Уравнение вида ax b 0

Уравнение вида ax b 0

Уравнение вида , где − переменная, − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой .

Если , то решением уравнения является любое число.

Если и , то уравнение корней не имеет.

Если , то уравнение называется линейным и имеет ровно одно решение

Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо этого числа получается верное числовое равенство.

Решите уравнение 0 ∙ + 1 = 0.

Имеем:

Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство не имеет место.

Ответ. Нет решений.

Решите уравнение 0 ∙ + 1 = 1.

Имеем

Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство является верным.

Как решить линейное уравнение? Уравнение прямой? Что такое линейные уравнения?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Линейное уравнение — это уравнение вида ax+b=0 ,
где a и b некоторые числа,
x – переменная стоящая в числителе, находящаяся в первой степени.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Что является решением уравнения?
Решением уравнения является нахождение всех его корней или доказательство их отсутствия.

Примеры линейных уравнений:
3x+5=0
x+1=5
2x=0
7x=7
3x+1=x

x^2+4x+4=0(полное квадратное уравнение оно решается по дискриминанту. Как решаются такие уравнение можно узнать здесь.)
1/x+2=0(уравнение гиперболы)
√(x-1)=1(иррациональное уравнение)

Чем отличаются линейные уравнения от не линейных?

У линейных уравнений x всегда находится в первой степени в числители. Если одно из условий не выполняется то уравнение нелинейное.

Как решаются линейные уравнения?

Все что связано с переменной x переносим в одну сторону, а обычные числа в другую. Это называется: “Неизвестные в одну сторону известные в другую”. В итоге корень уравнения будет равен x=-b/a. Рассмотрим на примере:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1 (получили корень уравнения)

2x+2=0 (здесь неизвестное это 2x его мы оставляем в левой стороне, а 2 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак с + меняется на -)
2x=-2 | : 2 (далее нам нужно получить просто x без коэффициента 2, поэтому мы все уравнение делим на 2, получим 2x:2=-2:2 )
x=-1

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-1)+2=0
-2+2=0
0=0
Решено верно

2x-6=4x (здесь неизвестное это 2x и 4x. 4х нужно перенести в левую часть уравнения, а -6 переносим через равно в правую сторону, при переносе через равно знак у -6 меняется с – на +, а у 4х знак меняется с + на -)
2x-4x=6 (при вычитании 2x-4x=-2x)
-2x=6 | : (-2) (далее нам нужно получить просто x без коэффициента -2, поэтому мы все уравнение делим на -2, получим -2x:(-2)=6:(-2) )
x= -3

Сделаем проверку уравнения подставим вместо переменной x полученный корень:
2*(-3)-6=4*(-3)
-6-6=-12
-12=-12
Решено верно

Уравнение вида ax b 0

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

ax + b = 0,(1)

где a,b О R, x — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

a) 2x + 6 = 0,где a = 2, b = 6;
b) x — 2 = 0где a = 1, b = -2;
c) 0·x + 0 = 0,где a = b = 0;
d) 0·x + 1 /3 = 0,где a = 0, b = 1 /3;
e) — 1 /2x = 0,где a = — 1 /2; b = 0.

Уравнение (1) равносильно уравнению ax = —b откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

  1. Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = — b /a;
  2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;
  3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = — 6 /2, то есть x = -3;
b) x = 2;
c) любое действительное число является решением данного уравнения;
d) уравнение не имеет решений;
e) x = 0.

Замечание 2. Уравнение (ax + b)(cx + d) = 0 где a, b, c, d О R, сводится к совокупности линейных уравнений

ax + b = 0,
cx + d = 0.

Пример 1. Решить уравнения

a) ,c) —x + 2 = 2 — x,
b) 2x + 1 = 2x + 3,d) (2x + 4)(3x — 1) = 0.

Решение. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 Ы 2x — 2x = 3 — 1 Ы 0·x = 2 откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) —x + 2 = 2 — x Ы —x + x = 2 — 2 Ы 0·x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x — 1) = 0 Ы
2x + 4 = 0,
3x — 1 = 0,
Ы
x1 = -2,
x2 = 1 /3.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;e)
b) a 2 x — 1 = x + a;f)
c) ax + b = cx + d;g)
d) ;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = 1 /a;

при a = 0 уравнение примет вид 0·x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a О R\<0>, то x = 1 /a; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим: a 2 x — 1 = x + a Ы a 2 x — x = a + 1 Ы x(a 2 — 1) = a + 1.

откуда, применяя утверждение 1, получим:

  1. если a 2 -1 ≠ 0, то есть a ≠ ± 1, то или
  2. если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
  3. если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом (a — c)x = d — b, откуда следует:

  1. если a — c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение
  2. если a = c и d — b ≠ 0, то уравнение примет вид 0·x = d — b ( ≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;
  3. если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

Ы
x-2a = 0,
x ≠ 4
Ы
x = 2a,
x ≠ 4.

