Угол между прямыми
Определение угла между прямыми
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Соответственно легко найти угол между прямыми
tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b
то вектор направляющей имеет вид
Если уравнение прямой задано как
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .
Если дано каноническое уравнение прямой
то вектор направляющей имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано как
то вектор нормали имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то вектор нормали имеет вид
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
sin φ = | a · b | | a | · | b |
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор <1; 2>, для второй прямой направляющий вектор
cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )
x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18
Угол между прямыми в пространстве
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если дано каноническое уравнение прямой
то направляющий вектор имеет вид
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b z = n t + c
то направляющий вектор имеет вид
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то <2; 1; -1>— направляющий вектор первой прямой, <1; -2; 0>направляющий вектор второй прямой.
cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор <3; 4; 5>.
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3
3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3
<-2; - 1 3 ; 2 3 >— направляющий вектор второй прямой.
cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач
Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.
Угол наклона прямой к оси О х , расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.
Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π ) .
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120 ° .
Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = — 3 .
Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π — a r c t g k .
Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .
Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Ответ: α = a r c t g 3 .
Найти угол наклона прямой к оси О х , если угловой коэффициент = — 1 3 .
Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х . Отсюда k = — 1 3 0 , тогда необходимо применить формулу α = π — a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π — a r c t g — 1 3 = π — a r c t g 1 3 = π — π 6 = 5 π 6 .
Ответ: 5 π 6 .
Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у .
Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М , M 1 ( x 1 , y 1 ) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.
Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x — 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 ( 3 , 0 ) и M 2 ( 2 , — 2 ) заданной прямой.
Необходимо подставить координаты точки M 1 ( 3 , 0 ) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 — 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.
Если подставим координаты точки M 2 ( 2 , — 2 ) , тогда получим неверное равенство вида — 2 = 1 3 · 2 — 1 ⇔ — 2 = — 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.
Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.
Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 ( 0 , b ) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х , где k = t g α .
Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x — 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , — 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х . Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .
Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y — y 1 = k · ( x — x 1 ) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 ) .
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами ( 4 , — 1 ) , с угловым коэффициентом равным — 2 .
Решение
По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = — 1 , k = — 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — ( — 1 ) = — 2 · ( x — 4 ) ⇔ y = — 2 x + 7 .
Ответ: y = — 2 x + 7 .
Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами ( 3 , 5 ) , параллельную прямой y = 2 x — 2 .
По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x — 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:
y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — 5 = 2 · ( x — 3 ) ⇔ y = 2 x — 1
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.
Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x — x 1 a x = y — y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y — b = k · x ⇔ k · x k = y — b k ⇔ x 1 = y — b k .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = — 3 x + 12 к каноническому виду.
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
y = — 3 x + 12 ⇔ — 3 x = y — 12 ⇔ — 3 x — 3 = y — 12 — 3 ⇔ x 1 = y — 12 — 3
Ответ: x 1 = y — 12 — 3 .
Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x — y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.
Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x — 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = ( — 1 , 7 ) нормальным вектором прямой?
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
y = 1 7 x — 2 ⇔ 1 7 x — y — 2 = 0
Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , — 1 , отсюда 1 7 x — y — 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = ( — 1 , 7 ) коллинеарен вектору n → = 1 7 , — 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = — 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = — 1 , 7 — нормальный вектор прямой 1 7 x — y — 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x — 2 .
Решим задачу обратную данной.
Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ — A B · x — C B .
Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется — A B .
Задано уравнение прямой вида 2 3 x — 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
2 3 x — 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .
Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x — x 1 a x = y — y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 — x a ⇔ y = — b a · x + b .
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x — a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x — a y a x · x 1 + y 1
Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y — 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.
Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на — 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:
y — 3 = 1 — x 2 ⇔ — 3 · y — 3 = — 3 · 1 — x 2 ⇔ y = 3 2 x — 3 .
Ответ: y = 3 2 x — 3 .
Уравнение прямой вида x — 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.
Необходимо выражение x — 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:
5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) ⇔ 5 x — 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x — 12 ⇔ y = 5 2 x
Ответ: y = 5 2 x — 6 .
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = — 1 + 2 · λ .
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
x = λ y = — 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · ( y + 1 ) ⇔ y = 2 x — 1
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .
Направляющий вектор прямой
Вы будете перенаправлены на Автор24
Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный прямой, которую он определяет или совпадающий с ней.
Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $\overline$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $\overline$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $\overline$.
Вектор $\overline
$\overline
Вектор $\overline$ и связан с ним соотношением $\overline\left(2\right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.
Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L
Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:
$\overline \left(3\right)$
Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.
Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:
- Общее уравнение прямой;
- Уравнение с угловым коэффициентом;
- Через параметрические уравнения;
- Каноническое уравнение;
- С помощью двух точек, через которые проходит прямая.
Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.
Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки
Готовые работы на аналогичную тему
Каноническое уравнение прямой выглядит так:
Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:
$\frac
В этом случае координаты направляющего вектора $\overline$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.
Даны две точки $(5; 10)$ и $(2;1)$. Составьте уравнение прямой и выпишите координаты направляющего вектора.
Подставим координаты данных точек в уравнение $(5)$ и получим:
Ответ: координаты направляющего вектора $\overline$ равны $(3;9)$.
Направляющий вектор из параметрических уравнений
Параметрические уравнения имеют следующий вид: $\begin
Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $\overline=(l; m)$.
Координаты направляющего вектора из общего уравнения
Общее уравнение имеет следующий вид:
$Ax + By + C = 0\left(6\right)$
Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.
Сделаем это в общей форме.
Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:
Теперь разделим всё на $A$:
А после этого всё уравнение разделим на $B$:
Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $\overline$ будут равны $(B; -A)$.
Дано общее уравнение прямой $6x-7y + 5 = 0$. Получите направляющий вектор для данной прямой.
Воспользуемся уравнением прямой $(7)$. Из этого уравнения получается, что координаты направляющего вектора равны $(6;7)$.
Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом
Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:
Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:
Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.
Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:
то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $\overline= (1;k)$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-s-uglovym-koeffitsientom/
http://spravochnick.ru/matematika/napravlyayuschiy_vektor_pryamoy/