Уравнение цилиндра в сферических координатах

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Векторная алгебра.
• Высшая математика.
• Векторная алгебра.
• Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Формулы перехода.

Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Формулы перехода.

Полярные координаты.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

$$x=\rho \cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq 0,\,\,\,0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Обобщённые полярные координаты.$$ x=a\rho\cos\varphi,\; y=b\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq0, 0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Цилиндрические координаты:

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат , являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

$x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,z=h,$ $ (\rho\ge 0,\, 0\le\varphi\le 2\pi,\, -\infty

Сферические координаты.

Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r , φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M ( ); φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость О ху с положительным направлением оси О х ( ); θ – угол между положительным направлением оси O z и радиус-вектором точки М ( ).

$$\left\<\begin x=r\cos\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\cos\theta,\\ z=r\sin\theta,\end\right.$$

$ (r\geq 0,\;0\leq\varphi \leq 2\pi,\; -\frac<\pi><2>\le\theta\le\frac<\pi><2>).$

Обобщённые сферические координаты.

$$ \left\<\begin x=ar\cos^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ y=br\sin^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ z=cr\sin^\beta\theta, \end \right. $$

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

1. Услуги проектирования
2. Тройной интеграл
3. Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $\mathbf < \textit < V >> $, зависят от комбинации $\mathbf < \textit < x >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < y >> ^ < 2 >=\mathbf < \textit < r >> ^ < 2 >$; сферические — если эти уравнения зависят от $\mathbf < \textit < x >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < y >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < z >> ^ < 2 >=\mathbf < \textit < r >> ^ < 2 >$. Рассмотрим ряд примеров.

Найти объём $\mathbf < \textit < V >> $ общей части двух шаров, ограниченных сферами

Решение:

Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2\Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $R\frac < \sqrt 3 > < 2 >$. Объём $\mathbf < \textit < V >> $ограничен сверху поверхностью $z=\sqrt < R^2-x^2-y^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-\sqrt < R^2-x^2-y^2 >$. Вычисления в декартовых координатах дают $V=\iiint\limits_V < dv >=\iiint\limits_V < dxdydz >=\int\limits_ < -R\frac < \sqrt 3 > < 2 >> ^ < R\frac < \sqrt 3 > < 2 >> < dx\int\limits_ < -\sqrt < \frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > ^ < \sqrt < \frac < 3 > < 4 >R^2-x^2 > > < dy\int\limits_ < R-\sqrt < R^2-x^2-y^2 >> ^ < \sqrt < R^2-x^2-y^2 >> < dz >> > $ — достаточно громоздкие выкладки.

В цилиндрических координатах объём $\mathbf < \textit < V >> $ ограничен сверху поверхностью $z=\sqrt < R^2-r^2 >$, снизу — поверхностью $z=R-\sqrt < R^2-r^2 >$, поэтому

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rr\cos \theta \Rightarrow r=2R\cos \theta $, их пересечение соответствует значению $\cos \theta =1/2\Rightarrow \theta =\pi /3$. В интервале $0\leqslant \theta \leqslant \pi /3 \quad \mathbf < \textit < r >> $ меняется от $0$ до $\mathbf < \textit < R >> $, в интервале $\pi /3\leqslant \theta \leqslant \pi /2 \quad \mathbf < \textit < r >> $ меняется от $0$ до $2R\cos \theta $, поэтому

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

Решение:

Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2\Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $\mathbf < \textit < V >> $ служит ось $\mathbf < \textit < Ох >> $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,\quad y=r\cos \varphi ,\quad z=r\sin \varphi ; \quad I=\iiint\limits_V < (x+y+z)dxdydz >=\iiint\limits_V < (x+r\cos \varphi +r\sin \varphi )rdxdrd\varphi >=\int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi \int\limits_0^1 < rdr\int\limits_r^ < 2-r^2 > < (x+r\cos \varphi +r\sin \varphi )dx >> > =$ $ =\int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi \int\limits_0^1 < \left. < \frac < x^2 > < 2 >>\right|_r^ < 2-r^2 >rdr > > +\int\limits_0^ < 2\pi > < (\cos \varphi +\sin \varphi )d\varphi \int\limits_0^1 < \left. x \right|_r^ < 2-r^2 >r^2dr > > =\pi \int\limits_0^1 < \left( < 4-5r^2+r^4 >\right)dr > =\frac < 38\pi > < 15 >. $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно < громоздкое уравнение для параболоида >.

