Уравнение вида ax4 bx2 c 0

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Решение биквадратных уравнений: онлайн-калькулятор

Биквадратное уравнение имеет вид a x 4 + b x 2 + c = 0 . Суть решения состоит в приведении уравнения к квадратному с помощью подстановки новой переменной.

Решение биквадратных уравнений онлайн – это быстрый способ получить ответ, не совершая преобразований и расчетов. Вам потребуется только ввести условие задачи в калькулятор. Наш сервис выполнит необходимые вычисления по нужным формулам. Автоматические расчеты исключают ошибки, опечатки, использование неверного алгоритма.

1. Введите данные в соответствующие поля. Отправьте уравнение на вычисление кнопкой
   
2. «Рассчитать».Получите решение и ответ.
   
   

Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как решать биквадратное уравнение

Калькулятором на сайте пользуются школьники и студенты для самопроверки. Так в самостоятельных вычислениях можно найти и исправить недочеты.

Чтобы решить биквадратное уравнение, необходимо выполнить следующие действия:

• Ввести новую переменную y = x 2 для упрощения исходного уравнения до квадратного.
• Подставить полученную переменную в первоначальное уравнение.
• Вычислить неизвестные в квадратном уравнении.
• Найденные корни ( y 1 , y 2 ) подставить в переменную y = x 2 и получить решение биквадратного уравнения.

Нахождение ответов для биквадратных уравнений через калькулятор также понадобится родителям для проверки домашних заданий, преподавателям для быстрой подготовки учебных материалов.

Сервис выдает не только готовый ответ, но и подробное решение. Используя его можно изучать новую тему, закреплять уже полученные знания. Чтобы найти ответ, не надо платить или регистрироваться. Вы бесплатно получаете решение нужного количества задач в любое время суток.

На сайте доступны калькуляторы на разные виды уравнений. Поэтому задача по алгебре не останется без решения. На время зачетов, контрольных, экзаменов вы можете заказать услугу онлайн-помощи. Напишите об этом консультанту и получите скидку.

Биквадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

В данном уравнении заменим х 2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х 2 =а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х 2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х 2 =9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х 2 =16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

Заменим на переменную у: х 2 =у. Получим уравнение:

Найдем его корни: у₁=–1, у₂=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х 2 =–1; х 2 =4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

Выполним замену переменной: х 2 =у. Решим уравнение:

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.