Связь групповой и фазовой скорости.
Лекция 5: Механические волны
План:
1. Длина волны и волновое число.
2. Вывод уравнения плоской бегущей волны.
3. Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
4. Разность фаз колебаний.
6. Фазовая и скорость.
7. Групповая скорость.
8. Связь фазовой и групповой скорости.
9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста.
10. Уравнение сферической волны.
11. Вывод уравнения стоячей волны.
12. Координаты узлов и пучностей.
13. Энергия волн.
Длина волны и волновое число
Длиной волны – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
(1)
(2)
Если период равен , (3)
то (4)
Если из (2) выразить период и приравнять его к (3), получим:
получим (5)
Или (6)
Физический смысл отношения заключается в том, что оно показывает сколько длин волн умещается в единицах длины. Отношение обозначается и называется волновым числом, т.е.
(7)
Вывод уравнения плоской бегущей волны
Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию.
Плоские волны – волны, волновые поверхности которых – есть совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.
Лучи в этом случае – параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны.
Пусть плоская бегущая волна распространяется вдоль оси X, т.е. вдоль одного направления из точки А в точку В как показано на рисунке:
Пусть источник колебаний в начальный момент времени находится в точке О.
Запишем уравнение колебания:
(8)
Рассмотрим распространение волны от точки М до точки В. Из рисунка видно, что время , затраченное на этот путь равно , где — это время, за которое волна распространилась от источника колебаний до точки М.
Перейдем от уравнения колебаний к уравнению плоской бегущей волны:
(9)
(10)
Т.к. за время волна распространилась на расстояние , тогда
(11)
(12)
(13)
Будем считать начальную фазу .
Тогда согласно уравнению (6), получаем: (14)
Если в уравнении (14) , а , то получим четвертый вид уравнения плоской бегущей волны (при ):
— первый вид уравненияплоской бегущей волны | |
— второй вид уравненияплоской бегущей волны | |
— третий вид уравненияплоской бегущей волны | |
— четвертый вид уравненияплоской бегущей волны |
— смещение точек среды с координатой x в момент времени t.
Уравнение плоской бегущей волны в комплексном виде.
Уравнение плоской бегущей волны можно представить в комплексном виде, используя формулу Эйлера:
(15)
Если , то
(16)
Т.к. физический смысл имеет только реальная часть, получаем:
, (17)
Получаем уравнение плоской бегущей волны комплексном виде:
(18)
— уравнения плоскойбегущей волны в комплексном виде |
Разность фаз колебаний
Фаза рассчитывается из определения углового перемещения:
(19)
(20)
(21)
Виды волн
Основное свойство всех волн – перенос частицами среды энергии без переноса вещества.
Различают продольные и поперечные волны.
Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль их распространения, называются продольными.
Волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, называются поперечными.
Продольные волны распространяются в жидкостях и газах
В твердой среде возникают как продольные, так и поперечные
Фазовая скорость
Пусть в волновом процессе фаза = const, т.е.
(22)
(23)
После дифференцирования, получим:
(24)
или (25)
Вывод: скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: :
Т.к. , отсюда (26)
Дисперсией называется зависимость фазовой скорости в среде от частоты распространение волн (дисперсия всегда связана с поглощением энергии средой) |
Групповая скорость
Рассмотрим простейшую группу волн, которая получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами и близкими частотами и близкими волновыми числами :
(27)
Это волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты от времени, т.е. является негармонической.
(28)
— амплитуда группы волн |
Групповая скорость– скорость распространения группы волн,
Групповая скорость– скорость максимума огибающей группы волн или скорость движения центра волнового пакета.
Из условия (29)
получим: (30)
(31)
— групповая скорость |
Связь групповой и фазовой скорости.
Групповая скорость определяется выражением:
(32)
Определим отдельно выражения для и :
1) — ?
Из выражения выразим угловую скорость: (33)
Продифференцируем это выражение по k: (34)
2) — ?
Выражения продифференцируем по :
или (35)
Подставим выражения (34) и (35) в выражение для групповой скорости (32), получим:
(36)
(37)
(38)
— связь фазовой и групповой скорости |
Из (38) следует, что может быть как больше, так и меньше фазовой в зависимости от знака .
Если в среде не наблюдается дисперсия волн, то , тогда фазовая и групповая скорости совпадают .
Понятие групповой скорости очень значимо, т.к. именно она фигурирует при измерении дальности радиолокации, в управлении космическими объектами.
Но , а для ограничений нет.
9. Нахождение групповой скорости методом Эренфеста
Зависимость групповой скорости от длины волны позволяет определить значение групповой скорости.
Для этого нужно провести касательную к точке с координатами и . Можно найти отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости.
Плоская волна
Определение и основные понятия плоской волны
Пусть источником волн в бесконечной упругой среде является бесконечно большая пластина. Она совершает колебания вдоль оси X, плоскость пластины перпендикулярна оси X (рис.1).
Пластина совершает гармонические колебания. Введем следующие обозначения: $s_0$ — смещение точек пластины AB и примыкающих к ней частиц среды от положения равновесия; $A_0$ — амплитуда колебаний пластины; $\varphi $ — фаза колебаний; $\omega $ — циклическая частота колебаний. Уравнение колебаний пластины имеет вид:
В таком случае в среде распространяется гармоническая волна такой же частоты. Если среда является однородной и изотропной, то колебания всех частиц вещества на одинаковых расстояниях от пластины идентичны (совпадают амплитуды и начальные фазы колебаний). То есть волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси X (направлению волны). Данные волны называют плоскими.
Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими.
Уравнение плоской волны
Колебания в точках среды, находящихся на расстоянии $x$ от плоскости AB отстают по фазе от колебаний источника на величину $kx$:
при отсутствии рассеяния энергии волны в веществе $A$=$A_0$. $k=\frac<2\pi ><\lambda >\ $- волновое число.
Для точек пространства находящихся правее плоскости AB $x>0$, для точек находящихся левее этой плоскости $x Пример 1
Задание: Плоская гармоническая волна распространяется по прямой, которая совпадает с осью X, в положительном направлении оси. Среда энергию не поглощает. Скорость распространения волны равна $v$. Амплитуда волны $A.$ Две точки, которые находятся на расстояниях $x_1\ и\ x_2$ от источника волны совершают колебания с разностью фаз $\Delta \varphi =\frac<3\pi ><5>$. Какова длина волны? Запишите уравнение волны.
Решение: Запишем уравнение плоской волны:
Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:
\[<\varphi >_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ <\varphi >_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(1.3\right).\]
Найдем их разность:
\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac<2\pi ><\lambda >\left(x_2-x_1\right)\left(1.4\right).\]
Выразим длину волны ($\lambda $) из (1.4):
Для написания уравнения волны через известные из условий задачи величины используем формулу:
Можем записать уравнение волны:
Задание: В однородном упругом веществе имеется плоская стоячая волна вида: $s=A<\cos (\omega t)\ ><\cos (kx)\ >$. Нарисуйте графики зависимости $s\left(x\right)$ при $t=0$ и $t=\frac
Уравнение волны в комплексном виде
Уравнения плоской и сферической волн |
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время . Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
– это уравнение плоской волны. Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой. Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны. Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид: . Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число , или в векторной форме:
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности. Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
Уравнение сферической волны В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной. источники: http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_82_ploskaja_volna.php http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/05-2.htm |