Уравнение цепи статора синхронной машины

Уравнения электромагнитного переходного процесса синхронной машины

Общие сведения об электромагнитных переходных процессах

Основными причинами возникновения электромагнитных переходных процессов являются:

· Включение и отключение двигателей и других приемников электрической энергии;

· Короткое замыкание в электрической системе, автоматическое повторное включение линии на сохранившееся короткое замыкание;

· Возникновение местной несимметрии в системе;

· Действие форсировки возбуждения синхронных машин, их развозбуждение;

· Несинхронное включение синхронных машин.

Коротким замыканием называют всякое, не предусмотренное нормальными условиями работы, замыкание между фазами, а в системах с заземленными нейтралями – замыкание одной или нескольких фаз на землю.

В трехфазных системах с заземленной нейтралью различают следующие основные виды коротких замыканий в одной точке:

· Трехфазное короткое замыкание – К (3) ;

· Двухфазное короткое замыкание – К (2) ;

· Однофазное короткое замыкание – К (1) ;

· Двухфазное короткое замыкание на землю – К (1,1) .

Симметричным называют такое короткое замыкание, когда при нем все фазы остаются в одинаковых условиях, иначе короткое замыкание называют несимметричным.

Следствиями действия тока короткого замыкания являются:

· Дополнительный нагрев токоведущих элементов и проводников выше допустимого;

· Возникновение больших механических усилий между проводниками;

· Снижение напряжения, приводящее к ухудшению эффективности работы потребителей, авариям на электростанциях и подстанциях;

· Нарушение работы линий связи и сигнализации, за счет наведения дополнительных магнитных потоков;

· Нарушение устойчивости электрических систем.

Токи короткого замыкания с учетом действия устройств релейной защиты обычно существуют непродолжительное время, но их приходится учитывать и тщательно рассчитывать ввиду вышеуказанных последствий. По режиму короткого замыкания должны проверяться

1) В электроустановках выше 1 кВ:

а) электрические аппараты, токопроводы, кабели и другие проводники, а также опорные конструкции для них;

б) воздушные линии при ударном токе короткого замыкания 50 кА и более для предупреждения схлестывания проводов при динамическом действии токов короткого замыкания.

2) В электроустановках до 1 кВ – распределительные щиты, токопроводы и силовые шкафы.

Аппараты, которые предназначены для отключения токов короткого замыкания, должны обладать способностью производить эти операции при всех возможных токах короткого замыкания.

Уравнения электромагнитного переходного процесса синхронной машины

Переходный процесс в электрической машине любого типа может быть описан системой дифференциальных уравнений в той или иной системе координат. Выбор системы координат определяется конкретными условиями решаемой задачи. Дифференциальные уравнения равновесия ЭДС и падений напряжений в каждой из обмоток статора (А, В, С) и ротора (f):

где R_А, R_В, R_С, R_f – активные сопротивления контуров фаз А, В, С и обмотки возбуждения; Ψ_А, Ψ_В, Ψ_С, Ψ_f — результирующие потокосцепления контуров фаз А, В, С и обмотки возбуждения.

Входящее в эту систему потокосцепление обмотки фазы А выражается уравнением:

где L_А – коэффициент самоиндукции обмотки фазы А; M_АВ — коэффициент взаимоиндукции обмоток фаз А и В; M_АС — коэффициент взаимоиндукции обмоток фаз А и В; M_Аf — коэффициент взаимоиндукции обмотки фазы А и обмотки возбуждения.

