Уравнение в целых числах егэ
А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.
Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.
В) Может ли разность каких‐либо N − х (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?
а) Требуется решить в целых числах уравнение Перепишем его в виде: Заметим, что 91 можно разложить на множители восемью способами: Получаем восемь различных пар (x;y): (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).
б) Требуется решить в целых числах уравнение Перепишем его в виде: Аналогично пункту а), получаем 8 систем: и еще 7 аналогичных систем. Решая их в целых числах, получаем четыре пары (x,y): (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4).
в) Будем искать только неотрицательные решения (1), поскольку:
— если n-четно, то пара (|x|,|y|) — тоже решение (1)
— если x 1, так как уравнения не имеют целочисленных решений при n>1. Так же поэтому
Сначала разберем случай n=4.
Учитывая, что то возможен только один вариант разложения числа 91 на три различных множителя:
Легко убедиться, что в этом случае решений в целых числах нет.
Пусть n>4, тогда:
Функция где является возрастающей, так как после раскрытия скобок останется сумма возрастающих функций. Тогда, с учетом того, что имеем:
Таким образом, , при решений нет
Ответ: а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||
---|---|---|---|---|
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 | |||
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 | |||
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 | |||
Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Решение уравнений в целых числах. Подготовка к заданию C6В школьной программе эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике в старших классах. В пособии также рассматривается связанная с решением уравнений в целых числах тема делимости чисел. Пособие рекомендуется абитуриентам, школьникам старших классов и преподавателям математики. Авторы: Власова А.П., Евсеева Н.В., Латанова Н.И. Решение уравнений в целых числах |
Вложение | Размер |
---|---|
reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.pptx | 224.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение уравнений в целых числах. Уланова Т.Н. Учитель математики «Лицей №21» Г.Дзержинск Нижегородской области.
Линейное уравнение ax+by =c — Если НОД( a,b )=1, то уравнение имеет хотя бы одно решение: где ( x 0 ,y 0 ) — некоторое частное целочисленное решение для t ∊Z — Если НОД( a,b ) ≠ 1 , то уравнение не имеет целочисленных решений.
Пример1 : Решить в целых числах уравнение: 7x+9y=32 НОД(7 ; 9)=1, целочисленное решение (2;2), значит x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z . Ответ: x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z . Пример2 : Решить в целых числах уравнение: 3 x-4y=1 НОД( 3 ; 4 )=1, целочисленное решение ( 3 ;2), значит x=3-4t, y=2-3t, t ∊Z . Ответ: x=3-4t, y=2-3t, t ∊Z .
Замечание 1. Если ( x 0, y 0 )- целочисленное решение уравнения ax+by =1, то ( cx 0 ,cy 0 ) — целочисленное решение уравнения ax+by =c. Пример 3 : Решить в целых числах уравнение: 3x-5y=11 Найдём целочисленное решение уравнения 3x-5y=1 НОД(3 ; 5)=1, целочисленное решение (2;1), значит частным решением уравнения 3x-5y=11 является пара (22;11), т.е. x=2 2-5 t, y= 11 — 3 t, t ∊Z Ответ: x=2 2-5 t, y= 11 — 3 t, t ∊Z
Замечание 2. Если трудно подобрать частное решение, то можно применить алгоритм Евклида. Пример 4 : Решить в целых числах уравнение: -23 x +79 y=1 НОД(23 ; 79)=1, значит существует целочисленное решение. 79=23 ⋅ 3+10 23=10 ⋅ 2+3 10=3 ⋅ 3 + 1 1=10-3 ⋅ 3=10-3 ⋅( 23- 10 ⋅ 2)=-3 ⋅ 23+ 10 ⋅ 7=-3 ⋅ 23+ 7 ⋅( 79- 23 ⋅ 3)= =7 ⋅ 79- 24 ⋅ 23 -23 ⋅ 24 + 79 ⋅ 7 =1 , значит частным решением данного уравнения является пара чисел (24;7), т.е. решение x=2 4+79 t, y= 7+23 t, t ∊Z . Ответ: x=2 4+79 t, y= 7+23 t , t ∊Z .
