Уравнение вектора проходящего через 2 точки

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 — 5 , 2 3 , M 2 1 , — 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = — 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = — 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) = y — 2 3 — 1 6 — 2 3 ⇔ x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x — 1 4 — 1 = y — 1 2 — 1 ⇔ x — 1 3 = y — 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x — 1 3 = y — 1 1 ⇔ 1 · x — 1 = 3 · y — 1 ⇔ x — 3 y + 2 = 0

Ответ: x — 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x — x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 1 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( — 7 , — 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что — 5 = k · ( — 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему — 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

— 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k — 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = — 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = — 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = — 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = — 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x — 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( — 7 , — 5 ) , имеющее вид x — ( — 7 ) 2 — ( — 7 ) = y — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x — 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x — 1 3 .

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 = z — z 2 z 2 — z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 — z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 — z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , — 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , — 3 , — 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = — 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = — 3 , z 2 = — 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x — 2 1 — 2 = y — ( — 3 ) — 3 — ( — 3 ) = z — 0 — 5 — 0 ⇔ x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5

Ответ: x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5 .

Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).

(1)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:

(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).

(2)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы (продолжение)

Векторы на плоскости и в пространстве веб-страницы: 1 2 3

23 Косинус угла или угол между векторами

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами = ( x ₁; y ₁; z ₁) и = ( x ₂; y ₂; z ₂) равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Косинус угла между векторами в координатах

Угол между векторами

Если = 1, то угол между векторами равен 0 0 , векторы сонаправлены.

Если = 0, то угол между векторами равен 90 0 , векторы перпендикулярны.

Если = -1, то угол между векторами равен 180 0 , векторы противоположно направлены.

Повторимся. Если какой-то вектор задан координатами начала и конца, то отнимая от соответствующих координат конца вектора координаты начала, получаем координаты этого вектора.

Задача. Найти угол между векторами (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Скалярное произведение векторов

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

следовательно угол между векторами равен = 90 0 .

24 Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения справедливы при любых , , , k :

1. , если , то , если = , то = 0.

2. Переместительный закон

3. Распределительный закон

4. Сочетательный закон .

25 Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой — это ненулевой вектор, лежащий на заданной прямой или на прямой, параллельной данной прямой.

Если прямая M ₁ M ₂ задана двумя точками M ₁( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂( x ₂; y ₂; z ₂), то направляющим является вектор или противоположный ему вектор = — . Координаты направляющих векторов прямой M ₁ M ₂

= (x ₂ — x ₁ ; y ₂ — y ₁ ; z ₂ – z ₁ );

= (x ₁ — x ₂ ; y ₁ — y ₂ ; z ₁ — z ₂ ) .

Систему координат желательно задать так, чтобы прямая проходила через начало координат, тогда координаты единственной точки на прямой, не совпадающей с началом координат и будут координатами направляющего вектора этой прямой.

Задача. Определить координаты направляющего вектора прямой, проходящей через точки M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0).

Построим заданные точки в системе координат Oxyz .

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M ₁(1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) обозначим . Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (x ₂ — x ₁ ; y ₂ — y ₁ ; z ₂ – z ₁ )

= (0 — 1; 1 — 0; 0 — 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M ₁, с концом в точке M ₂ и равный ему вектор из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

26 Угол между двумя прямыми

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых на плоскости и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми 0 0 0 .

Пересекающиеся прямые могут быть, в частности, перпендикулярны φ = 90 0 .

2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .

3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .

Угол между прямыми на плоскости может быть в диапазоне

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве и угла между такими прямыми:

2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .

3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .

4. Прямые скрещиваются, то есть не пересекаются в пространстве и не параллельны. Углом φ между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными параллельно этим прямым так, чтобы они пересекались. Поэтому угол между с крещивающимися прямыми

Угол между 2-мя прямыми в пространстве равен углу между прямыми, проведенными параллельно этим прямым в одной плоскости. Поэтому угол между прямыми в пространстве может быть в диапазоне

26.1 Косинус угла между направляющими векторами прямых

Угол θ (тета) между векторами и может быть в диапазоне

Если угол φ между прямыми α и β равен углу θ между направляющими векторами этих прямых φ = θ, то равны и косинусы этих углов

Если угол между направляющими векторами прямых θ > 90 0 , то угол между прямыми φ = 180 0 — θ и

cos φ = cos (180 0 — θ ) = — cos θ .