Аналогичными уравнениями выражаются потокосцепления для обмоток других фаз. Закон изменения взаимных индуктивностей между обмоткой возбуждения и каждой фазной обмоткой статора выражается синусоидальной функцией. Систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами решить очень сложно. Для её решения существуют несколько способов. Известно, что мгновенные значения фазных величин (U, Ψ, i) можно получить как проекции фазных векторов на неподвижную ось времени или как проекции обобщенного вектора на неподвижные магнитные оси фаз. Обобщенный вектор в общем случае может характеризовать фазные величины, изменяющиеся во времени по произвольному закону. Возможность представления трехфазной системы векторов обобщенным вектором существенно упрощает выражение связи между статором и ротором, что позволяет в дифференциальных уравнениях переходного процесса освободится от переменных коэффициентов. Представление фазных величин f_А, f_В, f_С через обобщенный вектор возможно при условии:

Если сумма фазных переменных не равна нулю, то её целесообразно выразить через новое переменное f₀ : f_А+f_B+f_C=3f₀. Нулевая составляющая во всех фазах одинакова и тождественна составляющей нулевой последовательности метода симметричных составляющих. Фазные переменные, выраженные через обобщенный вектор:

где α — угол между векторами f_А и f.

Обобщенный вектор можно выразить и в двухосной системе координат. В качестве последней удобно выбрать декартовые ортогональные координаты. Преобразование координат соответствует замене переменных. Проекции вектора f (рис.3.5.) на оси х и у:

где θ — угол между магнитной осью фазы А и осью Х.

Применение новой системы координат сокращает переменные коэффициенты. Значительные упрощения можно достичь, используя декартову систему координат, жестко связанную с ротором синхронной машины. Эту систему координат сокращенно обозначают и называют d, q и 0 (рис.3.6). Поскольку фазные обмотки синхронной машины, расположенные в осях d, q, неподвижны относительно ротора, все индуктивности такой машины постоянны. Фазные переменные в системе координат d, q и 0:

где γ=ω_сt+γ₀ – угол, характеризующий положение ротора в пространстве; ω_с — синхронная угловая скорость, γ₀— начальный уг

Фазные переменные напряжения, тока в системе координат d, q и 0:

Подставляя фазные переменные в дифференциальное уравнение равновесия обмотки фазы А получим уравнения Парка-Горева:

где ∂Ψ_d/∂, ∂Ψ_q/∂t, ∂Ψ₀/∂ – ЭДС трансформации, которые вызываются изменением величин потокосцеплений; Ψ_q∙∂γ/∂ и Ψ_d∙∂γ/∂t – ЭДС вращения (скольжения).

71. Переходные э. д. с. и реактивности синхронной ма­шины.

Обратимся к синхронной явнополюсной машине без демпферных (успокоительных) обмоток. При КЗ в статорной цепи возникает переходный процесс, приводящий к изменению токов и напряжений предшествующего режима. Выясним, какими ЭДС и реактивностями можно характеризовать синхронную машину в начальный момент переходного процесса с целью расчета периодической составляющей тока КЗ для .

Постановка задачи обусловлена тем, что синхронная ЭДС ( ), характеризующая машину в установившемся режиме, в момент КЗ скачкообразно изменяется. В силу этого она неизвестна и неприемлема для расчета переходного режима, равным образом как и и , связанные с .

Для решения поставленной задачи обратимся к балансу магнитных потоков в продольной оси ( ) синхронной машины для нормального нагрузочного режима (рис. 4.4, а). В указанной оси взаимодействуют две магнитосвязанные обмотки: обмотка возбуждения и обмотка статора.

В режиме холостого хода ток обмотки возбуждения создает магнитный поток , состоящий из потока рассеяния ротора и полезного потока :

(4.5)

где: – реактивность рассеяния обмотки возбуждения;

– индуктивное сопротивление реакции статора по оси ;

– полная индуктивность обмотки возбуждения.

Полезный поток при вращении ротора обуславливает в статоре синхронную ЭДС, которые в системе относительных единиц одинаковы:

В ненасыщенной машине поток составляет некоторую постоянную долю потока , которая характеризуется коэффициентом рассеяния обмотки возбуждения

(4.6)

В нагрузочном режиме продольная составляющая тока статора создает поток реакции статора , который пронизывает обмотку возбуждения. В соответствии с этим полное потокосцепление обмотки возбуждения в нагрузочном режиме определяется выражением:

(4.7)

Согласно принципа Ленца при внезапном изменении режима магнитосвязанных контуров результирующее потокосцепление обмотки возбуждения остается неизменным. Физически это означает, что в начальный момент КЗ потоки и можно представить как их значения в нормальном режиме ( ) плюс соответствующие им приращения и . Однако приращения потоков компенсируют друг друга, т.е.

