Уравнение винтовой линии в декартовых координатах

Уравнение винтовой линии в декартовых координатах

Линии в пространстве

Винтовая линия (рис. 7.20)

Винтовая линия — линия, описываемая точкой M, которая вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной оси (Oz) и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью v вдоль этой оси.

где a — радиус цилиндра, на котором расположена линия; — шаг винтовой линии.

Проекции винтовой линии на координатные плоскости:

на плоскость xOy:

— окружность;

на плоскость yOz:

— синусоида;

на плоскость xOz:

— синусоида.

Длина винтовой линии от точки пересечения с плоскостью xOy до произвольной точки

Параметрические уравнения винтовой линии, где за параметр принята длина дуги:

Кривизна:

Кручение:

Винтовая линия ⁠

Лёг­кость, с кото­рой гайка накру­чи­ва­ется на болт, под­ска­зы­вает, что резьба оди­на­кова по всей длине болта, а матема­ти­че­ская суть резь­бо­вых соеди­не­ний — исполь­зо­ва­ние кри­вой, кото­рая может сколь­зить сама по себе. Эта заме­ча­тель­ная кри­вая назы­ва­ется вин­то­вой линией.

Вин­то­вую линию можно полу­чить, намо­тав на цилиндр прямо­уголь­ный про­зрач­ный лист с отме­чен­ной диаго­на­лью. В зави­симо­сти от длины листа и, соот­вет­ственно, угла наклона нари­со­ван­ной линии, будет раз­ли­чаться шаг вин­то­вой линии и коли­че­ство вит­ков.

Формально вин­то­вой линией (цилин­дри­че­ской) назы­ва­ется линия, опи­сы­ва­емая точ­кой, кото­рая враща­ется с посто­ян­ной угло­вой ско­ро­стью вокруг непо­движ­ной оси и одно­временно перемеща­ется вдоль этой оси с посто­ян­ной ско­ро­стью.

Нагляд­ное пред­став­ле­ние и опре­де­ле­ние соеди­няются в парамет­ри­че­ском зада­нии вин­то­вой линии в прямо­уголь­ной декар­то­вой системе коор­ди­нат: $$ x=a \cos t,\quad y=a \sin t,\quad z=ht. $$ Пер­вые два урав­не­ния пока­зы­вают, что про­екция точки бежит по осно­ва­нию прямого круго­вого цилин­дра ради­уса $a$. Тре­тье урав­не­ние задаёт движе­ние вдоль оси цилин­дра с посто­ян­ной ско­ро­стью.

У «хороших» кри­вых в трёхмер­ном про­стран­стве есть две базо­вые харак­те­ри­стики — кри­визна и кру­че­ние.

Кри­визна — харак­те­ри­зует ско­рость искрив­ле­ния линии в плос­ко­сти и опре­де­ля­ется ради­у­сом окруж­но­сти, дуга кото­рой наи­лучшим обра­зом при­ближает небольшой отре­зок кри­вой, содержащий дан­ную точку). Кру­че­ние — ско­рость, с кото­рой кри­вая стремится не быть плос­кой, насколько кри­вая хочет поки­нуть плос­кость.

Заме­ча­тельно, что для доста­точно глад­ких кри­вых кри­визна и кру­че­ние пол­но­стью опре­де­ляют форму линии.

У вин­то­вой линии кри­визна и кру­че­ние посто­янны, а из при­ве­дён­ного утвер­жде­ния сле­дует, что подоб­ным свойством обла­дают только такие линии!

Посто­ян­ство кри­визны и кру­че­ния во всех точ­ках озна­чает, что устройство вин­то­вой линии всюду одно и то же. Как след­ствие, полу­чаем, что отре­зок вин­то­вой линии может сколь­зить вдоль неё точно так же, как отре­зок — по прямой, дуга окруж­но­сти — по своей окруж­но­сти. (Прямую и окруж­ность можно рас­смат­ри­вать как вырож­ден­ные, пре­дель­ные слу­чаи вин­то­вой линии.)

Резь­бо­вые соеди­не­ния, в част­но­сти резьба болта или винта осно­ваны на вин­то­вой линии. При закру­чи­ва­нии резьба сколь­зит как будто по лыжне.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.