Цилиндрические поверхности
Если через каждую точку кривой L провести прямую, параллельно данному вектору а, то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности (рис. 225).
Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, (в нормальном сечении) получается окружность, то цилиндрическая поверхность называется круговой. Если в сечении получается эллипс, то цилиндрическую поверхность называют эллиптической, если гипербола — гиперболической, если парабола — параболической.
Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть в плоскости хОу дана кривая L, уравнение которой в этой плоскости имеет вид
Составим уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору a = (α; β; γ), γ =/= 0, если за направляющую принята кривая L (рис.226).
Рассмотрим произвольную точку этой поверхности М(х; у; z). Образующая l, проходящая через точку М, пересечет плоскость хОу в точке N, лежащей на кривой L. Если координаты точки N в пространстве обозначить (х1; у1; 0), то вектор \(\overrightarrow
По определению цилиндрической поверхности векторы а и \(\overrightarrow
следовательно, имеем систему уравнений
Решив эту систему уравнений относительно λ, x1и у1, получим
Так как точка N лежит на кривой L, то F(х1; у1) = 0. Заменив х1 и у1 по формулам (2), получим уравнение
которое, очевидно, и будет уравнением данной цилиндрической поверхности.
Задача 1. Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение х 2 + у 2 = 4, а образующие параллельны вектору а = (0; 1; 1).
Так как, согласно условию задачи F(x; у) = х 2 + у 2 — 4 и α = 0, β = 1, γ = 1, то в силу формулы (3) уравнение данной цилиндрической поверхности имеет вид
Эта поверхность изображена на рис. 227.
Аналогично можно показать, что если направляющая цилиндрической поверхности L лежит в плоскости xOz и определяется уравнением F(x; z) = 0, а вектор а не параллелен этой плоскости, то цилиндрическая поверхность имеет уравнение
Наконец, если L определяется уравнением F(у; z) = 0 и а не параллелен плоскости yOz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид
Отметим, что если направляющая цилиндрической поверхности лежит в плоскости
хОу, а образующие параллельны оси Oz, то уравнение цилиндрической поверхности в пространстве совпадает с уравнением направляющей и имеет вид
Уравнение (4), как уравнение множества точек плоскости, определяет кривую L, в то же самое время уравнение (4), как уравнение множества точек пространства, определяет цилиндрическую поверхность.
Итак, каждое из уравнений
можно истолковать двояко: если это уравнение множества точек плоскости, то это уравнение линии L, лежащей в плоскости своих переменных; если же это уравнение множества точек пространства, то каждое из этих уравнений определяет цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными оси oтсутствующей переменной.
Рассмотрим несколько примеров.
на плоскости хОу определяет окружность с центром в начале координат и радиусом r (рис. 228, а).
Это жe уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (рис. 228, б).
на плоскости xOz определяет окружность с центром в начале координат и радиусом
Это же уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (рис. 229, б).
и на плоскости, и в пространстве определяет пустое множество, так как сумма неотрицательных чисел не может быть числом отрицательным.
на плоскости хОу определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 230, а).
Это же уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz (рис. 230, б).
на плоскости хОу определяет гиперболу с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 231, а).
В пространстве это уравнение определяет гиперболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 231, б).
на плоскости хОу определяет параболу (рис. 232, а), а в пространстве — параболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 232, б).
Задача 2. Определить вид поверхности 3x 2 + 6y 2 — 24 = 0.
Данное уравнение приведем к виду:
Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz.
Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности.
Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0
этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет
уравнение f(x,y)=0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.
Кривая, задаваемая уравнением f(x,y)=0 в плоскости z=0, называется направляющей цилиндрической
поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность
называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Тема: Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Тема: Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности
1. Поверхности вращения.
пределение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии.
Пусть , тогда ее можно задать уравнениями
Уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг оси Oz будет иметь вид:
(1)
2. Цилиндрические поверхности .
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и вектор , не параллельный плоскости этой линии.
Определение . Цилиндрической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых параллельных данному вектору и пересекающих данную линию .
иния называется направляющей цилиндрической поверхности, прямые называются образующими.
Рассмотрим частный случай: направляющая линия лежит в плоскости xOy : и задается уравнениями: а направляющий вектор образующих имеет координаты , .
В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид
. (2)
Получите уравнение поверхности вращения (1).
Получите уравнение цилиндрической поверхности (2).
Основные типовые задачи.
Составление уравнения поверхности вращения по уравнениям направляющей и оси вращения.
Составление уравнения цилиндрической поверхности по уравнениям направляющей и направляющему вектору образующих.
Примеры решения задач.
Задача 1. В плоскости yOz дана окружность с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг оси Oz .
Уравнения окружности, лежащей в плоскости yOz с центром в точке (0; 4; 0) радиуса 1, имеют вид
(3)
При вращении этой окружности вокруг оси Oz получается поверхность, называемая тором. Пусть М – произвольная точка на торе. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную оси вращения, т.е. оси Oz , в сечении получим окружность. Обозначим центр этой окружности P , а точку пересечения плоскости с окружностью, образующей поверхность вращения, – N .
Обозначим координаты точки M ( x , y , z ), тогда P (0, 0, z ), а N(0,, z ). Так как точки M и N лежат на окружности с центром в точке P , то
,
.
