Вращательное движение тела. Закон вращательного движения

В этой статье описывается важный раздел физики — «Кинематика и динамика вращательного движения».

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела — это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r.

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

Если φ измерять в радианах (1 рад — это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ.

Угловая скорость материальной точки или тела — это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T — физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

поэтому период вращения определим следующим образом:

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε, характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0, вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено — dω/dt 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m_i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L_i) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r_i и υ_i, и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r_i к υ_i правый винт покажет направление вектора L_i).

В скалярной форме

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

Величина l_i, равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F_i.

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

то выражение для момента импульса примет вид

Величина I_i = m_ir_i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I₀ + ma 2 ,

где I₀ — начальный момент инерции тела; m — масса тела; a — расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Кинематика прямолинейного движения

Электромагнитное поле — это особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Представляет собой взаимосвязанные переменные электрическое поле и магнитное поле. Взаимная связь электрического и магнитного полей заключается в том, что всякое изменение одного из них приводит к появлению другого: переменное электрическое поле, порождаемое ускоренно движущимися зарядами (источником), возбуждает в смежных областях пространства переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, возбуждает в прилегающих к нему областях пространства переменное электрическое поле, и т. д. Таким образом, электромагнитное поле распространяется от точки к точке простран­ства в виде электромагнитных волн, бегущих от источника. Благодаря конечности скорости распространения электромагнитное поле может существовать автономно от породившего его источника и не исчезает с устранением источника (например, радиоволны не исчезают с прекращением тока в излучившей их антенне).

Известно, что около проводника, по которому протекает ток, возникают одновременно электрическое и магнитное поля. Если ток не меняется во времени, эти поля не зависят друг от друга. При переменном токе магнитное и электрическое поля связаны между собой, представляя единое электромагнитное поле.

Основными характеристиками электромагнитного излучения принято считать частоту, длину волны и поляризацию.

Частота электромагнитного поля — это число колебаний поля в секунду. Единицей измерения частоты является герц (Гц) — частота, при которой совершается одно колебание в секунду.

Длина волны — это расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах.

Поляризация — это явление направленного колебания векторов напряженности электрического поля или напряженности магнитного поля.

Электромагнитное поле обладает определённой энергией и характеризуется электрической и магнитной напряжённостью, что необходимо учитывать при оценке условий труда.

В целом общий электромагнитный фон состоит из источников естественного (электрические и магнитные поля Земли, радиоизлучения Солнца и галактик) и искусственного (антропогенного) происхождения (телевизионные и радиостанции, линии электропередачи, электробытовая техника). Источниками электромагнитных излучений также служат радиотехнические и электронные устройства, индукторы, конденсаторы термических установок, трансформаторы, антенны, фланцевые соединения волноводных трактов, генераторы сверхвысоких частот и др.

Современные геодезические, астрономические, гравиметрические, аэрофотосъёмочные, морские геодезические, инженерно-геодезические, геофизические работы выполняются с использованием приборов, работающих в диапазоне электромагнитных волн, ультравысокой и сверхвысокой частот, подвергая работающих опасности с интенсивностью облучения до 10 мкВт/см 2 .

Электромагнитное излучение подразделяется на:

радиоволны (начиная со сверхдлинных),

рентгеновское излучение и жёсткое (гамма-излучение).

Электромагнитное излучение способно распространяться практически во всех средах. В вакууме (пространстве, свободном от вещества и тел, поглощающих или испускающих электромагнитные волны) электромагнитное излучение распространяется без затуханий на сколь угодно большие расстояния, но в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя при этом своё поведение).

Вибратор Герца (диполь Герца, антенна Герца) — простейшая система для получения электромагнитных колебаний, электрический диполь, дипольный момент которого быстро изменяется во времени. Представляет собой развёрнутый колебательный контур с минимальной ёмкостью и индуктивностью. Технический эквивалент — небольшая антенна, размер которой много меньше длины волны. Первые опыты с этим вибратором были осуществлены Герцем в 1888 году.

Герц использовал медные стержни с металлическими шарами на концах, в искровой промежуток которых включалась катушка Румкорфа. Если подать на такую конструкцию высокое напряжение, в промежутке проскочит искра, а в вибраторе возникнут колебания с периодом меньше, чем время горения искры. Длина электромагнитных волн примерно в два раза превышает размеры самого вибратора. Наименьший из применявшихся Герцем вибраторов (0,26 м) позволял получить колебания с частотой порядка 5·10 8 Гц, что соответствует длине волны в 0,6 м. Герц также помещал вибраторы в фокусе вогнутых зеркал для получения направленных плоских волн.

