Уравнение волны имеет вид x

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

.

(5.2.1)

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

, или .

(5.2.4)

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

,

(5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

.

(5.2.6)

Уравнение сферической волны

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Уравнение плоской и сферической волн. Длина волны, волновое число, фазовая скорость

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию координат x, y, z ее равновесного положения и времени t:

Найдем явный вид функции x для плоской волны, считая что колебания носят гармонический характер. Направим ось х вдоль направления распространения волны, тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси х. Так как все точки, принадлежащие волновой поверхности, колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t:

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0
(рис. 2.2.1), описываются гармонической функцией:

Частицы среды расположенные слева и справа от источника будут совершать гармонические колебания, смещения которых в некоторый момент времени t можно представить графиком (рис.2.2.2).

Кратчайшее расстояние между частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе), называется длиной волны l. Длина волны, очевидно, равна расстоянию, на которое распространяется волна за период колебаний частиц:

Учитывая связь периода колебаний T с частотой n, получим, что

Найдем уравнение колебаний частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x (это и будет уравнение плоской волны).

Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до плоскости, соответствующей значению x, волна затратит время

,

где V — скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будет отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости x=0, то есть уравнение колебаний будет иметь вид:

. (2.2.6)

Таким образом, уравнение плоской волны имеет вид:

(2.2.7)

При получении уравнения (2.2.7) изменение амплитуды колебаний не учитывалось, то есть это уравнение справедливо, если энергия волны не поглощается средой.

Найдем скорость распространения волны. Для этого зафиксируем значение фазы в уравнении (2.2.7), то есть положим:

(2.2.8)

Это выражение определяет координату x, для которой зафиксированное значение фазы достигается в данный момент времени t. Определив из (2.2.8) значение , найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы — фазовую скорость. Продифференцируем выражение (2.2.8), тогда получим:

dt- , откуда (2.2.9)

Из (2.2.9) следует, что фазовая скорость волны (2.2.7) положительна. Таким образом, уравнение (2.2.7) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X.Очевидно, уравнение волны, распространяющейся в противоположном направлении, можно получить, заменив в уравнении (2.2.7) X на -X, то есть

x=A×cosw(t+ . (2.2.10)

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.2.10) и продифференцировав, получим .

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и x вид. Для этого введем волновое число k:

. (2.2.11)

С учетом формулы (2.2.4) из (2.2.11) получаем соотношение

, (2.2.12)

где — циклическая частота.

Заменив в уравнении (2.2.7) V согласно (2.2.12) и внеся в скобки w, получим уравнение плоской волны в виде

Очевидно, уравнение (2.2.10) также может быть записано в симметричном относительно t и x виде и будет отличаться от (2.2.13) знаком в аргументе у косинуса.

Получим теперь уравнение сферической волны. Если рассматривать волну на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. Такой источник в случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, создает сферические волны. Пусть фаза колебаний источника равна wt , тогда фаза колебаний частиц среды лежащих на волновой поверхности радиуса r будет равна . В этом выражении учтено, что расстояние r волна проходит за время .

Как будет показано в §2.4,амплитуда колебаний в сферической волне убывает по закону , даже если среда не поглощает энергию волны. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

x= , (2.2.14)

где константа A₀ — численно равна амплитуде колебаний на расстоянии, равном единице длины. Размерность ее равна размерности амплитуды (зависит от физической природы волнового процесса), умноженной на размерность длины.

Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы a, b и g.

Пусть источником колебаний будет плоская пластина, проходящая через начало координат (рис.2.2.3), колебания которой описываются уравнением

x(0,t) = Acoswt. (2.2.15)

В плоскости, отстоящей от начала координат на расстоянии l, колебания частиц будут отставать от колебаний источника на время t и, следовательно, их смещение будет описываться уравнением

= . (2.2.16)

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой плоскости (это плоскость является волновой поверхностью).

Для этого введем единичный вектор нормали к волновой поверхности. Из рис.2.2.3 следует, что

. (2.2.17)

Подставим выражение (2.2.17) в уравнение (2.2.16), тогда получим

(2.2.18)

Учтем, что и введем вектор

, (2.2.19)

Механические волны

теория по физике 🧲 колебания и волны

Отдельные частицы любого тела — твердого, жидкого или газообразного — взаимодействуют друг с другом. Поэтому если какая-то частица начинает колебаться, то благодаря взаимодействию между частицами это движение с некоторой скоростью начинает распространяться во все стороны.

