Нормальное (нормированное) уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
В данной статье рассмотрим нормальное уравнение прямой на заданной плоскости. Получим нормальное уравнение, покажем не примере, дадим определение нормирующего множителя и разберем приведение общего уравнения к нормальному виду. Заключительной части посвятим основному приложению нормального уравнения прямой, то есть нахождение расстояние от точки до прямой на плоскости.
Нормальное уравнение прямой – описание и пример
Рассмотрим выведение нормального уравнения.
Фиксируем на плоскости систему координат О х у , где задаем прямую с точкой, через которую она проходит с нормальным вектором прямой. Нормальному вектору прямой дадим обозначение n → . Его начало обозначено точкой O . координатами являются cos α и cos β , углы которых расположены между вектором n → и положительными осями О x и O y . Это запишется так: n → = ( cos α , cos β ) . Прямая проходит через точку A с расстоянием равным p , где p ≥ 0 от начальной точки O при положительном направлении вектора n → . Если р = 0 , тогда A считается совпадающей с точкой координат. Отсюда имеем, что O A = p . Получаем уравнение, при помощи которого задается прямая.
Имеем, что точка с координатами M ( x , y ) расположена на прямой тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора O M → по направлению вектора n → равняется p , значит при выполнении условия n p n → O M → = p .
O M → является радиус-вектором точки с координатами M ( x , y ) , значит O M → = ( x , y ) .
Применив определение скалярного произведения векторов, получим равенство вида: n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → = p
Тогда это же произведение будет иметь вид в координатной форме: n → , O M → = cos α · x + cos β · y
Отсюда cos α · x + cos β · y = p или cos α · x + cos β · y — p = 0 . Было выведено нормальное уравнение прямой.
Уравнение вида cos α · x + cos β · y — p = 0 называется нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Иначе говоря, уравнение прямой в нормальном виде.
Понятно, что такое уравнение представляет собой общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , где A и B имеют значения, при которых длина вектора n → = ( A , B ) равна 1 , а C является неотрицательным числом.
Теперь рассмотрим его геометрический смысл. Нормальное уравнение прямой вида cos α · x + cos β · y — p = 0 задает в системе координат О х у на плоскости прямую с наличием нормального вектора единичной длины n → = ( cos α , cos β ) , которая располагается на расстоянии равном p от начала координат по положительному направлению вектора n → .
Если дано уравнение прямой вида — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 , то на плоскости задается прямая, у которой нормальный вектор с координатами — 1 2 , 3 2 . Удаление прямой от начала координат идет по направлению, совпадающему с направлением нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду
Часто решение задач подразумевает использование нормального уравнения прямой, но само оно не дается в нормальном виде, поэтому необходимо для начала приводить к нормальному виду, после чего выполнять необходимые вычисления.
Нормальное уравнение получают из общего уравнения прямой. Когда на плоскости задается другим уравнением, то необходимо привести его к общему виду, после чего возможно приведение к нормальному. Если рассмотреть на примере, то это будет выглядеть так.
Для приведения общего уравнения прямой A x + B x + C = 0 к нормальному необходимо обе части умножить на нормирующий множитель, который имеет значение ± 1 A 2 + B 2 . Его знак определяется при помощи противоположности знака слагаемого C . При С = 0 знак выбирается произвольно.
Привести уравнение прямой 3 x — 4 y — 16 = 0 к нормальному виду.
Из общего уравнения видно, что А = 3 , В = — 4 , С = — 16 . Так как значение C отрицательное, необходимо брать положительный знак для формулы. Перейдем к вычислению нормирующего множителя:
1 A 2 + B 2 = 1 3 2 + ( — 4 ) 2 = 1 5
Теперь необходимо умножить обе части уравнения на одну пятую. Получим, что 1 5 · ( 3 x — 4 y — 16 ) = 0 ⇔ 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
Нормальное уравнение по заданной прямой найдено.
Ответ: 3 5 · x — 4 5 · y — 16 5 = 0 .