оставляя неизменным значение , согласно выражения (4.7).

Для решения ранее сформулированной задачи используем неизменность . Зная коэффициент рассеяния , выделим ту часть , которая связана со статором

(4.8)

Именно это потокосцепление и обусловленная им ЭДС в обмотке статора сохраняют в начальный момент переходного процесса свое предшествующее значение.

Придадим выражению (4.8) более наглядный вид:

В окончательной форме поперечная переходная ЭДС запишется так:

(4.9)

(4.10)

– продольная переходная реактивность; приводиться в паспортных данных машины;

– реактивность рассеяния статорной обмотки.

Начальное значение определяется выражением (4.9) по параметрам и , с которыми работала машина до нарушения режима.

Уравнения Парка-Горева синхронной машины

Уравнение электрического равновесия цепи статора, записанное через изображающие векторы напряжений, токов и потокосцеплений в неподвижной системе координат, имеет вид

где ;

w_с – угловая частота напряжения, которая при работе синхронного генератора параллельно с системой неограниченной мощности равна синхронной.

Это же уравнение в системе координат, вращающейся со скоростью ротора w_r, получим, используя выражение для перехода изображающего вектора во вращающейся системы координат к неподвижной, которое, например, для тока имеет вид

где — изображающий вектор тока статора в неподвижной системе координат;

— изображающий вектор тока статора во вращающейся системе координат;

— угол между магнитной осью фазы А и осью d ротора.

,

т.к. .

В результате, в системе d, q, 0, вращающейся со скоростью ротора w_r, уравнение равновесия цепи статора, записанное через изображающие векторы, имеет вид

.

Уравнения равновесия напряжений ротора

,

,

при этом остаются неизменными, так как входящие в него величины с самого начала определялись именно в системе координат ротора.

Выразим изображающие векторы через их составляющие по осям вращающейся комплексной плоскости, помня, что действительная ось комплексной плоскости направлена вдоль оси d, а мнимая ― вдоль отрицательного направления оси q. В результате получаем :

,

,

,

Подставив эти выражения в выражение для , получим:

.

Приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

,

,

,

, (4.1)

,

.

Эта система уравнений должна быть дополнена ещё уравнением движения или механического равновесия моментов на валу

,

.

Здесь М_внешн. – вращающийся момент турбины для генератора М_т или момент механизма М_мех для двигателя;

w_r – угловая скорость ротора;

— электромагнитный момент;

J – момент инерции вращающихся масс ротора, выраженный в кг×м 2

Преобразование переменных статора в системе координат А, В, С в новые переменные, связанные с системой координат d, q, 0 являясь формально математическим приёмом, имеет простое физическое объяснение.

При преобразовании переменных трёхфазная обмотка статора заменяется эквивалентной двухфазной, жёстко связанной с осями d и q ротора (вращается с той же скоростью, что и ротор со скоростью w_r ротора).

Дифференциальные уравнения равновесия дополним алгебраическими, связывающими потокосцепления и токи соответствующих контуров.

1) в продольной и поперечной осях машины, кроме потоков рассеяния существуют потоки в воздушном зазоре, пронизывающие все контуры, расположенные по соответствующим осям машины;

2) все параметры роторных контуров приведены к статору ( как – уточним позднее)

Тогда выражения для потокосцеплений статорных и роторных контуров, входящих в систему (2), имеют вид

,

,

, (4.2)

,

,

.

Так как преобразованные обмотки статора d и q неподвижны относительно ротора, то индуктивности и взаимные индуктивности этих обмоток, входящие в выражения (2), постоянны, если не учитывать изменения насыщения магнитной цепи. Таким образом, преобразование переменных (переход от системы координат А, В, С к осям d и q) позволяет избавиться от периодических коэффициентов в дифференциальных уравнениях (1) синхронной машины.