Этот случай изображен на рисунке

Поэтому косинус угла между прямыми всегда равен модулю косинуса угла между векторами

Если заданы координаты ненулевых векторов = ( x ₁; y ₁; z ₁) и = ( x ₂; y ₂; z ₂), то косинус угла θ между ними

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых

cos φ = | cos θ| =

Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. Прямые являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.

Косинус угла между прямыми

cos φ =

Угол между прямыми

Если каждая из двух прямых задана двумя точками, то можно определить направляющие векторы этих прямых и косинус угла между прямыми.

Если cos φ = 1, то угол φ между прямыми равен 0 0 , можно принять для этих прямых один из направляющих векторов этих прямых, прямые параллельны или совпадают. Если прямые не совпадают, то они параллельны. Если прямые совпадают, то любая точка одной прямой принадлежит другой прямой.

Если скалярное произведение направляющих ненулевых векторов прямых = ( x ₁; y ₁; z ₁) и = ( x ₂; y ₂; z ₂) равно нулю

и, следовательно, cos φ = 0, то угол φ между прямыми 90 0 (прямые перпендикулярны), прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Если 0 ≤ cos φ 0 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Задача. Определить угол между прямыми M ₁ M ₃ и M ₂ M ₃ с координатами точек M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1).

Построим заданные точки и прямые в системе координат Oxyz .

Направляющие векторы прямых направим так, чтобы угол θ между векторами был меньше 90 0

тогда он будет совпадать с углом φ между заданными прямыми. Изобразим векторы = и = , а также углы θ и φ:

Определим координаты направляющих векторов и

= = (1 — 0; 0 — 0; 0 — 1) = (1; 0; -1);

= = (0 — 0; 1 — 0; 0 — 1) = (0; 1; -1).

Косинус угла между прямыми равен косинусу угла между векторами

cos φ = cos θ =

Следовательно, углы равны

Ответ: угол между прямыми φ = 60 0 .

27 Нормальный вектор прямой

Нормальный вектор прямой — это вектор перпендикулярный прямой.

28 Нормальный вектор плоскости

Нормальный вектор плоскости — это вектор перпендикулярный плоскости.

29 Общее уравнение плоскости

Общее (нормальное) уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

где a , b , c — координаты нормального (перпендикулярного к плоскости) ненулевого вектора плоскости ( a ; b ; c ) (вектор ненулевой, поэтому его координаты одновременно не равны нулю и его длина в квадрате не равна нулю | | 2 = a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0).

Особые положения плоскости:

— плоскость проходит через начало координат при d = 0 и уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz = 0, поэтому желательно задавать систему координат так, чтобы плоскость проходила через начало координат для упрощения уравнения плоскости;

— плоскость параллельна той оси координат, обозначение которой отсутствует в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю, например, при c = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by + d = 0. В этом случае на положение плоскости не влияет координата z ;

— плоскость содержит ту ось координат, обозначение которой отсутствует, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю и d = 0, например, при c = d = 0 плоскость содержит ось Oz, но не содержит z и d в уравнении ax + by = 0;

— плоскость параллельна координатной плоскости, обозначения которой отсутствуют в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующие коэффициенты равны нулю, например, при b = c = 0 плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и не содержит y , z в уравнении ax + d = 0.

— если плоскость совпадает с координатной плоскостью, то уравнение такой плоскости представляет из себя равенство нулю обозначения координатной оси, перпендикулярной данной координатной плоскости, например, при x = 0 заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Желательно задавать систему координат так, чтобы плоскость была параллельна или совпадала с как можно большим числом осей координат для значительного упрощения уравнения плоскости.

Задача. Нормальный вектор задан уравнением

Представить уравнение плоскости в нормальной форме.