Нормальное уравнение прямой
В данной статье мы рассмотрим нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения нормального уравнения прямой по углу наклона нормального вектора прямой от оси Ox и по расстоянию от начала координат до прямой. Представим метод приведения общего уравнения прямой к нормальному виду. Рассмотрим численные примеры.
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат. Тогда нормальное уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:
xcosφ+ysinφ−r=0, | (1) |
где r− расстояние от начала координат до прямой L, а φ− это угол между нормальным вектором n прямой L и осью Ox. (Если r>0, то нормальный вектор n направлен в сторону прямой L).
Выведем формулу (1). Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат и прямая L (Рис.1). Проведем через начало координат прямую Q, перпендикулярную прямой L, и точку пересечения обозначим через R. На этой прямой выделим единичный вектор n, с направлением, совпадающим с вектором . (Если точки O и R совпадают, то направление n можно взять произвольным).
Выразим уравнение прямой L через два параметра: длину отрезка и угол φ между вектором n и осью Ox.
Так как вектор n является единичным вектором, то его проекции на Ox и Oy будут иметь следующие координаты:
n=<cosφ, sinφ>. | (2) |
Обозначим через r расстояние от начала координат до точки R. Рассмотрим, теперь, точку M(x,y). Точка M лежит на прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора на прямую R равна r, т.е.
(3) |
Скалярное произведение векторов n и имеет следующий вид:
, | (4) |
где − обозначен скалярное произведение векторов n и , а | · |− норма (длина) вектора, α−угол между векторами n и .
Поскольку n единичный вектор, то (4) можно записать так:
. | (5) |
Учитывая, что n=<cosφ, sinφ>, , мы получим:
. | (6) |
Тогда из уравнений (3), (5), (6) следует:
xcosφ+ysinφ=r |
xcosφ+ysinφ−r=0. | (7) |
Мы получили нормальное уравнение прямой L. Уравнение (7) (или (1)) называется также нормированным уравнением прямой .
Пример 1. Построить нормальное уравнение прямой, нормальный вектор которого с осью Ox имеет угол φ=60°, а расстояние от начала координат до прямой составляет 4.
Решение. Имеем: φ=60°, r=4. Вычисляем:
, |
Подставляя вычисленные значения в (7) получим:
. |
. |
Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормальному виду
Так как уравнения (1) и (8) должны определять одну и ту же прямую (Замечание 1 статьи «Общее уравнение прямой на плоскости»), то существует такое число t, что
tAx=cosφ, tB=sinφ, tC=−r. | (9) |
Возвышая в квадрат первые два равенства в (9) и складывая их, получим:
(tA) 2 +(tB) 2 =cos 2 φ+sin 2 φ=1. | (10) |
Упростим выражение и найдем t:
t 2 A 2 +t 2 B 2 =t 2 (A 2 +B 2 )=1, |
. | (11) |
Знаменатель в (11) отличен от нуля, т.к. хотя бы один из коэффициентов A, B не равен нулю (в противном случае (8) не представлял бы уравнение прямой).
Выясним, какой знак имеет t. Обратим внимание на третье равенство в (9). Так как r−это расстояние от начала координат до прямой, то r≥0. Тогда произведение tC должна иметь отрицательный знак. Т.е. знак t в (11) должен быть противоположным знаку C.
Подставляя в (1) вместо cosφ, sinφ, и −r значения из (9), получим tAx+tBy+tC=0. Т.е. для приведения общего уравенения прямой к нормальному виду, нужно заданное уравнение умножить на множитель (11). Множитель (11) называется нормирующим множителем .
Пример 2. Задано общее уравнение прямой
Построить нормальное уравнение прямой.
Решение. Из уравнения (12) можно записать: A=2, B=−3, C=4. Вычислим t из равенства (11):
Так как C>0, то знак t отрицательный:
Умножим уравнение (12) на t:
Ответ. Нормальное уравнение прямой (12) имеет следующий вид:
Отметим, что число является расстоянием от начала координат до прямой (12).