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

  • если a ≠ -1, a ≠ 2, — a /2 ≠ -1, — a /2 ≠ 2, то есть a О R\<-1;2;-4>, то уравнение имеет два решения x1 = a и x2 = — a /2 (если a = 0, решения совпадают);
  • если a = -1, то уравнение имеет единственное решение x = 1 /2;
  • если a = 2, то уравнение не имеет решений;
  • если a = -4, то уравнение имеет единственное решение x = -4.

    • f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a·b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему x(b + a) = abc откуда следует:

    1. если b + a ≠ 0, то есть a ≠ —b, то уравнение имеет единственное решение
    2. если a = —b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
    3. если a = —b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

    g) ОДЗ уравнения определяется из системы

    5x —a ≠ 0,
    ax — 1 ≠ 0,

    откуда x ≠ a /5 и, если a ≠ 0, x ≠ 1 /a. Если a = 0, то уравнение примет вид или -2 = 15x,

    откуда , и, поскольку следует, что если a = 0 то уравнение имеет решение .

    Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид 2(ax — 1) = 3(5x — a), откуда (2a — 15)x = 2 — 3a и, следовательно,

    1. если 2a — 15 ≠ 0, то есть то получим ;
    2. если 2a-15 = 0, то есть то уравнение не имеет решений.

    Таким образом для нужно проверить условие x ≠ a /5 и x ≠ 1 /a: или (2a — 15)a ≠ 5(2 — 3a) откуда 2a 2 ≠ 10, или Таким образом, для уравнение не имеет решений.

    В случае второго ограничения получим или a(2 — 3a) ≠ (2a — 15), откуда 3a 2 = 15, то есть a 2 ≠ 5 (уже исследованный случай).

    Таким образом, если уравнение не имеет решений, а если то уравнение имеет единственное решение (заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

    Пример 3. Решить уравнения

    a) |x — a| = 2;c) |x — a| + |x — 2a| = a;
    b) |x| + |x — a| = 0;d) |x — 1| + |x — 2| = a.

    Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

    |x — a| = 2 Ы
    x — a = 2,
    x — a = -2,
    		Ы
    x = a + 2,
    x = a — 2.

    Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x1 = a + 2 и x2 = a — 2.

    b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

    x = 0,
    x — a = 0,
    		или
    x = 0,
    x = a.

    Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

    c) Так как | f(x)| = |-f(x)| уравнение можно переписать следующим образом |x — a| + |2a — x| = a.

    Очевидно, что если a 0. Тогда a = |a| = |(2a — x) + (x — a)|, и уравнение примет вид |x — a| + |2a — x| = |(2a — x) + (x — a)|. Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству (2a — x)(x — a) ≥ 0 откуда, учитывая, что 0 О [a;2a].

    если a 0, то уравнение имеет бесконечное число решений — любое число a ≤ x ≤ 2a.

    d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

    1. Пусть x —x + 1 — x + 2 = a или -2x = a — 3 откуда . Поскольку xоткуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то ;
    2. Пусть x О [1;2]. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = -(x-2) и уравнение примет вид x — 1 — x + 2 = a, 0·x = a — 1. Используя утверждение 1, получим:

    если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения;

    если a ≠ 1, то решений нет.
    Пусть x > 2. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = x — 2 и уравнение примет вид x — 1 + x — 2 = a откуда Поскольку x > 2, то то есть a > 1.

    если a > 1, то уравнение имеет два различных решения и

    если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения;

    если a Линейные неравенства

    ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b О R, x — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

    Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

    1. a > 0, тогда ax + b > 0 Ы ax > —b Ы x > — b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (- b /a;+ Ґ );
    2. aax + b > 0 Ы ax > —b Ы x b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a Ґ ;- b /a);
    3. a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1. Решить неравенства

    a) 3x + 6 > 0;c) 2(x + 1) + x

    Решение. a) 3x + 6 > 0 Ы 3x > -6 Ы x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ Ґ ).

    b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 Ы x ≤ 3 /2, то есть множеством решений исходного неравенства является (- Ґ ; 3 /2].

    c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство 2(x + 1) + x Ы 2x + 2 + x Ы 0·x + 1 Так как 1 3x + 2 ≥ 3(x — 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x — 3 + 1 Ы 0·x + 4 ≥ 0, откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

    Пример 2. Решить неравенства

    a) ax ≤ 1;
    b) |x — 2| > -(a — 1) 2 ;
    c) 3(4a — x) ax + 3;
    e)
    f) ax + b > cx + d;
    g)

    Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

    1. если a > 0, то x ≤ 1 /a;
    2. если a 1 /a;
    3. если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

    Таким образом, если a > 0, то x О (- Ґ ; 1 /a], если a О [ 1 /a;+ Ґ ), и если a = 0, то x О R.

    b) Заметим, что |x — 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1) 2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a = 1, то x О R\<2>, а если a О R\<1>, то x О R.

    c) После элементарных преобразований получим 3(4a — x) Ы 12a — 3x Ы 12a — 3 Ы x(2a + 3) > 3(4a — 1).

