Уравнение вращательного движения для шкива

Реферат: Изучение вращательного движения твердого тела

Нижегородский государственный архитектурно – строительный университет

Отчет

По лабораторной работе №8

«Изучение вращательного движения твердого тела»

Преподаватель Данилов В.И.

Студент группы ИС-16 Бедункевич А

Цель работы : Измерение углового ускорения и момента инерции вращающегося тела, проверка закономерностей вращательного движения.

1 – маятник; 2 – блок; 3 – груз; 4 – линейка.

При падении груза на нити его ускорение одинаково с касательным ускорением точек обода шкива маятника. По уравнению равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью оно равно

h – высота падения груза, t – время падения.

Угловое ускорение всех точек шкива (и всего маятника) можно определить по формуле:

R – радиус шкива

Движение маятника подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения, которое в проекциях на ось вращения имеет вид:

М – момент вращающей силы, момент сил трения, J – суммарный момент энергии маятника и блока.

Трение при вращении маятника и блока вокруг оси пренебрежительно мало. Пренебрегая трением и учитывая, что согласно второму и третьему законам Ньютона вращающая сила

m – масса груза, g – ускорение свободного падения, получим выражение для суммарного момента инерции:

Поскольку момент инерции блока много меньше момента инерции маятника, последняя формула может применяться для вычисления с достаточно высокой точностью момента инерции маятника.

R = 0,017 (м) – радиус шкафа

1) первая серия опытов

№ опыта	r (м)	h (м)	m (кг)	t (с)		J	M
1	0,21	0,68	0,15	10,28
2	0,21	0,68	0,15	11,48
3	0,21	0,68	0,15	10,07

(с)

2) вторая серия опытов

№ опыта	r (м)	h (м)	m (кг)	t (с)		J	M
1	0,07	0,67	0,15	5,41
2	0,07	0,67	0,15	5,26
3	0,07	0,67	0,15	5,22

(c)

( кг . м 2 )

3) третья серия опытов

№ опыта	r (м)	h (м)	m (кг)	t (с)		J	M
1	0,07	0,67	0,178	5,09
2	0,07	0,67	0,178	4,52
3	0,07	0,67	0,178	5,22

(с)

, n=3,

( 3 )

( 4 )

2) Проводя расчёты по формулам (3) и (4) для значений t полученных в результате второй серии опытов получаем:

3) Проводя расчёты по формулам (3) и (4) для значений t полученных в результате третей серии опытов получаем:

В ходе выполнения работы для каждой из трёх серий измерений, с точностью 95%, были подсчитаны значения угловых ускорений:

По результатам вычислений было установлено, что чем меньше момент инерции вращающегося тела и чем больше момент сил приложенных к нему, тем выше его угловое ускорение (при прочих неизменных условиях).

Изучение динамики вращательного движения маховика

Лабораторная работа № 16

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАХОВИКА

Цель работы – экспериментальное определение момента инерции маховика, состоящего из диска, шкива и вала.

1. Теоретические основы работы

Аналогом второго закона Ньютона, справедливого для описания поступательного движения тела массой m

во вращательном движении является основное уравнение динамики вращательного движения

(2)

где и соответственно момент инерции и угловое ускорение твердого тела относительно неподвижной оси вращения z, – алгебраическая сумма моментов сил относительно оси z.

Сравнительный анализ уравнений (1) и (2) показывает, что роль массы в поступательном движении играет момент инерции тела во вращательном движении. А поскольку масса является мерой инертности тела в поступательном движении, то момент инерции является также мерой инертности тела во вращательном движении. В этом заключается физический смысл момента инерции.

Относительно неподвижной оси z момент инерции твердого тела определяется по формуле

, (3)

где r является кратчайшим расстоянием от элемента тела массой dm до оси z.

Из формулы (3) следует, что момент инерции зависит от массы тела и от ее распределения относительно оси вращения. Чем больше масса тела и чем дальше она находится от оси вращения, тем больше момент инерции твердого тела и наоборот.