Уравнение в нормальной форме это
Lv 1 = f, Lv 2 = f,
То есть сумма решений линейного однородного и линейного неоднородного уравнений (с тем же L) есть решение того же неоднородного уравнения; разность двух решений линейного неоднородного уравнения есть решение линейного однородного уравнения.
2.3. Линейная зависимость вектор-функций.
Вектор-функции x 1 (t), . x k (t) называются линейно зависимыми на интервале (или на множестве) М , если найдутся такие постоянные числа c1. ck, из которых хотя бы одно не равно нулю, что при всех t Î M имеем
Вектор-функции линейно независимы на M , если они не являются линейно зависимыми на M, то есть если равенство (12) (при всех t Î M одновременно) возможно лишь в случае c1 = . = сk = 0.
Понятие линейной зависимости вектор-функций на данном множестве M, содержащем более одной точки, отличается от известного из алгебры понятия линейной зависимости векторов.
Если вектор-функции x 1 (t), . x k (t) линейно зависимы на M, то при каждом t Î M их значения являются линейно зависимыми векторами, это следует из (12). Обратное неверно.
x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)
при любом t являются линейно зависимыми векторами.
Но как вектор-функции, они на любом интервале ( α, β) линейно независимы, так как при постоянных с1 и c2 равенство
на всем интервале ( α, β) возможно лишь при с1 = с2 = 0.
Действительно, c1x 1 (t) + c2 x 2 (t) = 0 эквивалентно выполнению равенства
2.3. Детерминант Вронского.
Детерминант Вронского W (t) или вронскиан для n-мерных вектор-функций
х 1 (t). , x n ( t ) — это детерминант n-го порядка, столбцы которого состоят из координат этих вектор-функций.
Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно зависимы, то их вронскиан W(t) ≡ 0.
Если вронскиан W(t) ≠ 0 ( $ t ), то вектор-функции x 1 (t), . x n (t) линейно независимы.
Если вектор-функции x 1 (t), . x n (t) являются решениями системы х’ = A(t)x с непрерывной матрицей A ( t ), и их вронскиан равен нулю хотя бы при одном значении t , то эти вектор-функции линейно зависимы и их вронскиан W(t) ≡ 0.
Для вектор-функций, не являющихся решениями, утверждение леммы 3 неверно. В частности, для вектор-функций примера 2
x 1 (t) = (1,1) и x 2 (t) = (t, t)
имеем: W(t) ≡ 0, а они линейно независимы.
Далее рассматриваются решения линейной системы
Фундаментальной системой решений называется любая система n линейно независимых решений.
Покажем, что фундаментальные системы существуют. Возьмем t0 Î ( α, β) и любые n линейно независимых векторов b 1 , …, b n Î R n
Пусть х 1 (t). ,x n (t) — решения системы х’ = A(t)x с начальными условиями x j (t 0 ) = b j , j = 1. ,n.
Эти решения линейно независимы, так как при t = t0 их значения — линейно независимые векторы b 1 . b n , и равенство (12) возможно только при c1 = . = cn = 0.
Общим решением системы дифференциальных уравнений называют множество функций, содержащее все решения этой системы и только их (или формулу, представляющую это множество при всевозможных значениях произвольных постоянных).
Теорема 5 (об общем решении).
Пусть x l (t). x n (t) — какие-нибудь n линейно независимых решений системы
Общее решение системы есть
Теорема 5 означает, что множество решений системы х’ = A(t)x (х Î R n ) есть n-мерное линейное пространство.
Базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Равенство (13) есть представление любого элемента этого пространства в виде линейной комбинации элементов базиса.
Фундаментальной матрицей системы х’ = A(t)x называется матрица X(t), столбцы которой составляют фундаментальную систему решений.
Из леммы 3 следует, что det X(t) = W(t) ≠ 0.