Координаты нормального вектора

= ( a ; b ; c ) = (1+ s +3 t ; 2+2 s — t ; -1+6 s + t )

Уравнение плоскости в нормальной форме, проходящей через начало координат

(1+ s +3 t ) x + (2+2 s — t ) y + (-1+6 s + t ) z = 0.

30 Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Если дана точка M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀), через которую проходит плоскость перпендикулярно не нулевому вектору ( a ; b ; c ), то можно подставить координаты точки M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) и координаты a , b , c нормального вектора в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0 (1)

Получаем уравнение с одной неизвестной d

Уравнение плоскости (1) после подстановки d

ax + by + cz — ( ax ₀ + by ₀ + cz ₀) = 0

ax + by + cz — ax ₀ — by ₀ — cz ₀ = 0

сгруппирует относительно коэффициентов a, b и c

ax — ax ₀ + by — by ₀ + cz — cz ₀ = 0

Вынесем за скобки коэффициенты a, b и c. Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно не нулевому вектору ( a ; b ; c )

a ( x — x ₀) + b ( y — y ₀) + c ( z — z ₀) = 0

Это уравнение можно получить, если для заданной точки M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) выбрать произвольную точку M ( x ; y ; z ) на плоскости и найти скалярное произведение вектора = (x — x ₀ ; y — y ₀ ; z – z ₀ ) с перпендикулярным к плоскости вектор ом (a; b; c), которое должно быть равно нулю

a ( x — x ₀ ) + b ( y — y ₀ ) + c ( z — z ₀ ) = 0.

Если теперь раскроем скобки

ax — ax ₀ + by — by ₀ + cz — cz ₀ = 0

ax + by + cz — ax ₀ — by ₀ — cz ₀ = 0

То получим общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0.

31 Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, заданной двумя точками

Заданные точки M ₁( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂( x ₂; y ₂; z ₂) образуют нормальный вектор искомой плоскости, определим координаты вектора . К аждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (x ₂ — x ₁ ; y ₂ — y ₁ ; z ₂ – z ₁ ) = ( a, b, c)

Подставляем координаты нормального вектора в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0

и получаем уравнение искомой плоскости, в котором d может быть любым

Плоскостей, перпендикулярных заданному вектору может быть бесконечное множество. Если задать координаты какой-то точки на этой плоскости и подставить эти координаты вместо x, y, z в найденное уравнение плоскости выше, то можно будет определить d

и единственное уравнение этой плоскости.

32 Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку

Если заданы точки M ₁( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂( x ₂; y ₂; z ₂), то уравнение плоскости, перпендикулярной вектору

Эта плоскость проходит через середину отрезка, образованного заданными точками. Координаты середины отрезка M ₁ M ₂

, ,

Подставим координаты x, y, z

Подставим и п олучим уравнение плоскости, лежащей на одинаковом расстоянии от двух точек

( x ₁ — x ₂ ) x + ( y ₁ — y ₂ ) y + ( z ₁ — z ₂ ) z =0

Можно за нормальный принять и другое направление вектора

= (x ₂ — x ₁ ; y ₂ — y ₁ ; z ₂ – z ₁ ) = ( a, b, c);

ax + by + cz + d = 0.

33 Определение координаты точки, лежащей на плоскости, расположенной на одинаковом расстоянии от двух точек

Точка, лежащая на одинаковом кратчайшем расстоянии от двух точек M ₁( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂( x ₂; y ₂; z ₂) располагается в центре отрезка M ₁ M ₂, поэтому к оординаты такой точки О равны половинам соответствующих координат концов отрезка

Искомая произвольная точка в любом случае лежит в плоскости, перпендикулярной вектору, образованному заданными точками и проходит через середину вектора .

Уравнение этой плоскости определили выше

( x ₁ — x ₂ ) x + ( y ₁ — y ₂ ) y + ( z ₁ — z ₂ ) z =0.

Нормальный вектор этой плоскости

= ( a, b, c);

Получили уравнение плоскости, лежащей на одинаковом расстоянии от двух точек

ax + by + cz + d = 0

Если искомая точка лежит на оси x, то y = 0 и z = 0 и уравнение плоскости значительно упрощается

Отсюда координата x

Координаты искомой точки

Если искомая точка лежит на оси y, то x = 0 и z = 0 и уравнение плоскости также значительно упрощается

Отсюда координата y

Координаты точки О (0; y; 0).

