Уравнение вида косинус х равен а

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)

Презентация по теме «Тригонометрические уравнения Cosx=a»
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Аннотация Урок проводился для студентов 1курса (база 9 классов) Ставропольского колледжа связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова. по специальности « Программное обеспечение средств вычислительной техники и автоматизированных систем » Длительность урока: 90 мин

Цели урока: Образовательные: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cosх=а; выработать алгоритм решения данного уравнения; Развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи; Воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Тип урока: изучение нового материала Формы работы учащихся: фронтальная Необходимое техническое оборудование: мультимедийное оборудование Учебник: Алгебра и начала анализа 10-11кл. общеобразоват. Учреждений/Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. – 15 изд. – М. : Просвещение, 2007. – 385с.

ВЫВОД Каждое из уравнений и Имеет бесконечное множество корней. На отрезке имеет только один корень: — корень уравнения и — корень уравнения Число называют арккосинусом числа и записывают Число называют арккосинусом числа и записывают

Арккосинусом числа называют такое число , косинус которого равен а: Определение

Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5

Все корни уравнения , где Можно находить по формуле: Определение

Пример 1 Вычислим

Частные случаи решения уравнения

Частные случаи уравнения cos х = a

Пример 3 Пример 4 Ответ: уравнение решения не имеет.

Решений нет а rc с os (-а) = π — а rc с os а  Cos 

Закрепление № 573 (1,4,5)

Спасибо за урок! № 571 № 572 № 573 (1, 2,3) Домашнее задание:

Предварительный просмотр:

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Решение тригонометрических уравнений вида Cosx=a

Глебова Любовь Николаевна

Ставропольский колледж связи им. В.А. Петрова

Преподаватель математики, информатики

1 курс (база 9 классов)

Изучение нового материала

Формы работы учащихся:

Необходимое техническое оборудование:

Алгебра и начала анализа 10-11кл. общеобразоват. Учреждений/Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. – 15 изд. – М. : Просвещение, 2007. – 385с.

1. сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos х = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;

1. развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;

1. формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний

Повторить способ решения уравнения вида cos х = a, где а – действительное число, с помощью числовой окружности.

Решить уравнения: 1)

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости.

Из определения косинуса следует, что , а если , то уравнение

cos х = a корней не имеет. Абсциссу равную имеют две точки числовой окружности М 1 и М 2 . Точка М 1 получается поворотом точки Р(1;0) на угол а так же на углы

Тока М 2 получается из точки Р(1;0) поворотом на угол

А так же на углы Поэтому все корни уравнения запишем в виде:

Реферат на тему: «Уравнение cosx=a»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Реферат на тему: « Уравнение cosx=a»

Уравнение cosx = a

Если | a |>1 , то уравнение cosx = a не имеет корней.

Например, уравнение cosx =−1,5 не имеет корней.

Если | a |≤1 , то корни уравнения выражаются формулой x =± arccosa +2 πk , k ∈ Z .

Что же такое arccosa ? Арккосинус в переводе с латинского означает «дуга и косинус». Это обратная функция.

Если | a |≤1 , то arccosa (арккосинус а ) — это такое число из отрезка [0; π ] , косинус которого равен а.

arccosa = x ⇒ cosx = a ,| a |≤1, x ∈[0; π ] .

Выражение arccos 2−−√2 показывает, что косинус угла Х равен 2−−√2 ( cosx =2−−√2 ).

Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:

число, являющееся значением оси x , соответствует точке π 4 на числовой окружности.

Если cosπ 4=2−−√2 , то arccos 2−−√2= π 4 .

В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором — наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Теорема. Для любого a ∈[−1;1] выполняется равенство arccosa + arccos (− a )= π .

1. cosx =0⇒ x = π 2+ πk , k ∈ Z ;

2. cosx =1⇒ x =2 πk , k ∈ Z ;

3. cosx =−1⇒ x = π +2 πk , k ∈ Z .

решить уравнение cosx =25 .

Используем формулу x =± arccosa +2 πk , k ∈ Z и получаем ответ Х =± arccos 25+2 πk , k ∈ Z

Решение тригонометрического уравнения на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при , таких точек нет, при , такая точка одна, при , таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой x = m с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

Рисунок 2 – Решение уравнения

Точка M(π/6) соответствует всем числа вида .

Точка N(-π/6) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения можно записать так:

.

Ответ: .

Чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, вводится понятие арккосинуса.

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и .

Арккосинус числа m обозначают:

Для

Если и , то .

Два простейших тождества для арккосинуса.

для любого m:

для любого α:

Из рисунка видно, что .

Рисунок 3 – Связь между и

Решением уравнения являются все числа вида

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Решите уравнение .

В ответ запишите наименьший положительный корень.

При получаем .

При увеличении значений k значение первого корня будет отрицательным, а значение второго корня будет увеличиваться.

При уменьшении значений k значение первого корня будет увеличиваться, а значение второго корня будет отрицательным. Поэтому наименьшее положительное значение корня 1.

№ 2. Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при:

Запишем решение данного уравнения в виде:

Тогда:

Первое уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Второе уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Поэтому при уравнение будет иметь 4 решения, а при ни одного.