С помощью фундаментальной матрицы X(t) общее решение (13) записывается в виде
где с — вектор-столбец с произвольными координатами c1. сn (так как X(t)c — линейная комбинация столбцов матрицы X(t), равная правой части (13) с коэффициентами с1. сn.
Найти линейно независимые решения и фундаментальную матрицу для системы
Из второго уравнения имеем у = с1 (произвольная постоянная). Подставляя в первое уравнение, получаем х’ = с1. Отсюда х = c1t + c2.
Общее решение есть х = c1t + c2,
Полагая с1 = 1, с2 = 0, находим частное решение х1 = t,
y1 = 1, а полагая с1 = 0, с2 = 1, находим другое решение х2 = 1,
y2 = 0. Их вронскиан W(t) = -1 ≠ 0. И в силу следствия леммы 2 эти решения линейно независимы. Поэтому фундаментальной является матрица
X T = x 1 x 2 y 1 y 2 .
Теорема 6 (переход от одной фундаментальной матрицы к другой).
Пусть X(t) — фундаментальная матрица, С — неособая (det С ≠ 0) постоянная матрица n x n. Тогда Y(t) = X(t)C — фундаментальная матрица той же системы. По этой формуле из данной фундаментальной матрицы X(t) можно получить любую фундаментальную матрицу Y(t), подбирая матрицу С.
Теорема 7 . Общее решение линейной неоднородной системы (10)
есть сумма ее частного решения и общего решения линейной однородной системы
3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ.
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
На этой лекции мы рассмотрим пример применения теории дифференциальных уравнений в непрерывной модели экономики, где независимой переменной является время t . Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.
3.1. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P ( t ).
Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:
D(t) = 3P′′ – P′ – 2P +18,
S(t) = 4P′′ + P′ + 3P + 3. (14)
Принятые в (14) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.
1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп растет ( Р» > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.
2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р» в функции S ( t ) больше, чем в D ( t ) . Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее Р’ , входит в выражение для S ( t ) со знаком плюс.
Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S , приравняем правые части уравнений (14). После приведения подобных получаем
Соотношение (15) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P ( t ) . Как было установлено в предыдущем пункте, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения
Характеристическое уравнение имеет вид
Его корни — комплексно-сопряженные числа: k 1,2 = -1 ± 2 i, и, следовательно, общее решение уравнения (16) дается формулой
где С1 и С2 — произвольные постоянные.
В качестве частного решения неоднородного уравнения (15) возьмем решение Р = P st — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (15) дает значение P st :
Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид
Нетрудно видеть, что P ( t ) P st = 3 при t , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене P st с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.
3.2. Частные решения: задача Коши и смешанная задача.
Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.
1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения: При t =0
Подставляя первое условие в формулу общего решения (17), получаем
P(t) = 3 + e –t (cos 2t + C2 sin 2t). (18)
Дифференцируя , имеем отсюда
Теперь реализуем второе условие задачи Коши:
Р’ (0) = 2 C2 — 1 = 1, откуда C 2 = 1 . Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид
P(t) = 3 + e –t (cos 2t + sin 2t).
или в более удобной форме:
P t = 3+ 2 e — t cos 2 t — π 4 .
2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:
Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем и здесь решение (18). Тогда производные функции Р( t ) выражаются формулами
Отсюда Р’(0) =2 C 2 — 1 и Р»( 0 ) = —4 C 2 — 3 . Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D ( 0 ) = 16 , имеем с учетом вида D ( t ) из первой формулы (14): С2 = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид
или в более удобной форме:
P t = 3- 2 e — t sin 2 t — π 4 .
Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изображены на рисунке 1.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).
[2] Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: Учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — 295 с.
[3] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.
[4] Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер, 2005. – 464, ил. (Серия «Учебное пособие»).
[5] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. М.: КомКнига, 2007. — 240 с.
http://matworld.ru/analytic-geometry/normalnoe-uravnenie-prjamoj.php
http://bodrenko.org/dru/dru-l2.htm