С помощью металлических зеркал и асфальтовой призмы Герц убедился в том, что законы отражения и преломления электромагнитных волн невидимого спектра подчиняются законам геометрической оптики видимого спектра.

Герц также померил скорость электромагнитной волны, создав стоячую волну и измерив её .

Электромагнитные волны регистрировались Герцем с помощью приемного вибратора, представляющего собой точно такое же устройство, что и излучающий вибратор. Под действием переменного электрического поля электромагнитной волны в приемном вибраторе возбуждаются колебания тока. Если собственная частота приемного вибратора совпадет с частотой электромагнитной волны, наблюдается резонанс и колебания в приемном вибраторе происходят с большой амплитудой. Герц обнаруживал их, наблюдая искорки в очень малом промежутке между проводниками приемного вибратора.

Своими опытами Герц доказал:

1)существование электромагнитных волн;

2)волны хорошо отражаются от проводников;

3)образование стоячих волн;

4)определил скорость волн в воздухе (она примерно равна скорости в вакууме — c).

Рассмотрим несколько понятий, касающихся опытов Герца:

1.Закрытый колебательный контур. Контур называется закрытым, так как он не излучает электромагнитные волны в пространство. Энергия, сообщаемая конденсатору, идет на нагревание проводов, а поэтому колебания затухающие (контур не излучает энергию в пространство).

2.Открытый колебательный контур.

Кинематика прямолинейного движения

Материальная точка. Система отсчёта. Скорость и ускорение. Траектория, путь, перемещение. Уравнение траектории.

Кинематика – раздел механики, изучающий закономерности движения тел независимо от причин, вызывающих это движение

Материальная точка:Для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач в механике используются различные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка. Материальная точка позволяет определять положение тела, независимо от размеров, формы и т.п. Тело можно считать материальной точкой только в тех случаях, когда его размеры, форма, вращение не имеют существенного значения в условиях решаемой задачи и ими можно пренебречь

Система отсчёта: Для определения положения движущегося тела в любой момент времени, вида движения, его скорости и т.п. необходимы три вещи: прибор для отсчета времени, тело отсчета и связанная с ним система координат. Система координат, тело отсчета и прибор для измерения времени образуют систему отсчета. Относительно системы отсчета и рассматривают движение тела. В декартовой системе координат положение точки в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами X,Y,Z или радиус вектором , проведенным из начала системы координат к точке. При этом проекции радиус-вектора на оси системы отсчета эквивалентны координатам материальной точки: X,Y,Z. .В процессе движения МТ её координаты с течением времени изменяются. В общем случае её движение определяется скалярным ур-ниями: x=x(t); y=y(t); z=z(t) или = (t) – кинематические ур-ния движения материальной точки.

Траектория движения:Траектория движения материальной точки – линия описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории поступательное движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Уравнение траектории: Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат.

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями: x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями: x = f₁(t); y = f₂(t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме.

Путь: Пройденный путь равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина. Длина участка траектории пройденного МТ с начала отсчета времени, называется длинной пути ( ) и является скалярной функцией времени (t).

Перемещение: Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение – векторная величина. Вектор проведённый из начального положения движущейся точки в положение её в данный момент времени называется перемещением. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения равен пройденному пути .

Скорость (V):Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени: . Единица скорости – метр за секунду (м/с).

Ускорение (а): Скорость движения может изменяться как по модулю, так и по направлению. Быстрота изменения скорости характеризуется вектором ускорения . Среднее ускорение – отношение изменения скорости к промежутку времени , в течении которого произошло это изменение. . Вектор среднего ускорения совпадает по направлению с вектором изменения скорости. Ускорение – векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Единица ускорения – метр на секунду в квадрате (м/с 2 ).

При использовании для описания движения декартовой системы координат положение материальной точки задаётся координатами X,Y,Z. При движении точки эти координаты изменяются во времени, и её движение описывается ур-ниями: x=x(t); y=y(t); z=z(t). В этом случае векторы скорости можно разложить на три взаимно перпендикулярные компоненты: причём , а вектор ускорения (а) на причём

1. Кинематика криволинейного движения МТ

Тангенциальное, нормальное и полное ускорение. Формулы расчёта тангенциального и нормального ускорения. Принцип относительности и суперпозиции движений.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему.

Нормальное ускорение ( ) – характеризует изменение скорости по направлению и совпадает с нормалью траектории к центру её кривизны. Нормальное ускорение зависит от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент. . Вектор всегда направлен к центру окружности.

Полное ускорение, так как нормальное и тангенциальное ускорения взаимно перпендикулярны, полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Принцип относительности движения:Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчёта равноправны. Однако кинематические характеристики (траектория, перемещение, скорость) в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие от выбора систем отсчёта, в которой производится их измерение, называют относительным.