Уравнения (1) и (2) выражают основу теории обобщённой электрической машины.

При постоянной частоте вращения ротора (w_r = const) с учётом принятых допущений система уравнений (1) и (2) становится системой линейных дифференциальных уравнений, допускающей аналитическое решение, то есть можно получить аналитическое выражение для изменения тока статора во времени при коротком замыкании.

В системе (1) первые слагаемые первых двух уравнений для обмоток d и q статора представляют ЭДС трансформации, поскольку они вызываются изменением величин соответствующих потокосцеплений, а вторые слагаемые – ЭДС вращения. В установившемся режиме ЭДС трансформации отсутствуют.

В рассмотренной выше модели синхронной машины, соответствующей уравнениям Парка-Горева, ЭДС вращения представлены лишь частично, так как при синхронном вращении обмоток и магнитных потоков никаких ЭДС вращения в этих обмотках нет. Только при перемещении обмоток относительно вращающихся магнитных потоков, что в общем случае также имеет место при переходном процессе, в обмотках наводятся дополнительные ЭДС вращения (точнее ЭДС скольжения ― в обмотке d и в обмотке q, где w_r ¹ w_с), поток при работе СМ параллельно с системой неограниченной мощности всегда вращается с синхронной скоростью.

Синхронный двигатель

Принцип действия синхронного двигателя.

Так как синхронная машина обладает свойством обратимости, конструкция двигателя практически не отличается от конструкции синхронного генератора. Однако взаимодействие элементов теперь отвечает принципу действия двигателя.

Электрическая активная мощность Р потребляется из сети, в результате чего по обмоткам статора протекает ток. Ток, как и в генераторе, создаёт МДС F_ст, а она – потоки Ф_d и Ф_р,я, наводящие в обмотке статора ЭДС и .

По обмотке ротора протекает ток возбуждения I_в, её МДС F_в создаёт магнитный поток ротора Ф₀. Вращаясь вместе с ротором, поток Ф₀ в соответствии с законом электромагнитной индукции (ЭМИ) индуцирует в обмотке статора ЭДС , которая направлена против напряжения сети . Сумма ЭДС с учётом падения напряжения на активном сопротивлении обмотки статора уравновешивает напряжение сети . Магнитные потоки Ф₀, Ф_d и Ф_р,я образуют результирующий магнитный поток двигателя Ф_рез.

Вал двигателя сцеплён с валом рабочей машины РМ (например, со шпинделем металлорежущего станка), потребляющей механическую энергию и создающей момент сопротивления М_с. В результате действия тормозящего момента М_с полюсы ротора отстают от полюсов результирующего поля статора (см. рис. 4.6).

В двигательном режиме результирующий магнитный поток двигателя Ф_рез является ведущим; вращаясь, он увлекает за собой ротор, создавая вращающий момент М двигателя, преодолевающий тормозной момент М_с механической нагрузки.

Уравнение второго закона Кирхгофа для обмотки статора.

В двигательном режиме синхронная машина потребляет из сети ток, который направлен навстречу ЭДС (рис.4.14,а).

Уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа для фазы обмотки статора

, (4.4)

показывает, что противо-ЭДС и индуктивное падение напряжения jX_син уравновешивают напряжение сети (предполагается, что
=0).

Векторная диаграмма синхронного двигателя.

Векторная диаграмма построена по уравнению (4.4) на рис. 4.14, б. В результате действия механической нагрузки М_с ось магнитного потока ротора Ф₀ отстает на угол от оси результирующего магнитного потока Ф_рез. Поэтому в двигательном режиме вектор ЭДС отстает по фазе на угол от вектора напряжения сети . Сопоставление векторных диаграмм синхронного двигателя (рис. 4.14,б) и синхронного генератора (см. рис. 4.13) показывает, что угол меняет свой знак. При построении векторной диаграммы двигателя вектор принимается за исходный.