Если искомая точка лежит на оси z, то x = 0 и y = 0 и уравнение плоскости также значительно упрощается

Отсюда координата z

Координаты точки О (0; 0; z).

Систему координат желательно задавать так, чтобы искомая точка лежала на одной из осей координат.

34 Уравнение плоскости, проходящей через две точки и начало координат

Определим коэффициенты общего уравнения плоскости

ax + by + cz + d = 0.

Систему координат желательно задать так, чтобы плоскость проходила через начало этой системы координат. Точки M ₁ ( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂ ( x ₂; y ₂; z ₂), лежащие в этой плоскости, необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

Плоскость будет проходить через начало координат, поэтому d = 0. Тогда общее уравнение плоскости принимает вид

Неизвестно 3 коэффициента a , b , c . Подстановка координат двух точек M ₁ ( x ₁; y ₁; z ₁) и M ₂ ( x ₂; y ₂; z ₂) в общее уравнение плоскости дает систему 2-х уравнений:

Система 2-уравнений позволяет определить лишь 2-е неизвестные величины. Требуются особые приемы для решения данной системы уравнений.

Если принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, например, a = 1, тогда полученная система 2-х уравнений

позволит определить оставшиеся 2 неизвестные коэффициенты b и c .

Если одна из координат точки нулевая, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий этой координате. Если у какой-то точки две координаты нулевые, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий одной из этих нулевых координат.

Если принимается a = 1, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента b и c :

Коэффициенты, являющиеся заданными координатами точек, ставятся впереди неизвестных b и c, а свободные от неизвестных члены, содержащие лишь заданные координаты, переносятся в правую часть уравнений

Систему этих уравнений проще решить методом исключений (метод Гаусса в высшей школе), помножив какое-то уравнение на такое число, чтобы коэффициенты при какой-то неизвестной стали равны. Тогда разность уравнений позволит исключить эту неизвестную и определить другую неизвестную. Подстановка найденной неизвестной в любое уравнение позволит определить и вторую неизвестную.

35 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определим коэффициенты общего уравнения плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M ₁ ( x ₁; y ₁; z ₁), M ₂ ( x ₂; y ₂; z ₂) и M ₃ ( x ₃; y ₃; z ₃). У точек не должно быть двух одинаковых координат.

Неизвестно 4 коэффициента a , b , c и d . Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений. Принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента. Обычно принимается a = 1, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента b , c и d :

Систему уравнений лучше решать методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Можно переставлять уравнения в системе. Любое уравнение можно умножить или поделить на любой коэффициент не равный нулю. Любые два уравнения можно сложить и результирующее уравнение записать вместо любого из этих двух складываемых уравнений. Из уравнений исключаются неизвестные, получением нулевого коэффициента перед ними. В одном уравнении, обычно самом нижнем оставляется одна переменная, которая легко определяется. Найденная переменная подставляется во второе уравнение снизу, в котором обычно оставляется 2 неизвестные. Уравнения решаются снизу вверх и определяются все неизвестные коэффициенты.

Коэффициенты ставятся впереди неизвестных, а свободные от неизвестных члены переносятся в правую часть уравнений

В верхнюю строку обычно ставится уравнение, имеющее коэффициент 1 перед первой или любой неизвестной, или все первое уравнение делится на коэффициент перед первой неизвестной. В данной системе уравнений разделим первое уравнение на y ₁

Перед первой неизвестной получили коэффициент 1:

Для обнуления коэффициента перед первой переменной второго уравнения помножим первое уравнение на — y ₂, сложим его со вторым уравнением и полученное уравнение запишем вместо второго уравнения. Первая неизвестная во втором уравнении будет исключена, потому что

Аналогично исключаем первую неизвестную в третьем уравнении, помножив первое уравнение на — y ₃, сложив его с третьим уравнением и полученное уравнение записав вместо третьего уравнения. Первая неизвестная в третьем уравнении будет также исключена, потому что

Аналогично исключаем вторую неизвестную в третьем уравнении. Решаем систему снизу вверх.