    Далее рассмотрим три случая:

    1. если 2a + 3 > 0, то есть a > — 3 /2, то
    2. если 2a + 3 3 /2, то
    3. если 2a + 3 = 0, то есть a = — 3 /2, то неравенство примет вид 0·x > -21 и, так как 0 > -21 — истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

    если то

    если то

    Далее рассмотрим следующие случаи:

    1. если a(b — 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a
    2. если a(b — 1) 0 и b 1, то
    3. если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид 0·x > 3 — b и для b > 3 любое число является решением, а если b О (- Ґ ;1) И (1;3], то множество решений неравенства пусто.
    4. если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид 0·x > 2 и, очевидно, что оно решений не имеет.

    если a > 0 и b > 1, или a 0 и b 1, то

    если a = 0 и b О (3;+ Ґ ), то x О R;

    если a = 0 и b О (- Ґ ;1) И (1;3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений.

    e) Заметим, что a ≠ ± 1, (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом

    Далее рассмотрим следующие случаи:

    1. пусть a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), тогда (a — 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему x(2 — 3a) + 3 — a ≤ 0, или x(2 — 3a) ≤ a — 3, откуда для a > 1

    Последнее неравенство решается следующим образом:

    если a О (-1; 2 /3), то

    если a О ( 2 /3,1), то .

    Таким образом, исходное неравенство

    при a О (- Ґ ;-1) И ( 2 /3;1) имеет решения

    при a О (-1; 2 /3) И (1;+ Ґ ) имеет решения

    при a = 2 /3, любое действительное число является решением исходного неравенства.

    f) Исходное неравенство равносильно следующему (a — c)x > d — b откуда следует, что

    1. если a >c, то a — c > 0 и, следовательно,
    2. если a О R.

    g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим

    2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 > 0,
    ab > 0,
    2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2
    Ы
    x(b — a) 2 2 — a 2 ),
    ab 2 > 2(b 2 — a 2 ),
    ab Ы
    ab > 0,
    a ≠ b,
    x О Ж ,
    a = b,
    ab

    Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть если a и b — противоположных знаков (ab

    a) |x + a| + |x — 2a| 2;
    b) |x + a|

    Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая:

    1. пусть x О (- Ґ ;-a], тогда |x + a| = —x — a и |x — 2a| = 2a — x и неравенство примет вид —x — a + 2a — x — 3 /2a, поскольку a > 0, пересечением множеств (- Ґ ;-a] и (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество
    2. пусть x О (-a;2a], тогда |x + a| = x + a, и |x — 2a| = 2a — x, и неравенство примет вид x + a + 2a — x и, поскольку a > 0, любое число из интервала (-a;2a] есть решение неравенства;
    3. пусть x О (2a;+ Ґ ), тогда |x + a| = x + a и |x — 2a| = x — 2a, и неравенство примет вид x + a + x — 2a 5 /2a. Учитывая условие x > 2a, получим x О (2a; 5 /2a).

    Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (- 3 /2a;-a] И (-a;2a] И (2a; 5 /2a) или (- 3 /2a; 5 /2a).

    b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| |x + a| Ы |x + a| Ы (x + a + ax)(x + a — ax) Ы

    Ы [(a + 1)x + a][(1 — a)x + a] Ы
    (a + 1)x + a > 0,
    (1 — a)x + a Ы
    (a + 1)x > —a,
    (1 — a)x —a.

    Если a > 1, тогда a — 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид

    откуда (учитывая, что x > 0) получим а вторая система совокупности примет вид и, так как a > 1 влечет а x > 0, система не имеет решений.

    Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим x 1 /2, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений.

    Если -1 0 и 1 — a > 0, и первая система совокупности примет вид или откуда, заметив, что получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим и, учитывая, что x > 0, получим откуда a О [0;1), то неравенство не имеет решений, а если a О (-1;0), то множество решений неравенства есть

    Если a = -1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > 1 /2.

    Если a 0, и из первой системы следует Так как a 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид и, поскольку x > 0, получим

    если a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), то

    если a О [0;1], то неравенство не имеет решений;


    источники:

    http://tutomath.ru/uroki/linejnoe-uravnenie.html

    http://www.math.md/school/praktikum/paramr/paramr.html

    © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут