Уравнение вида cos x cos y

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Решение уравнения вида cos(x)=y

Все сказанное о решении уравнений вида sin(x)=y будет справедливо и для уравнений вида cos(x)=y.

Здесь повторим лишь основные моменты, не расписывая подробности.

Функция y=cos(x) имеет следующий вид:

График функции y=cos(x) полностью аналогичен графику функции y=sin(x) — это та же синусоида, которая сдвинута по оси х на (-π/2).

Функция y=cos(x) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.

Поэтому уравнение cos(x)=y не имеет решений при |y|>1.

Если |y|≤1, уравнение cos(x)=y имеет бесконечное множество решений.

На рисунке показано графическое решение уравнений cos(x)=-1 и cos(x)=-1/2.

Если взять диапазон значений аргумента x от 0 до +2π (что будет соответствовать одному полному обороту тригонометрического круга), то на этом участке уравнение cos(x)=-1 будет иметь одно решение π:

Поскольку функция косинус является периодической с периодом в 2π, то полным решением уравнения cos(x)=-1 будет бесконечное множество углов, кратных 2π

Теперь рассмотрим случай, когда |y| Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Дано cos x cos y cos z = m, sin x sin y sin z, где m, n произвольные действительные числа?

Математика | 10 — 11 классы

Дано cos x cos y cos z = m, sin x sin y sin z, где m, n произвольные действительные числа.

Найти cos2xcos2y + cos2ycos2z + cos2xcos2z

В ответе записать значение этого выражения при m = , n =.

$cosx;cosy;cosz=m\\ sinx;siny;sinz=n\\ \\ cos2x*cos2y+cos2y*cos2z+cos2x*cos2z=\\ sin^2x*sin^2y+cos^2x*cos^2y-sin^2x*cos^2y-cos^2x*sin^2y$$+sin^2x*sin^2z+cos^2x*cos^2z-sin^2x*cos^2z$$-cos^2x*sin^2z+sin^2y*sin^2z$$+cos^2y*cos^2z-cos^2y*sin^2z-sin^2y*cos^2z$

подставим и получим , возведя в квадрат

ВЫЧИСЛИТЕ Значение выражения cos 6п / 5 * cos 7п / 10 + sin 6п / 5 * sin 7п / 10?

ВЫЧИСЛИТЕ Значение выражения cos 6п / 5 * cos 7п / 10 + sin 6п / 5 * sin 7п / 10.

Найти значение выражений1) cos 3002) cos 78 * cos 108 + sin 78 * sin 108?

Найти значение выражений

2) cos 78 * cos 108 + sin 78 * sin 108.

Cos 6a sin 3a — sin 6a cos 3a упростить выражение?

Cos 6a sin 3a — sin 6a cos 3a упростить выражение.

СРОЧНО ПОМОГИТЕ?

. Найдите произведение : (sin 0° — cos 0°)( sin 1° — cos 1°) ….

(sin 89° — cos 89°)( sin 90° — cos 90°).

Найти производную от cos(x) * cos (3x) — sin (x) * sin (3x)?

Найти производную от cos(x) * cos (3x) — sin (x) * sin (3x).

(cos ^ 3a + sin ^ 3a / cos a + sin a) + cos a sin a.

Sin альфа / cos альфа + cos / sin альфа?

Sin альфа / cos альфа + cos / sin альфа.

Упростить выражение sin a + sin 3a / cos a + cos 3a?

Упростить выражение sin a + sin 3a / cos a + cos 3a.

Найти значение sin 300 + cos 450?

Найти значение sin 300 + cos 450.

Найдите значение выражения sin ^ 2 x — cos ^ 2 x , если sin x — cos x = — 0, 4?

Найдите значение выражения sin ^ 2 x — cos ^ 2 x , если sin x — cos x = — 0, 4.

На этой странице находится ответ на вопрос Дано cos x cos y cos z = m, sin x sin y sin z, где m, n произвольные действительные числа?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.