Вектор тока отстает по фазе на 90° от вектора jX_син.

Мощность и вращающий момент синхронного двигателя.

Если пренебречь потерями, которые относительно малы, то активная потребляемая мощность равна электромагнитной мощности, т. е. мощности, передаваемой магнитным полем из статора в ротор, где — угол сдвига фаз между током и ЭДС.

Из треугольников Оса и асb векторной диаграммы на рис. 14.14, б следует, что отрезок , где —масштабный коэффициент. Подставляя значение IcosΨ в выражение для Р_эм, получаем для механической мощности на валу двигателя
.

Механический момент на валу двигателя
,

где — угловая скорость ротора; М_тах = — максимальный момент, развиваемый двигателем. При постоянном напряжении сети U_c максимальный момент двигателя зависит только от ЭДС Е₀, т.е. от тока возбуждения ротора I_в.

Угловая и механическая характеристики.

В двигательном режиме угол положительный, поэтому на графике двигательному режиму соответствует положительная полуволна синусоиды. В генераторном режиме угол отрицательный, ему соответствует отрицательная полуволна синусоиды. В диапазоне угла нагрузки -90° М_max , то угол нагрузки станет больше 90°, рабочая точка перейдёт на неустойчивый участок угловой характеристики. Вращающий момент двигателя М начнёт уменьшаться, ротор тормозиться, двигатель выйдет из синхронизма и может остановиться.

Аналогичные явления происходят и в генераторном режиме. Выход («выпадение») машины из синхронизма – явление недопустимое, оно может привести к тяжёлой тобы в номинальном режиме угол нагрузки и запас по моменту и активной маварии в электрической сети. Поэтому синхронные машины проектируются так, чощности составлял не менее 1,65.

Механической характеристикой синхронного двигателя называется зависимость частоты вращения от момента двигателя. В синхронном двигателе частота вращения ротора постоянна и от нагрузки не зависит. Поэтому механическая характеристика n(M) (рис. 4.18) – прямая, параллельная оси абсцисс.

Регулирование коэффициента мощности синхронного двигателя.

Если в этих условиях изменять ток возбуждения, ЭДС обмоток статораи изменяются так, что активная составляющая тока Icosφ и составляющая ЭДС остаются неизменными (рис. 14.17).

При изменении тока возбуждения векторскользит вдоль прямой ab, изменяются положение вектора jX_син и угол φ сдвига фаз между токоми напряжением сети , а, вследствие того, что, конец вектора токаскользит по прямой cd.

Когда ток возбуждения двигателя мал (недовозбуждение), =, ток отстаёт по фазе от и двигатель потребляет реактивную мощность. При некотором, относительно большом токе возбуждения =и ток является чисто активным.

Наоборот, при перевозбуждении и вектор тока опережает по фазе вектор напряжения , , ток, потребляемый двигателем из сети, имеет ёмкостную составляющую. Последнее весьма ценно, поскольку ёмкостный ток компенсирует индуктивные токи, потребляемые из сети другими потребителями (асинхронными двигателями, различного рода катушками и т.п.), и тем самым улучшается cosφ всей сети. Обычно синхронные двигатели работают с перевозбуждением при .

U – образные характеристики.

При уменьшении тока возбуждения I_в уменьшается ЭДС Е₀ и угол увеличивается (рис.4.17).

Штриховая кривая АВ на рис. 4.18 представляет собой границу устойчивости, на которой =90°.

Наиболее экономичным для самого синхронного двигателя является режим работы с , так как двигатель развивает заданную механическую мощность при наименьшем, чисто активном токе статора.

