Уравнение внутреннего силового фактора в сечении

Сопромат online

Расчеты в режиме online

1.3. Метод сечений. Внутренние силовые факторы.

Целостность твердого тела, его форма обусловливаются на­личием сил взаимодействия между его частицами. При дефор­мации тела под действием внешних нагрузок и других внеш­них воздействий происходит изменение сил взаимодействия между частицами тела. Эти изменения сил взаимодействия в сопротивлении материалов называются внутренними силами. Таким образом, под внутренними силами необходимо пони­мать силы взаимодействия между частицами тела, возника­ющие только в результате деформации тела. При отсутствии де­формации внутренние силы в теле считаются равными нулю.

Для определения внутренних сил необходимо, используя метод сечений, перевести их в категорию сил внешних. На рисунке 1 представлено твердое тело, на которое действует про­извольная система внешних сил F₁, F₂….F_n, удовлетворя­ющая условиям равновесия. Мысленно рассечем тело плоскостью на две части и отбросим одну часть.

Рисунок 1.2 Произвольная система сил.

Чтобы любая часть, например левая, находилась в равнове­сии, необходимо действие отброшенной правой части на рас­сматриваемую левую заменить в сечении внутренними силами. В другом сечении они будут другими. Внутренние силы всегда взаимны: правая часть действует на левую так же, как левая на правую. Внутренние силы считаются поверхностными, т.е. принимается, что взаимодействие частиц, примыкающих с раз­ных сторон к сечению, является контактным и что частицы, расположенные за сечением, во взаимодействии не участвуют.

Метод сечений — это прием, позволяющий обнаруживать внутренние силы и рассматривать их как внешние силы по от­ношению к оставшейся (рассматриваемой) части тела.

Приведем систему внутренних сил, используя положения статики, к центру тяжести сечения (рисунок 1.3 а).

Рисунок 1.3.а Внутренние силы, приведенные к центру тяжести сечения.

В результате приведения получим главный вектор Fc и главный момент Мс, разложив которые по осям координат, получим три силы и три момента Fх, Fу, Fz, Мх, Му, Мz (рисунок 1.3 б).

Рисунок 1.3.б Внутренние силовые факторы.

Эти составляющие обозначаются специальными буквами и на­зываются внутренними силовыми факторами. F_x = N- назы­вается продольной или нормальной силой; F_z =Q_Z и F_y=Q_y назы­ваются поперечными силами; М_х = Т называется крутящим мо­ментом; М_у и M_z называются изгибающими моментами относи­тельно осей у и z.

Для отсеченной части в общем случае можно составить шесть уравнений равновесия :

Из (1.7) следует, что

Согласно (1.8) нормальная сила N в поперечном сечении равна алгебраической сумме проекций на ось x всех внешних сил, действующих на отсеченную часть тела; поперечные силы Q_y и Q_z в сечении — соответственно равны алгебраической сумме проекций на оси у и z, расположенные в рассматриваемом се­чении, всех внешних сил, действующих на отсеченную часть тела; крутящий момент Т в поперечном сечении равен алгебра­ической сумме моментов относительно оси х всех внешних сил, действующих на отсеченную часть тела; изгибающие мо­менты М_у и М_z в сечении соответственно равны алгебраиче­ской сумме моментов относительно осей у и z рассматриваемо­го сечения всех внешних сил, действующих на отсеченную часть тела. Результаты будут одинаковыми независимо от того, какая отсеченная часть тела рассматривается.

Таким образом, в расчетных схемах как внешние нагрузки, так и внутренние силовые факторы нужно рассматривать как скалярные величины.

Нормальная сила, направленная от сечения, вызывает в се­чении растяжение материала и считается положительной, а на­правленная к сечению — вызывает в сечении сжатие материала и считается отрицательной.

Поперечная сила считается положительной, если внешние силы стремятся вращать отсеченную часть тела (бруса или ра­мы) относительно проведенного сечения по часовой стрелке; если — против часовой стрелки, то поперечная сила считается отрицательной.

Крутящий момент в сечении считается положительным, ес­ли при взгляде на сечение со стороны внешней нормали внеш­ние силы стремятся вращать отсеченную часть по часовой стрелке, если — против часовой стрелки, то крутящий момент в сечении считается отрицательным.