Решение:

Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $\mathbf < \textit < Оz >> $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $\mathbf < \textit < x >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < y >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < z >> ^ < 2 >$, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=z\Rightarrow r^2=r\cos \theta \Rightarrow r=\cos \theta \left( < \Rightarrow 0\leqslant \theta \leqslant \pi /2 >\right)$ , поэтому $I=\iiint\limits_V < \sqrt < x^2+y^2+z^2 >dxdydz > =\iiint\limits_V < r\cdot r^2\sin \theta drd\varphi d\theta >=\int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi \int\limits_0^ < \pi /2 > < \sin \theta d\theta >\int\limits_0^ < \cos \theta > < r^3dr >> =\frac < 2\pi > < 4 >\int\limits_0^ < \pi /2 >< \left. < r^4 >\right|_0^ < \cos \theta >\sin \theta d\theta > = \\ =\frac < 2\pi > < 4 >\int\limits_0^ < \pi /2 > < \cos ^4\theta \sin \theta d\theta >=-\frac < 2\pi > < 4\cdot 5 >\left. < \cos ^5\theta >\right|_0^ < \pi /2 >=\frac < \pi > < 10 >$.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $\left( < x^2+y^2+z^2 >\right)^ < \,2 >=a^3z,\;a=const>0$

Решение:

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам < на это указывает комбинация $\mathbf < \textit < x >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < y >> ^ < 2 >+\mathbf < \textit < z >> ^ < 2 >=\mathbf < \textit < r >> ^ < 2 >)$. Уравнение поверхности $\left( < x^2+y^2+z^2 >\right)^ < \,2 >=a^3z\Rightarrow r^4=a^3r\cos \vartheta \Rightarrow r=a\sqrt[3] < \cos \vartheta >\;\left( < \Rightarrow 0\leqslant \theta \leqslant \pi /2 >\right)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $\varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $\mathbf < \textit < Oz >> $. Находим объём: $ V=\iiint\limits_V < r^2\sin \theta drd\varphi d\theta >=\int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi \int\limits_0^ < \pi /2 > < \sin >> \theta d\theta \int\limits_0^ < a\sqrt[3] < \cos \theta >> < r^2dr >=\frac < 2\pi > < 3 >\int\limits_0^ < \pi /2 >< \left. < r^3 >\right|_0^ < a\sqrt[3] < \cos \theta >> \sin \theta d\theta = > $ $ =\frac < 2\pi a^3 > < 3 >\int\limits_0^ < \pi /2 > < \cos \theta \sin \theta d\theta = >\frac < \pi a^3 > < 3 >. $

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U < \left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>\right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( < x^2 >+ < y^2 >\le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).

Решение:

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >\le 1) или (0 \le \rho \le 1).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ < \left( < < x^4 >+ 2 < x^2 > < y^2 >+ < y^4 >>\right) > = < < \left( < < x^2 >+ < y^2 >>\right)^2 > > = < < \left( < < \rho ^2 >>\right)^2 > = < \rho ^4 >> $

Тогда интеграл будет равен $I = \int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi >\int\limits_0^1 < < \rho ^4 >\rho d\rho > \int\limits_0^1 < dz >.$

Здесь во втором интеграле добавлен множитель (\rho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U < \left( < < x^2 >+ < y^2 >>\right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 3z,) (z = 3)

Решение:

Область интегрирования изображена на рисунке

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ < x = \rho \cos \varphi , >\;\; < y = \rho \sin \varphi , >\;\; < z = z. >$ Дифференциал при этом равен $dxdydz = \rho d\rho d\varphi dz\;\;\left( < \rho - \text < якобиан >>\right).$

Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ < \rho ^2 > < \cos ^2 >\varphi + < \rho ^2 > < \sin^2 >\varphi = 3z\;\;\text < или >\;\; < \rho ^2 >= 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( < x^2 >+ < y^2 >\le 9) радиусом (\rho = 3).