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M ₁ (0; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1).

Построим заданные точки в системе координат xyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 0; 0), изобразим его в системе координат

Общее уравнение плоскости

x + 0· y + 0· z + 0 = 0

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1).

Построим заданные точки M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1) в системе координат Oxyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

; ;

Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 1; 1), в изображенной ранее системе координат он будет изображен точкой, поэтому покажем проекции нормального вектора на плоскости xOy , yOz , xOz .

Общее уравнение плоскости

36 Угол между прямой и плоскостью

Угол φ (см. рисунок) между прямой α и плоскостью β равен углу между направляющим вектором прямой и проекцией α’ прямой α на плоскость β. Проекция прямой α’ на плоскость β лежит в плоскости β, поэтому перпендикулярна вектору , нормальному к плоскости β.

Угол θ (тэта) между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости:

Отсюда угол между прямой и плоскостью

sin φ = sin (90 0 — θ),

но по формуле приведения

sin (90 0 — θ) = cos θ.

Если угол между векторами θ = 90 0 + φ (см. рисунок ниже), тогда угол между прямой и плоскостью равен

φ = θ — 90 0 = -(90 0 — θ).

sin φ = sin (-(90 0 — θ )) = -sin(90 0 — θ ) = -cos θ .

φ ≤ 90 0 , а 0 ≤ θ ≤ 180 0 , поэтому синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости

Если заданы координаты ненулевых векторов = ( x ₁; y ₁; z ₁) и = ( x ₂; y ₂; z ₂), то косинус угла θ между ними

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой = ( x ₁; y ₁; z ₁) и нормальным вектором = ( x ₂; y ₂; z ₂) плоскости x ₂ x + y ₂ y + z ₂ z + d = 0

sin φ = | cos θ| =

Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. Прямая и плоскость — это разные геометрические объекты, поэтому в формуле присутствуют и разные тригонометрические функции.

Синус угла между прямой и плоскостью

sin φ =

Угол между прямой и плоскостью

Если s in φ = 1, то угол φ между прям ой и плоскостью равен 9 0 0 , Прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Если скалярное произведение направляющ его ненулевого вектора прямой = ( x ₁; y ₁; z ₁) и ненулевого нормального вектора плоскости = ( x ₂; y ₂; z ₂) равно нулю

и, следовательно, s in φ = 0, то угол φ между прямой и плоскостью равен 0 0 , прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то прямая лежит в плоскости.

Если 0 s in φ ≤ 1, то угол между прямой и плоскостью 0 0 0 , прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Задача. Определить угол между плоскостью, проходящей через точки M ₁ (0; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1), и прямой, проходящей через точки M ₄ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0).

Построим заданные точки, плоскость в виде треугольника, лежащего в ней, прямую в системе координат Oxyz .

Координаты x всех точек плоскости равны 0, поэтому п римем a =1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0

дает систему 3-х уравнений, позволяющую найти 3 неизвестных коэффициента b, c, d

Координаты нормального ненулевого вектора плоскости (1; 0; 0), изобразим его в системе координат

Общее уравнение плоскости

x + 0· y + 0· z + 0 = 0

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M ₄(1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) обозначим . Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (x ₂ — x ₄ ; y ₂ — y ₄ ; z ₂ – z ₄ )

= (0 — 1; 1 — 0; 0 — 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M ₄, с концом в точке M ₂ и равный ему вектор из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

Если ненулевые векторы и , то косинус угла θ между ними

Синус угла между прямой и плоскостью

sin φ = | cos θ| =

Подставляем координаты направляющего вектора прямой = <-1; 1; 0>и координаты нормального вектора плоскости = <1; 0; 0>.

sin φ =

Изобразим угол между прямой и плоскостью, равный углу между направляющим вектором прямой и проекцией этого вектора на координатную ось Oy .

Ответ: угол между прямой и плоскостью φ = 45 0 .

Задача. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите угол между прямой BC ₁ и плоскостью BCD ₁.

