Уравнение углового ускорения при вращательном движении

iSopromat.ru

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела:

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.

Обозначение: ω (омега).

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

• если известно количество оборотов n за единицу времени t:
  
• если задан угол поворота φ за единицу времени:
  

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c -1 ].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с 2 ], [с -2 ]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

равномерное вращение ( ω — const)

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δ t = t 1 — t , а изменение угловой скорости составит Δ ω = ω 1 — ω , тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: » open=» ε = ∆ ω ∆ t = ε . Перейдем к пределу, когда Δ t > 0 , тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε = l i m ∆ t → 0 ∆ ω ∆ t = d ω d t = d 2 φ d t = ω ˙ = φ ¨ .

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1 T 2 (т.е. 1 в р е м я 2 ). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается р а д / с 2 или иначе: 1 с 2 ( с — 2 ) .

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1 . Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε → = d ω → d t , имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε → и ω → совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1 ) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1 ).

Закон равнопеременного вращения

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным ( ε = c o n s t ) .

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t 0 угол вращения равен ϕ = ϕ 0 ; угловая скорость — ω = ω 0 (т.е. ω 0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε = d ω d t = ω ˙ = φ ¨ дает нам возможность сделать запись: d ω = ε d t . Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω 0 до ω , а правую – в пределах от 0 до t , тогда:

ω = ω 0 + ε t , d φ = ω 0 d t + ε t d t .

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Закон равнопеременного вращения: φ = φ 0 + ω t + ε t 2 2 .

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R , тогда: α r = ε R . Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: a n = ω 2 R . Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 Для равнопеременного движения: ω = ε t ; a n = ω 2 R = ε 2 t 2 R и a = R ε 2 + ε 4 t 4 = R ε 1 + ε 2 t 4 .

Практические примеры

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2 . 1 . и 2 . 3 . показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2 . 2 . и 2 . 4 . – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2 . 1 . и 2 . 4 . ). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2 . 2 . и 2 . 3 . ). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R . При этом выражение ϕ = α t 3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω = d φ d t = 3 α t 2 ; ε = 6 α t .

Полное ускорение запишем как:

a = a r 2 + a n 2 = R ε 2 + ω 4 = R 36 a 2 t 2 + 81 a 4 t 8 = 3 a t R 4 + 9 a 2 t 6 .

Вращательное движение и угловая скорость твердого тела

В этой статье речь пойдет о физических величинах, которые характеризуют вращательное движение тела: угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение, момент сил.

Твердым телом называют совокупность жестко связанных материальных точек. Когда твердое тело производит вращение относительно какой-либо оси, отдельные материальные точки, из которых оно складывается, двигаются по окружностям разных радиусов.

За определенный промежуток времени, например, за которое тело совершит один оборот, отдельные материальные точки, из которых состоит твердое тело, пройдут разные пути, следовательно, отдельные точки будут иметь разные линейные скорости. Описывать вращение твердого тела с помощью линейных скоростей отдельных материальных точек — сложно.

Угловое перемещение

Однако, анализируя движение отдельных материальных точек, можно установить, что за одинаковый промежуток времени все они поворачиваются вокруг оси на одинаковый угол. То есть для описания вращения твердого тела удобно пользоваться такой физической величиной, как угловое перемещение:

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение можно охарактеризовать угловой скоростью: ω = ∆φ/∆t.

Угловая скорость характеризует скорость вращения тела и равняется отношению изменения угла поворота ко времени, за которое оно произошло. Измеряется в радианах за секунду: [ω] = рад/с.

Угловая скорость вращения связана с линейной скоростью следующим соотношением: v = Rω, где R – радиус окружности, по которой двигается тело.

Вращательное движение тела характеризуется еще одной физической величиной — угловым ускорением, которое равно отношению изменения угловой скорости ко времени, за которое оно произошло: ε = ∆ω/∆t. Единица измерения углового ускорения: [ε] = рад/с 2 .

Угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, направление которых зависит от направления вращения. Его можно определить по правилу правого винта.

Равномерное вращательное движение

Равномерное вращательное движение осуществляется с постоянной угловой скоростью и описывается такими уравнениями: ε = 0, ω = const, φ = φ₀ + ωt, где φ₀ – начальное значение угла поворота.

Равноускоренное вращательное движение

Равноускоренное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением и описывается такими уравнениями: ε = const, ω = ω₀+ εt, φ = φ₀ + ω₀t + εt 2 /2.

Во время вращения твердого тела центростремительное ускорение каждой точки этого тела можно найти так: ɑ_ц = v 2 /R = (ωR) 2 /R = ω 2 R.

Когда вращение твердого тела ускоренное, можно найти тангенциальное ускорение его точек по формуле: ɑ_t = ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α — угол между векторами R и F. Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M₁ + M₂ + …+ M_n.

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R 2 mβ, β= M/mR 2 = M/I, где I = mR 2 — момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2•10 4 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω₀ — εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω₀/t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с), получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с 2 ).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ₀ + ω₀t + εt 2 /2. Учитывая выражение для углового ускорения и то, что φ₀ = 0, находим: φ(t)= ω₀t/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8•10 4 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с 2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8•10 4 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR 2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω₀/ε, где ω₀ — начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28•2•1•0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.