Координата (\rho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (\varphi) от (0) до (2\pi) и координата (z) от (\large\frac < < < \rho ^2 >> > < 3 >\normalsize) до (3.)

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = \int\limits_ < - 2 >^2 < dx >\int\limits_ < - \sqrt < 4 - < x^2 >> > ^ < \sqrt < 4 - < x^2 >> > < dy >\int\limits_0^ < 4 - < x^2 >— < y^2 >> < < y^2 >dz > $

Решение:

Область интегрирования (U) изображена на рисунке:

Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >= < 2^2 >):

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ < 0 \le \rho \le 2, >\;\; < 0 \le \varphi \le 2\pi , >\;\; < 0 \le z \le 4 - < \rho ^2 >. > $

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $\iiint\limits_U < \sqrt < < x^2 >+ < y^2 >> dxdydz > .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — < x^2 >— < y^2 >,) цилиндром ( < x^2 >+ < y^2 >= 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)

Решение:

Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) < область (D) >представляет собой полукруг радиусом (\rho = 2).

Найти интеграл $\iiint\limits_U < ydxdydz >,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1,) ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Решение:

Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 \le z \le x + 1$ следует, что $0 \le z \le \rho \cos \varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) и ( < x^2 >+ < y^2 >= 4)

Следовательно, переменные (\rho) и (\varphi) изменяются в интервале $1 \le \rho \le 2,\;\;0 \le \varphi \le 2\pi .$

Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.

Найти интеграл (\iiint\limits_U < \sqrt < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> dxdydz > ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> = 25.)

Решение:

Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $f\left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>\right),$ то перейдем к сферическим координатам.

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U < < e^ < < < \left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>\right) > ^ < \frac < 3 > < 2 >> > > > dxdydz > ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >> \le 1.)

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ < 0 \le \rho \le 1, >\;\; < 0 \le \varphi \le 2\pi , >\;\; < 0 \le \theta \le \pi . >$

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ < I = \int\limits_0^ < 2\pi > < d\varphi >\int\limits_0^1 < < e^ < < \rho ^3 >> > < \rho ^2 >d\rho > \int\limits_0^\pi < \sin \theta d\theta >> = < \left[ < \left. \varphi \right|_0^ < 2\pi >>\right] \cdot \int\limits_0^1 < \left( < < e^ < < \rho ^3 >> > \cdot \frac < 1 > < 3 >d < \rho ^3 >>\right) > \cdot \left[ < \left. < \left( < - \cos \theta >\right) >\right|_0^\pi >\right] > = < 2\pi \cdot \frac < 1 > < 3 >\left[ < \left. < \left( < < e^ < < \rho ^3 >> > >\right) >\right|_ < < \rho ^3 >= 0 > ^ < < \rho ^3 >= 1 > >\right] \cdot \left( < - \cos \pi + \cos 0 >\right) > = < \frac < < 2\pi >> < 3 >\cdot \left( < e - 1 >\right) \cdot 2 > = < \frac < < 4\pi >> < 3 >\left( < e - 1 >\right). > $

Вычислить интеграл (\iiint\limits_U < xyzdxdydz >,) где область (U) представляет собой часть шара ( < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >\le < R^2 >,) расположенную в первом октанте (x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0.)