Рис. 4.17 и 4.18

Обычно в эксплуатации синхронный двигатель перевозбуждают с целью улучшения cosφ сети. Режим перевозбуждения выгоден и тем, что уменьшается угол и возрастает перегрузочная способность двигателя. Вместе с этим следует учитывать, что обмотки статора двигателя рассчитаны на определённый ток с точки зрения нагрева. Поэтому, чем больше загрузка двигателя активным током I_a (определяющим механическую мощность и момент на валу), тем меньше возможности использования двигателя в качестве генератора реактивной (ёмкостной) мощности за счёт реактивной составляющей тока I_p.

Синхронные компенсаторы.

Пуск синхронного двигателя.

Пуск синхронного двигателя сопряжён с трудностями. Если статорную обмотку включить в трёхфазную сеть, а обмотку возбуждения питать от источника постоянного напряжения U_в (рис. 4.19), то ротор не сдвинется с места – из-за инерционности ротора вращающееся поле статора не успевает сцепиться с неподвижным полем ротора.

Распространение получил так называемый асинхронный пуск синхронного двигателя. Для осуществления асинхронного пуска ротор синхронного двигателя снабжается специальной пусковой короткозамкнутой обмоткой из медных или алюминиевых стержней типа беличьей клетки асинхронного короткозамкнутого двигателя. Пуск двигателя осуществляют следующим образом (рис. 4.19).

Вначале обмотка возбуждения синхронного двигателя замыкается на пусковой реостат R_п, сопротивление которого в 8 – 10 раз больше, чем сопротивление обмотки возбуждения (если оставить обмотку возбуждения разомкнутой, то в ней при пуске вращающимся полем статора будет наводиться значительная ЭДС, опасная для изоляции).

При включении обмотки статора на трёхфазное напряжение двигатель за счёт короткозамкнутой обмотки начинает работать как асинхронный. Когда частота вращения ротора двигателя достигает примерно 95% синхронной частоты вращения поля статора n₀, пусковой реостат R_п отключают, а обмотку возбуждения ротора включают на постоянное напряжение U_в.

Так как теперь частота вращения поля статора отличается незначительно от частоты поля вращающегося ротора, полюсы полей статора и ротора вступают во взаимодействие, двигатель втягивается в синхронизм и начинает работать как синхронный.

В рабочем, т.е. в синхронном, режиме токи в пусковой короткозамкнутой обмотке не возникают и она в работе машины не участвует. Однако при кратковременных толчках механической нагрузки на валу в пусковой обмотке токи наводятся и создают момент, демпфирующий колебания ротора.

Преимущества, недостатки и применение синхронных двигателей.

Наконец, вращающий момент синхронного двигателя пропорционален напряжению сети U_c . Поэтому при понижении напряжения в сети синхронный двигатель сохраняет большую перегрузочную способность, чем асинхронный, и, следовательно, обладает большей надёжностью.

Вместе с тем синхронный двигатель сложнее по конструкции, чем асинхронный той же мощности, и поэтому дороже. Синхронные двигатели должны иметь источник постоянного тока (специальный возбудитель или выпрямитель), пуск у них протекает сложнее, чем у асинхронных. Частотное регулирование является единственным способом регулирования угловой частоты вращения ротора синхронного двигателя.

Тем не менее, преимущества синхронных двигателей настолько велики, что при мощностях свыше 100 кВт их целесообразно применять всюду, где не требуется часто останавливать и пускать механизмы или регулировать их скорость. В настоящее время они применяются для привода преобразовательных агрегатов, компрессоров, насосов, вентиляторов, мельниц, дробилок, нерегулируемых прокатных станов и т.п.

Отечественная промышленность выпускает трёхфазные синхронные двигатели мощностью от 20 кВт до нескольких десятков тысяч киловатт при частотах вращения от 100 до 1000 об/мин в явнополюсном исполнении и при 1500, 3000 об/мин – в неявнополюсном, с различным исполнением по способу защиты от внешних воздействий (открытое, защищённое, закрытое и т.д.), с различным рабочим положением вала (горизонтальные, вертикальные) и с различными системами возбуждения: от генератора постоянного тока, расположенного на одном валу с двигателем, от тиристорных выпрямителей и т.д.