Волна — колебания, распространяющиеся в пространстве с течение времени.

В воздухе, твердых телах и внутри жидкостей механические волны возникают благодаря силам упругости. Эти силы осуществляют связь между отдельными частями тела. В образовании волн на поверхности воды играют роль сила тяжести и сила поверхностного натяжения. Такие волны позволяют наиболее наглядно рассмотреть главные особенности волнового движения.

Волна на поверхности воды представляет собой бегущие вперед валы округлой формы. Расстояние между валами, которые также называют гребнями, примерно одинаковы. Волны распространяются в среде с определенной скоростью. Так, если чайка летит вперед, а по ней в любой момент времени оказывается один и тот же гребень, то скорость распространения волны можно принять равной скорости полета чайки. Волны на воде наблюдать удобно потому, что скорость их распространения невелика.

Если бросить в воду легкий предмет, он не будет увлекаться волной, а начнет совершать колебания вверх и вниз, оставаясь примерно на одном месте, как поплавок. Это говорит о том, что частицы воды остаются на месте в то время, как волна распространяется на большие расстояния.

Если же резко толкнуть горизонтальную пружину, можно будет наблюдать, как в одних местах она разрежается, в других — уплотняется. Это тоже волна. Видно, что энергия, полученная от толчка руки, переносится через пружину, хотя ее частицы остаются на месте.

Примеры с поплавком на воде и горизонтальной пружиной позволяют сделать вывод, что волна переносит энергию, но не переносит вещество среды.

Виды механических волн

По характеру колебаний частиц среды относительно положения равновесия различают два вида волн:

Определения

1. Поперечная волна— волна, при которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения этой волны.
2. Продольная волна— волна, при которой частицы среды колеблются параллельно направлению распространения этой волны.

Волны, распространяющиеся вдоль резинового шнура, являются поперечными (см. рисунок ниже). Чтобы появилась волна, нужно взять конец шнура, прикрепленного к вертикальной опоре, и дернуть его. При этом волна побежит к вертикальной опоре, а сам шнур будет менять свою форму. Каждая частица шнура станет совершать колебания относительно своего неизмененного положения равновесия сверху вниз (перпендикулярно направлению распространения волны).

Рассмотрим поперечные волны подробнее. Каждый участок шнура обладает массой и упругостью. При деформации шнура в любом его сечении появляются силы упругости. Эти силы стремятся возвратить шнур в исходное положение. Благодаря инертности участок колеблющегося шнура не останавливается в положении равновесия, а проходит его, продолжая двигаться до тех пор, пока силы упругости не остановят этот участок в момент максимального отклонения от положения равновесия.

На рисунках а, б, в, г, д и е изображен процесс распространения поперечной волны. На них показаны положения частиц среды в последовательные моменты времени.

Теперь рассмотрим распространение в среде продольной волны. Такую волну можно наблюдать, собрав установку из цепочки массивных шариков, связанных пружинками. Шары подвешены так, чтобы они могли колебаться только вдоль цепочки (см. рисунок ниже).

Если первый шар привести в колебательное движение, то вдоль цепочки побежит продольная волна, состоящая из чередующихся уплотнений и разрежений шаров. Уплотнения и разрежения (см. рисунок ниже) появляются вследствие горизонтальных колебаний шаров у положения равновесия. Волна также распространяется горизонтально.

Физические характеристики волны

Обратимся к рисункам д, е еще раз. Видно, что когда частица 1 находится в положении равновесия и движется вверх, частица 13 тоже находится в положении равновесия и движется вверх. Спустя четверть период частица 1 будет максимально отклонена от положения равновесия, ровно, как и частица 13. Так как частицы 1 и 13 движутся одинаково, говорят, что колебания этих частиц происходят в одинаковых фазах. Расстояние между этими частицами называют длиной волны.

Внимание! В действительности частица 13 отстает по фазе от частицы 1 на 2π. Но поскольку такая разница фаз не приводит к различию в состояниях колеблющихся частиц, можно считать, что частицы колеблются в одинаковых фазах.

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Длина волны обозначается как λ (лямбда). Единица измерения длины волны — метр (м).