Решение:

Найти тройной интеграл $\iiint\limits_U < \left( < \frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + \frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + \frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >\right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ < \frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + \frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + \frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > > = 1.$

Решение:

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ < x = a\rho \cos \varphi \sin \theta , >\;\; < y = b\rho \sin \varphi \sin \theta , >\;\; < z = c\rho \cos \theta . >$ Модуль якобиана данного преобразования равен (\left| I \right| = abc < \rho ^2 >\sin \theta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc < \rho ^2 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ < I = \iiint\limits_U < \left( < \frac < < < x^2 >> > < < < a^2 >> > + \frac < < < y^2 >> > < < < b^2 >> > + \frac < < < z^2 >> > < < < c^2 >> > >\right)dxdydz > > = < \iiint\limits_ < U' >< \left[ < \frac < < < < \left( < a\rho \cos \varphi \sin \theta >\right) > ^2 > > > < < < a^2 >> > + \frac < < < < \left( < b\rho \sin \varphi \sin \theta >\right) > ^2 > > > < < < b^2 >> > + \frac < < < < \left( < c\rho \cos \theta >\right) > ^2 > > > < < < c^2 >> > >\right]abc < \rho ^2 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta > > = \\ = < \iiint\limits_ < U' > < \left[ < < \rho ^2 > < < \cos >^2 > \varphi \, < < \sin >^2 > \theta + < \rho ^2 > < \sin^2 >\varphi \, < < \sin >^2 > \theta + < \rho ^2 > < < \cos >^2 > \theta >\right]abc < \rho ^2 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta > > = \\ = < \iiint\limits_ < U' > < \left[ < < \rho ^2 > < < \sin >^2 > \theta \underbrace < \left( < < < \cos >^2 > \varphi + < \sin^2 >\varphi >\right) > _1 + < \rho ^2 > < < \cos >^2 > \theta >\right]abc < \rho ^2 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta > > = \\ = < \iiint\limits_ < U' > < < \rho ^2 >\underbrace < \left( < < \sin^2 >\theta + < < \cos >^2 > \theta >\right) > _1abc < \rho ^2 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta > > = < abc\iiint\limits_ < U' > < < \rho ^4 >\sin \theta d\rho d\varphi d\theta > . > $

Вычислить интеграл $\int\limits_0^1 < dx >\int\limits_0^ < \sqrt < 1 - < x^2 >> > < dy >\int\limits_0^ < \sqrt < 1 - < x^2 >— < y^2 >> > < < < \left( < < x^2 >+ < y^2 >+ < z^2 >>\right) > ^2 > dz > ,$ используя сферические координаты.

Решение:

Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте и, следовательно, ограничена неравенствами $ < 0 \le \rho \le 1, >\;\; < 0 \le \varphi \le \frac < \pi > < 2 >, > \;\; < 0 \le \theta \le \frac < \pi > < 2 >. > $

Далее:

Формула Гаусса — Остроградского

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Поток векторного поля через поверхность

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Несобственные интегралы по неограниченной области

Логические операции над высказываниями

Специальные векторные поля

Вычисление объёмов

Вычисление площади поверхности

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Теорема о предполных классах

Равносильные формулы алгебры высказываний

Огравление $\Rightarrow $

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси , происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).

В цилиндрической системе координат положение точки , не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и аппликатой — координатой точки — ортогональной проекции точки на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел — полярный радиус , полярный угол и аппликата . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.

Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)

С цилиндрической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Поскольку аппликата точки в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и ее цилиндрические координаты , имеют вид, следующий из

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам

Главное значение полярного угла находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.12. В цилиндрической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти цилиндрические координаты точки , если известны ее прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны ее цилиндрические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного радиуса , является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного угла , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости и ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении аппликаты , является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости и ).

б) Найдем цилиндрические координаты точки . Аппликата , полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):

так как и ортогональная проекция точки на координатную плоскость (основную плоскость) лежит в IV четверти.

в) Найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):