Принцип суперпозиции движения: один из общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит: результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

1. Кинематика вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными кинематическими величинами. Уравнение зависимости угла поворота от времени.

Угловое перемещение: Векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе её движения. Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение (угол поворота), измеряемое в радианах.

Линейное перемещение конца радиус-вектора связанно с углом поворота соотношением , в векторном виде

При рассмотрении таких величин, как радиус-вектор, скорость, ускорение, вопрос в выборе их направления не возникает. Такие векторы называются полярными. Векторы типа , направление которых связанно с направлением вращения называют аксиальными. Они не имеют точек приложения – их можно отложить от любой точки оси вращения.

Угловая скорость ( ):Если за промежуток времени тело проворачивается на угол , быстрота его вращения характеризуется угловой скоростью. .Вектор направлен вдоль оси вращения (как и вектор ), направление можно определить пользуясь правилом правого винта. Если направление вращения винта совпадает с вращением тела, то конец винта укажет направление вектора .Если = const, то вращательное движение называют равномерным. Единица угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Время одного полного оборота тела вокруг оси называют периодом вращения T, а величину V, обратную периоду – частотой . За один период угол поворота радиус-вектора точки равен 2π рад.

Угловое ускорение:изменение вектора со временем характеризуют вектором углового ускорения . . Направление вектора совпадает с направлением вектора (приращение вектора ). При ускоренном вращении совпадает с вектором , при замедленном вращении противоположно . Единица углового ускорения – радиан в секунду в квадрате (рад/с 2 ).

Связь между угловыми и линейными кинематическими величинами:

связь между линейной и угловой скоростью ; R – радиус окружности, по которой движется точка А, — угловая скорость точки А

связь между тангенциальным и угловым ускорением (ось вращения неподвижна)

связь между нормальным (центростремительным) ускорением, угловой скоростью и линейной скоростью.

Модуль полного ускорения

Уравнение зависимости угла поворота от времени:

При равномерном движении точки по окружности её траекторией является дуга. Точка движется с постоянной угловой скоростью , а зависимость угла поворота точки от времени является линейной: , где — начальное значение угла поворота.

Эта же формула определяет угол поворота абсолютно твёрдого тела при его равномерном вращении вокруг неподвижной оси, то есть при вращении с постоянной угловой скоростью . Важной характеристикой данного типа движения является линейная скорость материальной точки . Нужно помнить, что равномерное движение по окружности — движение равноускоренное. Хотя модуль линейной скорости и не меняется, но меняется направление вектора линейной скорости (из-за нормального ускорения).

1. Законы Ньютона.

Формулировка 1 закона Н. и принципы его действия. Причины изменения скорости тела. Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Масса, сила, импульс тела. Формулировка второго закона Н. и уравнение движения материальной точки в инерциальной системе отсчёта. Третий закон Н. и принципы его действия. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Галилея.

Формулировка 1 закона Н. и принципы его действия:1 закон Ньютона (закон Инерции): существуют системы отсчёта, в которых всякая материальная точка (тело)сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока при воздействии со стороны других тел это состояние не изменится. Стремление тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Если тело отсчета, входящее в систему отсчета покоится или совершает равномерное, прямолинейное движение, то на это тело не действуют никакие силы (1 з.Н.) или результирующая сил равна 0. Такая система может покоиться или двигаться только равномерно и прямолинейно (по инерции) и называется инерциальной.

Причины изменения скорости тела.Причиной изменения скорости тела является действие на него силы. Сила – векторная величина, которая является мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате чего тело приобретает ускорение или деформируется.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчёта.Инерциальная система отсчёта — система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно или покоятся. Законы Ньютона, а также все остальные аксиомы динамики в классической механике формулируются по отношению к инерциальным системам отсчёта. Неинерциальная система отсчёта — система отсчёта, в которой не выполняется первый закон Ньютона — «закон инерции», говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением или поворачивающаяся относительно инерциальной, является неинерциальной. Второй закон Ньютона также не выполняется в неинерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы уравнение движения материальной точки в неинерциальной системе отсчёта по форме совпадало с уравнением второго закона Ньютона, дополнительно к «обычным» силам, действующим в инерциальных системах, вводят силы инерции.

Принцип относительности Галилея.Принцип относительности — фундаментальный физический принцип, согласно которому все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Отсюда следует, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Различают принцип относительности Эйнштейна и принцип относительности Галилея, который утверждает то же самое, но не для всех законов природы, а только для законов механики.