Метод разложения на множители. Пример 5 : Решить в целых числах уравнение: x+xy-3y=5 x-3+y(x-3)=5-3 (x-3)(y+1)=2 => => => Ответ:(1;-2),(2;-3),(4;1),(5;0). = >
Пример 6 : Решить в целых числах уравнение: + 91 = — = 91 = 91 ,91=7 ⋅ 13=1 ⋅ 91 >0 => Ответ: (5;6),(-6;-5),(-3;4),(-4;3).
Соображения делимости. Пример 7 : Решить в целых числах уравнение: Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида . 1) Если х и у чётные, то делится на 4. 2) Если одно из чисел чётное, а второе — нечётное, то остаток от деления на 4 выражения равен 1, т.к. 3) Если оба числа нечётные, то остаток от деления На 4 равен 2.
Рассмотрим правую часть данного уравнения 4z-1=4z-4+3=4(z-1)+3 , т.е. при делении на 4 правая часть имеет остаток 3. Т. к. левая часть и правая часть имеют разные остатки , то Ни при каких х , у , z уравнение решений не имеет. Ответ: решений нет. — Этот метод часто используется для доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах.
Пример 8 : Решить в целых числах уравнение: +3=7у Остаток от деления на7 Т.к. 7у = делится на 7, то х=7 k+2 или х=7 k+ 5, где k ∊Z . При х=7 k+2 7у= у= При х=7 k+ 5 7у= у= Ответ: , , . 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 2 2 4 1 3 4 0 5 5 0 4
Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных. Пример 9 : Решить в целых числах уравнение: х+у =ху у=ху-х , у=х (у-1) Рассмотрим 2 случая: Если у=1, то уравнение не имеет решений, т. к. х (1-1)=0 1 ≠ 0. Если у ≠ 1, то , , Последнее равенство имеет целые решения, если у-1= 1 т.е. у=0, у=2. Ответ: (0;0), (2;2).
Пример 10 : Решить в целых числах уравнение: 3ху+14х+17у+71=0 т.к х ∊ Z Т.к.(3у+14) ∊ Z , то (3х+17) ⋮ 25. Следовательно, (3х+17) : ±1, ±5, ±25. Поэтому х=-4, х=-6 , х=-14 .Соответственно у=-3, у=-13. у=-5. Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5).
Другие примеры. Пример 11 : Решить в натуральных числах уравнение: х!+у!= z! Заметим, что z 2, ⟹ х z , у z ⟹ х z-1 , у z-1 ⟹ х!+у ! 2( z -1)! ⟹ z ! 2( z -1)! ⟹ z ( z -1)! 2( z -1)! ⟹ z 2 . Итак z =2, тогда х!+у ! =2, т.е. х=у=1. Ответ: х=1, у=1, z =2.
Пример 1 2 : Решить в натуральных числах уравнение: и по условию Проверка Ответ:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка элективного курса «Решение уравнений в целых числах»
Публикация содержит методическую разработку элективного курса «Решение уравнений в целых числах» — теоретический, практический материал, историческую справку, список литературы. Предложенная презентац.
Конспект урока по теме «Решение уравнений в целых числах»
В ходе урока рассмотрены следующие методы решения уравнений в целых числах: разложение на множители; решение уравнения как квадратного относительно одной из переменных; графический.
Доклад на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».
Докладна тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».
Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»
Актуальность исследования:В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнени.
Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.
«Решение задач и уравнений в целых числах» 10 класс 2017/2018
10 класс. Алгебра. Решение уравнений в целых числах. Делимость чисел. Задачи
Задачи по теме Делимость чисел для домашнего задания или для тренировочной работы в группах.
http://4ege.ru/matematika/4851-reshenie-uravneniy-v-celyh-chislah-podgotovka-k-zadaniyu-c6.html
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2018/12/24/reshenie-uravneniy-v-tselyh-chislah