий. Данный вектор передается в блок, где и происходит расчёт семи вариантов демпфера.

Рисунок 3.4.22 Схема модели 7-и демпферов

Результат переходного процесса представлен на рисунке 3.4.23. Видно, что 3 демпфера ведут себя как апериодическое звено второго порядка, 3 демпфера явно превратились в колебательные.

Рисунок 3.4.23 Перемещение 7 демпферов при ступенчатом воздействии

Характеристики ЛАХ и ФХЧ представлены на рисунке 3.4.24. Наглядно видно, как постепенно, при снижении коэффициента трения исчезают два излома на графике ЛАХ, и звено превращается в колебательное, о котором будем говорить в следующей части.

Рисунок 3.4.25 Частотные характеристики 7-и демпферов

Модели с примерами для самостоятельного изучения можно взять по ссылке.