Изгибающий момент от внешних сил, вызывающих сжатие верхних волокон балки или сжатие наружных волокон рамы, считается положительным, а от внешних сил, вызывающих сжа­тие нижних волокон балки или внутренних волокон рамы, — от­рицательным.

Нагружение называется простым, если в поперечных сече­ниях элемента конструкции возникает только один внутрен­ний силовой фактор, или сложным (комбинированным), если в поперечных сечениях элемента одновременно действуют не­сколько внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы вдоль элемента (бруса) изме­няются. Эпюрами называются графики, показывающие, как из­меняются внутренние силовые факторы в сечениях по длине бруса (балки). (Пример построения эпюр ступенчатого стержня)

Эпюры позволяют установить положение опасного сече­ния, в котором действуют максимальные внутренние силы и моменты.

Метод сечений. Силовые факторы в методе сечений

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

Рассмотрим идеально упругий призматический стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.2, а).

Выделим внутри стержня какие-либо две частицы K и L, расположенные на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Для большей наглядности предположим, что между этими частицами имеется некоторая пружинка, удерживающая их на определенном расстоянии друг от друга. Пусть натяжение пружинки равно нулю.

Приложим теперь к стержню растягивающую силу (рис. 1.2, б). Пусть в результате деформации стержня, частица K перейдет в положение , а частица L – в положение . Соединяющая эти частицы пружинка при этом растянется. После снятия внешней нагрузки частицы вернутся в первоначальное положение K и L благодаря усилию, которое возникло в пружинке. Сила, которая возникла между частицами (в пружинке) в результате деформации идеально упругого стержня, называются силой упругости или внутренней силой. Она может быть найдена методом сечений .

Этапы метода сечений

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.3, б).

Внутренние силы в методе сечений

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента (рис. 1.3, д).

Сила N — продольная сила

– поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия ( уравновесим ):

.

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Вычисление продольной и поперечных сил, крутящего и изгибающих моментов

продольная сила N равна сумме проекций всех сил (активных и реактивных), действующих на любую из частей рассеченного стержня, на ось z;

поперечные силы равны сумме проекций всех сил, действующих на любую из частей стержня, на оси x и y, соответственно;

крутящий момент равен сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно продольной оси z;

изгибающие моменты равны сумме моментов всех сил, действующих на любую из частей стержня, относительно осей x и y, соответственно.

iSopromat.ru

Внутренние силовые факторы (усилия) возникают в результате деформации бруса, когда под действием внешних нагрузок происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела.

По своей природе внутренние силовые факторы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность и совместность деформаций. Для определения этих усилий применяют метод сечений:

надо мысленно рассечь брус, находящийся в равновесии, на две части

и рассмотреть равновесие одной из них.

Действие усилий отброшенной части бруса заменим уравновешивающими рассматриваемую часть внутренней силой R и внутренним моментом M.

Для упрощения расчетов силу R и момент M принято раскладывать на составляющие усилия относительно осей координат x, y и z.

Таким образом, под действием внешних нагрузок в поперечном сечении бруса могут возникать следующие внутренние силовые факторы:

• N_z = N — продольная растягивающая (сжимающая) сила;
• M_z = T — крутящий (скручивающий) момент;
• Q_x (Q_y) = Q — поперечные силы;
• M_x (M_y) = M — изгибающие моменты.

Каждый внутренний силовой фактор определяется из соответствующего уравнения равновесия оставшейся после рассечения бруса части (уравнения статики):

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Правила знаков для внутренних силовых факторов

Для определения знаков внутренних усилий, возникающих в брусе при различных способах его нагружения, приняты следующие правила:

• при растяжении/сжатии — положительными являются растягивающие усилия;
• при кручении — положительны моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки;
• при изгибе — положительны моменты сжимающие верхний слой балки.

Эпюры внутренних силовых факторов

В инженерной практике особое место занимает умение ясно представить взаимодействие усилий в конструкции, а также связь между внешними и внутренними силами в элементах конструкции, для этого графически изображают внутренние силовые факторы в функции осевой координаты и называют эти графики — эпюрами.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах