Уравнение ван дер поля предельный цикл

ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ

ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

Является важным частным случаем Льенара уравнения. В. д. П. у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математич. моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубич. характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (см. [1]).

Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных х, v:

Иногда вместо х удобнее ввести переменную z (t) = ∫ t ₀ х (τ) dτ; тогда уравнение (1) приведется к уравнению

являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Если вместе с переменной х рассмотреть переменную , ввести новое время τ = i/μ и положить

ε = μ 2 , то вместо уравнения (1) получим систему

При любом μ > 0 в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к к-рому при t → ∞ приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [2]-[4]).

При малых μ автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелинейные колебания) с периодом 2π и с определенной амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотич. методы. При возрастании μ автоколебания осциллятора (1) все более отклоняются от гармонич. колебаний. При больших μ уравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) 1,614 μ. Известны более точные асимптотич. разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. [5]); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром ε при производной (см. [6]).

описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодич. возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодич. колебаний) и исследование биений (возможности почти периодич. колебаний; см. [2], [4]).

Лит.: [1] Van der Рol В., «Phil. Mag.», 1922, ser. 6, v. 43, p. 700-19; 1926, ser. 7, v. 2, p. 978-92; [2] Андронов А. А., Витт A. A., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Лефшец C., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [4] Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953; [5] Дородницын А. А., «Прикл. матем. и механика», 1947, т. 11, с. 313-28; [6] Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

К вопросу о предельном цикле генератора Ван-дер-Поля в релаксационном режиме Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Судаков В. Ф.

Приведено приближенное аналитическое описание предельного цикла генератора Ван-дер-Поля в релаксационном режиме. Предложенный метод описания менее точен, чем известные асимптотические приближения, но значительно проще в реализации. Получена временная зависимость автоколебаний в форме обратной функции.

TO THE PROBLEM ON LIMIT CYCLE OF THE VAN DER POL GENERATOR IN RELAXATION MODE

An approximate analytical description of the limit cycle of the Van der Pol generator in relaxation mode is given. The proposed description approach is less accurate than the known asymptotic approximations but is substantially simpler in implementation. The time dependence of self-oscillations is derived in the form of inverse function.

Текст научной работы на тему «К вопросу о предельном цикле генератора Ван-дер-Поля в релаксационном режиме»

К ВОПРОСУ О ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ

ГЕНЕРАТОРА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В РЕЛАКСАЦИОННОМ РЕЖИМЕ В.Ф. Судаков

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва e-mail: vvffss@inbox.ru

Ключевые слова: генератор, предельный цикл, период автоколебаний, релаксационный режим, асимптотика решения.

TO THE PROBLEM ON LIMIT CYCLE

OF THE VAN DER POL GENERATOR IN RELAXATION MODE V.F. Sudakov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow e-mail: vvffss@inbox.ru

Keywords: generator, limit cycle, the period of self-oscillations, relaxation mode, asymptotics of the solution.

Уравнение Ван-дер-Поля в приведенной форме

описывает как автоколебания, так и процесс их установления. Возможные режимы определяются параметром е: автоколебания существуют только при е > 0, их форма близка к гармонической при е ^ 1 и имеет релаксационный вид при е > 1. В настоящей работе остановимся на релаксационном режиме генерации, рассматривая только предельный цикл (автоколебания), не касаясь процесса его установления.

Уравнение (1), ввиду его типичного характера и важного прикладного значения, досконально изучалось на протяжении многих лет. При малых е применялся оптимальный в этом случае метод усреднении [1]. При больших е исчерпывающие результаты были получены графоаналитическим путем с помощью метода изоклин и метода Льенара [1]. Чисто аналитическим путем уравнение (1) исследовал А.А.Дородницын [2], разработавший для этого асимптотический ме-

тод. Полученная им зависимость для предельного цикла

имела вид асимптотических рядов для различных областей изменения x. Основная трудность, которая была преодолена Дородницыным, сводилась к необходимости сшивать различные асимптотические разложения в окрестностях точек перехода x = ±1 и точек x = ±а, где

^ (Та) = и нарушается однозначность зависимости у (x). Ма-

лые окрестности этих точек рассматривались как переходные области между областями сравнительно простой асимптотики (основными областями). Согласно методу Дородницына переходные области выбираются таким образом, чтобы они частично перекрывались с прилегающими к ним основными областями. Кроме того, точки x = ±а считаются неизвестными и определяются в процессе построения решения во всех основных и переходных областях. Асимптотические ряды, представляющие предельный цикл в различных областях, различны и имеют сложный характер.

Далее будет предложен другой подход к приближенному описанию предельного цикла для уравнения Ван-дер-Поля в релаксационном режиме (при больших е). Он проще метода Дородницына, хотя и менее точен. Критерием допустимости предлагаемого приближения является правильная (в первом приближении совпадающая с известными результатами) качественная зависимость от е наиболее важных характеристик автоколебаний.

Асимптотика предельного цикла в основных областях. Из (1) следует уравнение, представляющее собой зависимость y (x) на фазовой плоскости :

У^ — е (1 — x2) У + x = 0. (2)

Предельный цикл — это изолированная замкнутая устойчивая траектория на фазовой плоскости. Уравнение (2) сохраняет вид при замене x ^ —x, y ^ —у, т.е. его решение центрально симметрично. Это свойство позволяет ограничиться только верхней полуплоскостью У > 0. (В этом пункте приведены известные сведения об асимптотическом приближении решения уравнения (2) в основных областях.) Если амплитуда автоколебаний а, то они занимают область |x| 1) в основном пропорционален е при асимптотически малых добавках: по методу Дородницына период Т в первом приближении определяется следующим образом [1]:

Т = 2е( 3 — 1п^+7,01е-1. (8)

Определим этот же период, исходя из зависимостей у(х), полученных предлагаемым методом. Область [—2, хь] изображающая точка

источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-o-predelnom-tsikle-generatora-van-der-polya-v-relaksatsionnom-rezhime