Последнее равенство запишем в координатах
. (4)
Точка N лежит на окружности, при вращении которой образуется тор, значит ее координаты должны удовлетворять уравнениям (3), запишем первое уравнение системы (3)
,
,
.
Возведем последнее равенство в квадрат.
и подставим выражение для из равенства (4), получим
(5)
Уравнение (5) – искомое.
Ответ: .
Задача 2. Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости xOy и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 2; –1>.
Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Проведем через точку М образующую l , она пересекает направляющую в точке . Так как направляющая лежит в плоскости xOy , то . Составим канонические уравнения прямой l
.
Приравняем первую и вторую дроби к последней
(6)
Точка N лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют ее уравнению:
.
Подставляя выражения для и из системы (6), получим
. (7)
(7) – искомое уравнение.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения.
Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , х= 0 вокруг оси Oz .
Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oy каждой из следующих кривых, расположенной в плоскости xOy :
а) эллипса ;
б) гиперболы ;
в) параболы .
Написать уравнение поверхности, образованной вращением синусоиды вокруг оси Oz .
Напишите уравнение поверхности, образованной вращением прямой , вокруг оси Ox .
Докажите, что поверхность, образованная вращением вокруг оси Oz линии l , заданной уравнениями , имеет уравнение .
Составить уравнение цилиндрической поверхности в каждом из следующих случаев:
а) Направляющая лежит в плоскости и имеет уравнение , а образующие параллельны вектору <1; 0; 1>;
б) направляющая лежит в плоскости yOz и имеет уравнение , а образующие параллельны оси Ox ;
в) направляющая лежит в плоскости xOz и является окружностью , а образующие параллельны оси Oy.
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, если:
а) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна вектору ;
б) направляющая задана уравнениями а образующая параллельна прямой x = y = z .
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая параллельна оси Ox .
Напишите уравнение цилиндрической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а образующая перпендикулярна плоскости направляющей.
Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить уравнение этого цилиндра.
Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, если ось вращения совпадает с осью Oz , а радиус r= 5.
Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси , , и координаты одной из ее точек .
Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси l и координаты одной из ее точек М :
а) , , , М (2; 0; 1);
б) l : , М (2; –1; 1).
Тема: Конические поверхности.
Пусть в пространстве дана некоторая плоская линия и точка S , не лежащая в плоскости этой линии.
Определение . Конической поверхностью называется множество точек пространства, лежащих на прямых проходящих через данную точку S и пересекающих данную линию .
Линия называется направляющей конической поверхности, точка S – вершиной, прямые называются образующими.
ассмотрим частный случай: вершина S совпадает с началом координат, направляющая линия лежит в плоскости, параллельной плоскости xOy : z = c , и задается уравнением: .
В этом случае уравнение конической поверхности имеет вид
. (1)
Если направляющая является эллипсом с центром на оси Oz ,
то получаем поверхность, называемую конусом второго порядка, уравнение этой поверхности имеет вид:
. (2)
Ось Oz в этом случае является осью конуса второго порядка.
Сечения конуса второго порядка:
Пусть плоскость не проходит через вершину конуса второго порядка, тогда плоскость пересекает конус:
а) по эллипсу, если пересекает все образующие конуса;
б) по гиперболе, если параллельна двум образующим конуса;
в) по параболе, если параллельна одной образующей конуса.
Получите уравнение конической поверхности (1).
Получите уравнение конической поверхности второго порядка (2).
Основные типовые задачи.
Составление уравнения конической поверхности по координатам вершины и уравнению направляющей.
Примеры решения задач.
Задача 1. Написать уравнение конической поверхности, вершина которой находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями
Пусть точка M ( x , y , z ) – произвольная точка конической поверхности. Проведем через эту точку образующую l , она пересечет направляющую в точке . Запишем канонические уравнения прямой l , как уравнения прямой, проходящей через точку N и вершину конуса О(0, 0, 0)
,
.
Выразим из последней системы и : , . Т.к. точка N лежит на направляющей конической поверхности, то ее координаты должны удовлетворять уравнениям направляющей:
(3)
Подставим найденные выражения во второе уравнение системы (3)
,
,
,
. (4)
, . (5)
Подставляем (4) и (5) в первое уравнение системы (3)
,
,
.
Полученное уравнение является искомым уравнением конической поверхности.
Задачи для самостоятельного решения.
Написать уравнение конической поверхности, если:
а) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (1; 0; 1);
б) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1);
в) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; 1).
г) направляющая в плоскости xOy задана уравнением , а вершина имеет координаты (0; 0; с ).
Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке S(1; 2; 4), образующие которой составляют с плоскостью угол =45.
Написать уравнение конической поверхности, направляющая которой задана уравнениями а вершина находится в точке .
Найти уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, которая проходит через линию пересечения:
а) гиперболоида и сферы ;
б) эллипсоида и плоскости .
Напишите уравнение круговой конической поверхности, если известны уравнения ее оси l : и координаты одной из ее точек М(3; –4; 5).
Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.
http://www.calc.ru/Poverkhnosti-Vtorogo-Poryadka-Tsilindricheskiye-Poverkhnosti.html
http://gigabaza.ru/doc/130939-p11.html