Преобразования Галилея.Преобразования Галилея — в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Преобразования Галилея подразумевают, одинаковость времени во всех системах отсчета и выполнение принципа относительности. Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, много меньше скорости света. Если ИСО S движется относительно ИСО S’ с постоянной скоростью V вдоль оси X, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид: x’=x+vt; y’=y; z’=z; t’=t или, используя векторные обозначения, ; t’=t.

Это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Масса, сила, импульс тела.Сила – векторная величина, которая является мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате чего тело приобретает ускорение или деформируется. Единица силы – ньютон (Н). Ньютон – сила, которая сообщает ускорение 1 м/с 2 телу массой 1 кг в направлении действия силы.

Масса – физическая величина определяющая инерционные (инертная масса) и гравитационные ( гравитационная масса) свойства тела. В классической механике масса тела считается постоянной и равна массе покоя. Масса тела равна сумме масс всех частиц (материальных точек) из которых оно состоит. Массы взаимодействия тел обратно пропорциональны ускорениям, приобретаемыми телами в результате их взаимодействия.

Импульс тела — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. . Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Формулировка второго закона Н. и уравнение движения материальной точки в инерциальной системе отсчёта.В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. , а – ускорение тела, F – сила, приложенная к телу, m – масса материальной точки. . Если на МТ одновременно действует несколько сил, то каждая из них действует независимо от других сил и сообщает точке ускорение, определяемое 2м з.Н. В инерциальных системах, ускорение, приобретаемое МТ, прямо пропорционально вызывающей его силе и совпадает с ней по направлению. И обратно пропорционально массе материальной точки. В инерциальных системах отсчёта производная импульса МТ по времени = действующей на неё силе. Скорость изменения импульса точки равна равнодействующей силе действующей на точку. .F – результирующая всех сил, p – импульс MT.

Если сила постоянна в течение конечного промежутка времени , то закон изменения импульса принимает вид: , v1 v2 – скорости тела во время t1 t2.

Третий закон Н. и принципы его действия. Тела действуют друг на друга с силами равными по модулю и противоположными по направлению. С какой силой тело 1 действует на тело 2, с такой же силой, но противоположной по направлению тело 2 действует на тело 1 .Третий закон Ньютона справедлив независимо от того, покоятся взаимодействующие тела или находятся в движении, находятся они в контакте друг с другом или разделены пространством.

Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Галилея.Инвариантность уравнений движения относительно преобразований Галилея представляет собой математическую формулировку принципа относительности классической механики: законы движения одинаковы во всех системах координат, равномерно движущихся относительно друг друга. Первый постулат теории относительности согласуется с этим принципом и обобщает его на законы распространения света. Однако одновременное применение обоих постулатов находится в противоречии с преобразованиями Галилея. Если ИСО S движется относительно ИСО S’ с постоянной скоростью V вдоль оси X, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид: x’=x+vt; y’=y; z’=z; t’=t или, используя векторные обозначения, ; t’=t.

1. Силы в механике.

Классификация сил природы. Закон всемирного тяготения. Физический смысл гравитационной постоянной. Сила тяжести и веса тела. Упругие силы, закон Гука. Силы трения и сопротивления. Сложение сил.

Классификация сил природы.Сила количественная мера изменения скорости тела. Силы могут иметь различную физическую природу (сила трения, сила тяжести, сила упругости…). Сила является векторной величиной. Векторная сумма всех сил действующих на тело называется равнодействующей силой. Эталонная сила в системе СИ называется – Ньютон(Н). Все силы в природе делятся на фундаментальные силы (сила всемирного тяготения, сила электромагнитного взаимодействия и т.д.) и нефундаментальные ( сила Архимеда, сила упругости, сила трения и тд.).

Закон всемирного тяготения.Сила тяготения (гравитационная сила) – силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной G = 6,67·10 –11 Н·м 2 /кг 2 (СИ).

Сила тяжести и вес тела.Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если M – масса Земли, R_З – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна ,

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли: . Под действием силы притяжения к земле все тела падают в данном месте с одинаковым ускорением (g) , которое называется ускорением свободного падения. Тогда на основании 2 з.Н. что это ускорение вызывается силой тяжести. . Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с 2 .

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес. При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса. Сила тяжести равна весу, когда ускорение тела относительно земли = 0, т.е. когда тело неподвижно относительно земли или движется с постоянной скоростью. Если имеет место ускорение, то . Вес тела может быть больше или меньше силы тяжести: если g и a направлены в одну сторону (тело движется вниз или падает), то G
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.026 сек.)

Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела

Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a_t и a_n.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ_об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ_об и φ_об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a_t и a_n, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a_t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a_n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀=0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ₀ + ω₀t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω₀ + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ₀, ω₀ и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ₀ + (ω + ω₀)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ₀ + (ω 2 — ω₀ 2 )/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ₀=0 и ω₀=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.