Согласно рисунку е, в одинаковых фазах колеблются частицы 1 и 13, 2 и 14, 3 и 15, 4 и 16. Поэтому расстояния между этими частицами равно длине волны. Но частицы 1 и 7, находящиеся на расстоянии λ 2 . . , колеблются в противоположных фазах. Посмотрите на рисунок д: когда 1 частица находится в положении равновесия и движется вверх, частица 7 находится в положении равновесия и движется низ. На рисунке е обе частицы максимально отклонены от положения равновесия, но в противоположных направлениях.

Волна распространяется на расстояние λ за время, равное периоду колебаний частиц вещества. Зная расстояние, на которое распространилась волна, и время, в течение которого это распространение происходило, можно найти скорость волны:

Но мы знаем, что период равен величине, обратной частоте колебаний:

Тогда скорость распространения волны равна:

Скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний.

При распространении волны мы имеем дело с периодичностью двоякого рода:

1. Во-первых, каждая частица среды совершает периодические колебания во времени. В случае гармонических колебаний (эти колебания происходят по синусоидальному или косинусоидальному закону) частота постоянна и амплитуда одинакова во всех точках. Колебания отличаются только фазами.
2. Во-вторых, в данный момент времени форма волны повторяется в пространстве через отрезки длиной λ вдоль линии распространения волны. На рисунке ниже показан профиль волны в определенный момент времени (сплошная линия). С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью v направо. Спустя промежуток времени ∆t волна будет иметь

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №1. Определите скорость распространение волны на поверхности воды, если расстояние между ее гребнями равно 1 метру. Учитывайте, что мимо наблюдателя за 5 секунд прошло 10 волн.

Обычно под волной на воде люди понимают гребни — частицы воды, максимально отклоненные от положения равновесия. Расстояние между гребнями равно длине волны. Чтобы найти скорость распространения волны, нужно знать частоту колебания молекул воды. Ее можно вычислить по следующей формуле:

где n — количество «волн», прошедших мимо наблюдателя.

Тогда скорость волны равна:

v = λ ν = λ n t . . = 1 · 10 5 . . = 2 ( м с . . )

Уравнение бегущей волны

Бегущая волна — волна, распространяющаяся в пространстве.

Колебания гармонической волны в любой точке происходят по гармоническому закону с одной и той же амплитудой. Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны.

Будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось Ox направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура. Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса необходимо знать значение s в любой точке шнура в любой момент времени. Следовательно, нужно знать вид функции:

Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с частотой ω. Если начальную фазу колебаний считать равной 0, то колебания этой точки будут происходить по закону:

s = s m a x s i n ω t

s m a x — амплитуда колебаний (рис. а).

Колебания распространяются вдоль шнура (оси Ox) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время, которое можно определить следующим выражением:

Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s_max, но с другой фазой:

Уравнение бегущей волны

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Это уравнение называется уравнением бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox.

Пример №2. Уравнение бегущей волны имеет вид s ( x , t ) = 0 , 1 sin . ( 2 π t − x π 2 . . ) . Найдите частоту волны, скорость её распространения и длину.

Запишем уравнение бегущей волны:

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Сопоставляя эти два уравнения можно определить, что циклическая частота и скорость распространения соответственно равны:

ω = 2 π ( р а д с . . )

Циклическую частоту также можно рассчитать по формуле:

Тогда частота волны равна:

ν = ω 2 π . . = 2 π 2 π . . = 1 ( Г ц )

Тогда длина волны равна:

λ = v ν . . = 4 1 . . = 4 ( м )

На рисунке показан профиль бегущей волны в некоторый момент времени. Разность фаз колебаний точек 1 и 5 равна

Алгоритм решения

1. Определить характер движения указанных точек.
2. По характеру движения точек определить их разность фаз.

Решение

Точки 1 и 5 соответствуют максимальной амплитуде колебаний. В этот момент они меняют направление движения (до этого двигались вверх, теперь меняют направление в противоположную сторону). Поскольку точки 1 и 5 движутся одинаково, можно считать, что они колеблются в одинаковых фазах. Это возможно, если разность фаз кратна 2π.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Какова скорость звуковых волн в среде, если при частоте 400 Гц длина волны λ = 4 м?