Теорема косинусов и синусов
О чем эта статья:
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°. Сумма углов треугольника равна 180°: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы: если α > β , тогда a > b если α = β , тогда a = b Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны: a + b > c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ Для остроугольного треугольника: a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1) Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Формулы медиан треугольника через стороны ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2 mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2 mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2 Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°. Формулы биссектрис треугольника через стороны: la = 2√ bcp ( p — a ) b + c lb = 2√ acp ( p — b ) a + c lc = 2√ abp ( p — c ) a + b где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол: la = 2 bc cos α 2 b + c lb = 2 ac cos β 2 a + c lc = 2 ab cos γ 2 a + b ha = b sin γ = c sin β hb = c sin α = a sin γ hc = a sin β = b sin α r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c ) R = S 2 sin α sin β sin γ R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC MN || AC KN || AB KM || BC Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон ∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k , где k — коэффициент подобия Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список! Добро пожаловать на OnlineMSchool. С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже. Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это: Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°. Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем . Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1). Решение. Из формул (1) и (2) находим: И, наконец, находим угол C: Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B. Найдем сторону c используя теорему косинусов: Далее, из формулы Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A. Поскольку уже нам известны два угла то находим третий: Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B. Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c: Из формулы (3) найдем cosA: Поскольку уже нам известны два угла то находим третий: Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C. Так как, уже известны два угла, то можно найти третий: Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов: Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С. Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С: Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем: Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/ http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.phpТреугольник. Формулы и свойства треугольников.
Типы треугольников
По величине углов
По числу равных сторон
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
b + c > a
c + a > bТеорема синусов
a = b = c = 2R sin α sin β sin γ Теорема косинусов
Теорема о проекциях
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Медианы треугольника
Свойства медиан треугольника:
Формулы медиан треугольника
Биссектрисы треугольника
Свойства биссектрис треугольника:
Формулы биссектрис треугольника
Высоты треугольника
Свойства высот треугольника
Формулы высот треугольника
Окружность вписанная в треугольник
Свойства окружности вписанной в треугольник
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Окружность описанная вокруг треугольника
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Средняя линия треугольника
Свойства средней линии треугольника
Периметр треугольника
Формулы площади треугольника
Формула Герона
S = a · b · с 4R Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.Решение треугольников онлайн
Решение треугольника по трем сторонам
(1) (2) . . . , . Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
. . . . (3) . , . . . Решение треугольника по стороне и любым двум углам
. , . , .