Рассмотрим маховик (рис.1), состоящий из диска, шкива и вала. Предположим, что они обладают общей массой М. Диск и шкив насажены на общий вал, закрепленный в подшипниках. Маховик может вращаться относительно оси z, совпадающей с осью вала (на рис.1 ось z перпендикулярна плоскости чертежа и направлена «от нас»).

Рис.1 Схема системы маховик-груз (вал на схеме не показан)

Вращение маховика осуществляется под действием груза массой m1, укрепленного на нити, намотанной на шкив, и описывается относительно неподвижной оси z уравнением

, (4)

где момент инерции маховика, – его угловое ускорение, – сумма моментов сил, действующих на маховик. включает момент силы натяжения нити М(Т2) и момент силы трения М(Fтр) в подшипниках вала. Моменты сил N и Мg относительно оси z равны нулю. Таким образом

. (5)

Поступательное движение груза массой m1 описывается вторым законом Ньютона

, (6)

где а является ускорением центра масс груза, Т1 – силой натяжения нити, приложенной к грузу. В проекции на ось у уравнение (6) принимает вид

(7)

Так как предполагается, что нить нерастяжима и невесома, то ускорение всех точек нити и груза одинаковы, причем в отсутствии проскальзывания нити линейное (тангенциальное) ускорение обода диска равно ускорению груза. Силы натяжения нити Т1 и Т2 равны между собой (Т1 = Т2 = Т).

Предположим, что груз в процессе движения всей системы опускается до некоторого нулевого уровня с высоты h1. Тогда с учетом, что

, (8)

где t – время движения груза, а

; (9)

. (10)

Из уравнения (5) находим

. (11)

Силу натяжения Т выражаем из уравнения (7), а угловое ускорение e – из (10). Затем полученные формулы для Т и e подставляем в (11). В итоге получаем

. (12)

Для расчета нужно знать все величины, входящие в формулу (12). Они определяются экспериментально: – с помощью штангенциркуля, – с помощью линейки, t – с помощью секундомера. Масса груза m1 изначально задана. Момент силы трения определяется опытным путем. Для этого груз еще раз поднимают на первоначальную высоту (одновременно наматывая нить на шкив маховика), а затем предоставляют его самому себе. Груз сначала опускается на h1 до нижней точки – нулевого отсчета высоты (нить при этом сматывается со шкива), а затем (когда нить начинает наматываться на шкив) поднимается на меньшую высоту . Спуск и подъем груза происходят в течение некоторого времени t2 . Причиной подъема груза на меньшую высоту является наличие силы трения в подшипниках вала. Потеря механической энергии системы определяется работой силы трения

. (13)

Так как начальная и конечная кинетические энергии и равны нулю, то изменение механической энергии системы равно изменению только потенциальной энергии груза

. (14)

Работа силы трения выражается через момент силы трения и угловое перемещение маховика Dj :

. (15)

Приравнивая правые части уравнений (14) и (15), имеем

. (16)

Угловое перемещение маховика Dj равно отношению длины дуги, которую опишут за время поворота t2 точки обода шкива, к его радиусу:

Dj . (17)

Подставляя Dj в уравнение (16), имеем

. (18)

И, наконец, подставляя выражения для в уравнение (12), получаем формулу для определения экспериментального значения момента инерции маховика

. (19)

Экспериментально определенное значение Jzэ можно сравнить с теоретическим значением того же момента инерции Jzт, рассчитанного по формуле

.

Так как материал, из которого изготовлен шкив, обладает гораздо меньшей плотностью, чем плотность стальных диска и вала, то моментом инерции шкива Jz шкива можно пренебречь. Сам диск можно представить в виде совокупности двух элементов (см. раздел 2: «описание экспериментальной установки»).