37 Угол между двумя плоскостями

Две плоскости могут быть параллельны или пересекаться по прямой.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между двумя пересекающимися прямыми, проведенными перпендикулярно линии пересечения плоскостей.

Поэтому угол между плоскостями 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Если заданы две плоскости

то соответствующие нормальные векторы этих плоскостей ₁ ( a ₁; b ₁; c ₁) и ₂ ( a ₂; b ₂; c ₂). Косинус угла θ между нормальными векторами плоскостей

Если угол φ между плоскостями α и β равен углу θ между нормальными векторами этих плоскостей φ = θ, то

Если угол между плоскостями φ = 180 0 — θ, то

cos φ = cos (180 0 — θ ) = — cos θ .

Косинус угла между плоскостями

равен модулю косинуса угла между нормальными векторами ₁ ( a ₁; b ₁; c ₁) и ₂ ( a ₂; b ₂; c ₂) этих плоскостей

cos φ = | cos θ| =

или можно записать так

Для лучшего запоминания сформулируем следующее правило. П лоскости являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.

Косинус угла между плоскостями

cos φ =

Угол между п лоскостями

Если cos φ = 1, то угол φ между плоскостями равен 0 0 , можно принять для этих плоскостей один из нормальных векторов этих плоскостей, плоскости параллельны или совпадают. Если плоскости не совпадают, то они параллельны. Если плоскости совпадают, то любая точка одной плоскости принадлежит другой плоскости.

Если скалярное произведение нормальных ненулевых векторов ₁ ( a ₁; b ₁; c ₁) и ₂ ( a ₂; b ₂; c ₂) плоскостей равно нулю

и, следовательно, cos φ = 0, то угол φ между плоскостями 90 0 (плоскости перпендикулярны), плоскости пересекаются по прямой.

Если 0 ≤ cos φ 0 0 , плоскости пересекаются по прямой.

37.1 Алгоритм нахождения угла между двумя плоскостями

1. Задать систему координат с началом на линии пересечения плоскостей. Плоскости проходят через начало координат, поэтому d = 0.

2. В системе координат построить не менее двух точек, задающих каждую плоскость, между которыми требуется определить угол. Эти две точки необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

3. Определить координаты заданных двух точек для каждой плоскости.

4. Задать один коэффициент уравнения плоскости равным 1, обычно принимается a = 1. Если какая-то координата равна 0, то принять за 1 необходимо коэффициент, соответствующий этой координате.

5. Составить систему двух уравнений для каждой из 2-х плоскостей. В каждой системе уравнений каждое уравнение соответствует каждой из 2-х точек на плоскости.

6. Решить системы уравнений и составить уравнения двух плоскостей, из которых определяются координаты двух нормальных векторов.

7. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормальными векторами этих плоскостей

cos φ = | cos θ| =

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ заданы ребра: AB = 16, AD = 14, СС₁ = 24. Найти угол между плоскостями ABC и A ₁ DB .

38 Углы между векторами, прямыми и плоскостями

Косинус угла θ между двумя ненулевыми векторами = ( x ₁; y ₁; z ₁) и = ( x ₂; y ₂; z ₂)

cos θ =

Косинус угла φ между двумя прямыми или двумя плоскостями

cos φ =

где θ — угол между направляющими векторами прямых или нормальными векторами плоскостей.

Угол φ между двумя прямыми или двумя плоскостями

φ = arccos

Синус угла φ между прямой и плоскостью

sin φ =

где θ — угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Угол φ между прямой и плоскостью

φ = arc s in

39 Расстояние от точки до плоскости

Если известны координаты точки M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) и уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0, то есть a, b и c одновременно не равны нулю ), то расстояние от данной точки до плоскости определяется следующим образом.

Проекцией точки M ₀ на плоскость является точка M ₁ ( x ₁; y ₁; z ₁), поэтому вектор перпендикулярен плоскости и коллинеарен нормальному вектору плоскости ( a ; b ; c ). Следовательно,

= k .

Так как координаты нормального вектора плоскости (a; b; c), то координаты коллинеарного вектора k ( k a; k b; k c).

Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора = ( x ₁ — x ₀; y ₁ — y ₀; z ₁ — z ₀), поэтому

= (x ₁ — x ₀ ; y ₁ — y ₀ ; z ₁ – z ₀ ) = k = ( k a; k b; k c);

Расстояние между точкой M ₀ и плоскостью равно длине вектора , которая равна

| | = |k|| |

Длина нормального вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат

| |= | k |

Подстановка координат точки M ₁ ( x ₁; y ₁; z ₁) в уравнение плоскости дает равенство

Подставляем полученные ранее значения x ₁, y ₁, z ₁

a(ka + x ₀ ) + b(kb + y ₀ ) + c(kc + z ₀ ) + d = 0

Путем преобразований выразим k. Раскроем скобки

ka 2 + ax ₀ + kb 2 + by ₀ + kc 2 + cz ₀ + d = 0,

ka 2 + kb 2 + kc 2 + ax ₀ + by ₀ + cz ₀ + d = 0.

Вынесем k за скобку и перенесем члены, не содержащие k в правую часть равенства

k(a 2 + b 2 + c 2 ) = -(ax ₀ + by ₀ + cz ₀ + d).

| |=

Расстояние от точки M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) до плоскости, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0)

ℓ =

Расстояние между точкой и плоскостью равно модулю суммы произведений соответствующих координат нормального вектора и точки плюс d , деленного на длину (модуль) нормального вектора плоскости.

Другими словами р асстояние между точкой и плоскостью равно модулю левой части уравнения плоскости, в которую подставили координаты точки, деленного на длину (модуль) нормального вектора плоскости.

Желательно выбрать систему координат так, чтобы искомая плоскость проходила через начало координат, а так же, чтобы заданная точка M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) находилась на одной из осей координат. Тогда решаемая задача значительно упрощается за счет того, что d и две координаты точки нулевые. Уравнение расстояния от точки до плоскости значительно упрощается

ℓ =

в этом уравнении два члена в числителе обнулятся и останется один член.

Если заданная точка M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ; z ₀ ) совпадает с ось Ox, то координаты y, z точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния, содержащее лишь координату x точки

ℓ =

Таким образом, е сли точка совпадает с ось Ox, то в уравнении присутствует лишь координата x точки.

Если заданная точка M ₀ совпадает с ось O y , то координаты x , z точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния

ℓ =

Таким образом, е сли точка совпадает с ось O y , то испо ль з уется лишь координата y точки.

Если заданная точка M ₀ совпадает с ось O z , то координаты x , y точки равны нулю и получаем простейшее уравнение искомого расстояния

ℓ =

Таким образом, е сли точка совпадает с ось O z , то испо ль з уется лишь координата z точки.

Задача. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 1. Найти расстояние между плоскостью SAD и серединой ребра AB.

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точки M ₀ (10; -3; -7).

Построим заданные точки M ₁ (1; 0; 0), M ₂ (0; 1; 0) и M ₃ (0; 0; 1) в системе координат Oxyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

; ;

Общее уравнение плоскости

Расстояние от точки M ₀ до плоскости

ℓ =

40 Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Плоскости параллельны, поэтому у них коллинеарные или равные нормальные векторы. Для параллельных плоскостей можно записать уравнения с равными коэффициентами a, b, c, одновременно не равны ми нулю ( a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) и являющимися координатами нормального вектора одной из параллельных плоскостей

ax + by + cz + d ₁ = 0;

ax + by + cz + d ₂ = 0.

Достаточно определить расстояние от точки M ₀ ( x ₀; y ₀; z ₀) в какой-то плоскости до другой плоскости, заданной уравнением

ax + by + cz + d = 0

по ранее выведенной формуле

ℓ =

Если в условии задачи сказано, что плоскости параллельны, и требуется определить расстояние между этими плоскостями, то необходимо определить нормальный вектор (уравнение) одной из плоскостей, а также координаты точки в другой плоскости. Желательно для значительного упрощения задачи так задать систему координат, чтобы максимальное количество геометрических объектов совпадало с началом координат и осями координат.

Векторы на плоскости и в пространстве веб-страницы: 1 2 3

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-prjamoj-online.php

http://super-code.ru/vektor-2/vektor-2.html