, где

– момент инерции тонкого диска, – момент инерции кольца (здесь М1 и М2 являются соответственно массами тонкого диска и кольца, R1 – внешний радиус тонкого диска и одновременно внутренний радиус кольца, R2 – внешний радиус кольца).

. (20)

Данные установки представлены в разделе 2.

2. Описание экспериментальной установки

Схема экспериментальной установки приведена на рис.2. Основными ее элементами являются: диск 1, шкив 2 и груз 3. Груз подвешен на нити, намотанной на шкив. Диск вместе со шкивом смонтированы на едином соосным с ними валу 4. Вал крепится в подшипниках 5. Для регистрации местоположения груза в установке предусмотрена вертикально расположенная линейка 6. Все элементы установки смонтированы на массивной металлической опоре.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки

Диск 1 представляет собой единую конструкцию в виде фигуры вращения. Диск для удобства расчета его момента инерции условно можно разделить на два отдельных элемента: тонкий диск (рис.3) и кольцо (рис.4):

Рис.3. Тонкий диск массой Рис.4. Кольцо массой

(Напоминаем, что моменты инерции этих тел не зависят от их толщины).

1. Заполните табл.1 спецификации измерительных приборов. Внесите в протокол данные установки.

Спецификация измерительных приборов

Название прибора и его тип

Масса груза m1 = Dm1 =

Момент инерции вала Jzвала = 1,36×10–4 кг×м2 DJzвала =

Масса тонкого диска = 2,91 кг D =

Радиус R1 = 162,0 мм DR1 = 0,25 мм

Масса кольца = 9,92 кг DМ2 =

Радиус R2 = 122,5 мм DR2 = 0,25 мм

2. С помощью штангенциркуля измерьте диаметр шкива d, значение диаметра запишите в табл.2. При построении таблицы предусмотрите необходимое для записи измерений число строк.

Измерение времени движения груза t, диаметр шкива d и высот h1 и h2

3. Проверьте, чтобы нижняя торцевая поверхность груза при полностью размотанной нити, к которой он подвешен, находилась на уровне нулевой отметки на шкале линейки (в противном случае за нулевую отметку примите то деление шкалы линейки, которое соответствует положению нижнего торца груза, когда нить полностью размотана).

4. Намотайте нить на шкив таким образом, чтобы нижняя торцевая поверхность груза располагалась напротив отметки на линейке, соответствующей высоте h1 (значение h1 согласуйте с преподавателем).

5. Предоставьте груз самому себе (отпустите), тем самым, заставив маховик вращаться; одновременно включите секундомер.

6. Выключите секундомер в момент достижения грузом нулевой отметки на шкале линейки. Полученное время движения груза t внесите в табл.2. Проделайте эксперимент по измерению диаметра шкива d (п.2) и по измерению времени t (п. п. 4,5,6) еще 4 раза. Всего измерений как d, так и t должно быть пять. Все измеренные значения d и t внесите в табл.2.

7. Поднимите груз на высоту h1 (одновременно наматывая нить на шкив) и вновь предоставьте его самому себе (отпустите). Наблюдая за поступательным движением груза, зафиксируйте максимальную высоту h2, на которую поднимется груз после прохождения им нулевой отметки на шкале линейки. Этот эксперимент повторите еще 4 раза. Значения h2 (всего 5 значений) внесите в табл.2.

4. Обработка результатов измерений

1. Рассчитайте значения радиуса шкива и внесите их в табл.2.

2. Используя данные, приведенные в табл.2, вычислите средние значения времени t, высот h1 и h2, радиуса r. Эти значения внесите в нижнюю строчку табл.2.

3. С учетом средних значений величин t, h1, h2 и r рассчитайте экспериментальное значение момента инерции маховика по формуле (19).

4. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции маховика из уравнения (20). (Расчеты должны быть последовательными и должны включать буквенные обозначения величин и их численные значения. Это указание в полной мере относится и к расчетам погрешностей величин. Все расчеты должны быть выполнены в протоколе лабораторной работы).

5. Рассчитайте погрешность экспериментального значения момента инерции маховика по формуле:

6. Рассчитайте погрешность теоретического значения момента инерции маховика по формуле:

.

7. Окончательные результаты для экспериментальных и теоретических значений Jz запишите в стандартном виде

и приведите друг под другом.

5. Контрольные вопросы.

1. Как определяется момент инерции материальной точки, системы материальных точек, твердого тела?

2. От чего зависит момент инерции твердого тела массой m относительно данной оси вращения z?

3. Каков физический смысл момента инерции твердого тела?

4. Дайте определение момента силы относительно полюса и неподвижной оси.

5. Каким образом в работе определяется работа сил трения в подшипниках вала?

6. Получите уравнение для расчета момента инерции маховика, пренебрегая трением в подшипниках вала.

Уравнение вращательного движения для шкива

«Физика — 10 класс»

Угловое ускорение.

Ранее мы получили формулу, связывающую линейную скорость υ, угловую скорость ω и радиус R окружности, по которой движется выбранный элемент (материальная точка) абсолютно твёрдого тела, которое, вращается относительно неподвижной оси:

Мы знаем, что линейные скорости и ускорения точек твёрдого тела различны. В то же время угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова.

Угловая скорость — векторная величина. Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вращения тела, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости (рис. 6.1).

Однако равномерное вращательное движение встречается довольно редко. Гораздо чаще мы имеем дело с движением, при котором угловая скорость изменяется, очевидно, это происходит в начале и конце движения.

Причиной изменения угловой скорости вращения является действие на тело сил. Изменение угловой скорости со временем определяет угловое ускорение.

Bектор угловой скорости — это скользящий вектор. Независимо от точки приложения его направление указывает направление вращения тела, а модуль определяет быстроту вращения,

Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:

При равноускоренном движении угловое ускорение постоянно и при неподвижной оси вращения характеризует изменение угловой скорости по модулю. При увеличении угловой скорости вращения тела угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и угловая скорость (рис. 6.2, а), а при уменьшении — в противоположную (рис. 6.2, б).

Так как угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением υ = ωR, то изменение линейной скорости за некоторый промежуток времени Δt равно Δυ =ΔωR. Разделив левую и правую части уравнения на Δt, имеем или а = εR, где а — касательное (линейное) ускорение, направленное по касательной к траектории движения (окружности).

Если время измерено в секундах, а угловая скорость — в радианах в секунду, то одна единица углового ускорения равна 1 рад/с 2 , т. е. угловое ускорение выражается в радианах на секунду в квадрате.

Неравномерно движутся при запуске и остановке любые вращающиеся тела, например ротор в электродвигателе, диск токарного станка, колесо автомобиля при разгоне и др.

Момент силы.

Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения. Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку. Следовательно, для вращательного движения существенно не только значение силы, но и расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Кроме этого, важно и направление приложенной силы. Можно тянуть колесо с очень большой силой, но так и не вызвать его вращения.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на плечо:

M = Fd,
где d — плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.3).

Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения.

При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила ₂), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, — отрицательными (силы ₁ и ₃) (рис. 6.4).

Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы:

Пусть на материальною точку, движующуюся по окружности, действует сила (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем mа_к = F_к. Умножив левую и правую части уравнения на r, получим ma_кr = F_кr, или

Заметим, что в данном случае r — кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы.

Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I.

Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде I_ε = М, откуда

Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, где I — момент инерции твёрдого тела, а М — суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рассматриваем только силы или их проекции, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Угловое ускорение, с которым вращается тело, прямо пропорционально сумме моментов сил, действующих на него, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси вращения.

Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО’ равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = m₁r 2 ₁ + m₂r 2 ₂ + . .

Момент инерции твёрдого тела можно вычислить, разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения.

Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения.

Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой m.

1. Момент инерции тонкого прямого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6.7), равен:

2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО’, совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска:

3. Момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика