Уравнение вращения рамки подвешенной на упругой нити

Уравнение вращения рамки подвешенной на упругой нити

2018-05-31
Проводник в форме квадратной рамки со стороной $a$, подвешенный на упругой нити, находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$. В положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору $\vec$ (рис.). Будучи выведена из положения равновесия, рамка совершает малые колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Момент инерции рамки относительно этой оси $I$, ее электрическое сопротивление $R$. Пренебрегая индуктивностью рамки, найти время, через которое амплитуда ее углового поворота уменьшится в $e$ раз.

Если $\phi$ — угол отклонения рамки от его нормального положения, тогда ЭДС

индуцируется в рамке в смещенном положении и в нем течет ток $\frac< \epsilon> = \frac \dot < \phi>>$

затем действует на рамку в дополнение к любой упругой восстанавливающей паре $c \phi$. Запишем уравнение рамки как

Таким образом, $\beta = \fraca^ <4>><2IR>$ где $\beta$ определено.

Амплитуда колебаний затухает в соответствии с $e^< - \beta t>$, которая уменьшается в $\frac<1>$ раз. Тогда

Определение скорости полета «Пули» баллистическим методом с помощью унифилярного подвеса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА «ПУЛИ» БАЛЛИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ С ПОМОЩЬЮ УНИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Цель работы: определение скорости полета «пули» с помо-щью крутильного маятника на основе закона сохранения момента количества движения.

Задание: экспериментально определить скорость полета «пули» с помощью измерения угла максимального отклоне-ния рамки крутильного маятника. Определить зависимость числа колебаний крутильного маятника от времени и период колебаний рамки с грузами и без грузов. Оценить погрешность проведённых измерений.

Подготовка к выполнению лабораторной работы: ознако-миться с методикой определения скорости полета «пули» с по-мощью крутильного маятника и используемой измерительной аппаратурой. Ответить на контрольные вопросы.

1. Савельев общей физики. – М. Наука, 1987.-Т. 1, гл. V, §§ 38 — 42; гл. VII, §§ 53, 54.

2. Сивухин курс физики.- М.: Наука,1974. Т. 1, §§ 32, 33, 36.

1. Что является мерой инертности тела при поступательном движении?

2. Что является мерой инертности тела при вращательном дви-жении?

3. Что называется моментом инерции твердого тела?

4. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения твердого тела?

5. Выведете основное уравнение вращательного движения.

6. Как определить направление вектора угловой скорости вра-

щения относительно некоторой оси?

7. Сформулируйте закон сохранения момента количества дви-жения и условия его выполнения

8. Опишите принцип действия лабораторной установки и поря-док выполнения работы

Основным элементом установки (см. рис. 1) является кру-тильный маятник, представляющий собой металлическую рамку 1, подвешенную на стальной нити 2. Нить подвеса закреплена вертикально в натянутом состоянии на стойке 3 с основанием 4. Рамка может совершать крутильные колебания вокруг верти-кальной оси, проходящей через ее ось симметрии. На ней имеют-ся места для крепления двух дополнительных грузов 5 симмет-рично относительно оси. К ней же крепится «мишень» 6 в виде диска, поверхность которого покрыта тонким слоем пластилина, флажок 7 для контроля ее колебаний и противовес 8. «Пулей» служит тонкое металлическое кольцо.

К стойке на кронштейне 9 крепится «пистолет», состоящий из направляющего стержня с пружиной 10 и спускового устрой-ства 11. К стойке также на кронштейне крепится фотодатчик 12 (лампа + фотоприёмник), соединенный с электронным блоком регистрации времени и числа колебаний.

Рис. 1. Схема установки 3

Принцип действия лабораторной установки

После выстрела «пуля» попадает в «мишень» и прилипает к ее поверхности (см. рис. 2.). Соударение «пули» с «мишенью» происходит за столь короткое время, что поворотом рамки с «мишенью», а, следовательно, и действием момента сил упруго-сти нити за это время можно пренебречь. Момент силы тяжести и силы натяжения нити относительно вертикальной оси равен ну-лю. Таким образом, относительно этой оси суммарный момент внешних сил, действующий на рамку и «пулю», равен нулю и при соударении выполняется закон сохранения суммарного момента импульса рамки и «пули».

Момент импульса «пули» перед соударением , где m — масса «пули», v – его скорость, l – прицельное расстояние (см. рис. 2). После соударения рамка с грузами приходит во вращение с угловой скоростью щ, при этом ее момент импульса

Здесь — момент инерции рамки без грузов, M — масса каждого из грузов, — расстояние грузов от оси вращения. Вкладом в момент инерции массы прилипшей “пули” можно пренебречь из-за ее малости.

Рис. 2. Схема опыта

По закону сохранения, следовательно:

Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти угловую скорость рамки щ и момент инерции рамки с грузами .

Угловую скорость можно найти по углу максимального от-клонения рамки после соударения. После соударения вращение рамки тормозится под действием момента упругих сил в нити подвеса. При этом выполняется закон сохранения энергии. Кинетическая энергия рамки переходит в потенциальную энергию закрученной нити:

где D — модуль кручения проволоки. Модулем кручения называ-ется коэффициент пропорциональности между моментом упругих сил и углом закручивания нити :

Знак минус здесь показывает, что направление момента уп-ругих сил противоположно углу закручивания. Из соотношения (3) находим выражение для угловой скорости:

Модуль кручения D и момент инерции определяют значение периода колебаний рамки. Их отношение, а также необходимый для вычисления скорости момент инерции рамки с грузами можно найти из измерений периода колебаний рамки с грузами и без них. Для того чтобы понять, как связан период с этими величинами, рассмотрим уравнение вращения рамки, под-вешенной на упругой нити:

Здесь I — момент инерции рамки в общем случае, — вторая производная от угла по времени, т. е. угловое ускорение. Это

уравнение можно привести к виду

где . Уравнение (5) описывает гармонические колеба-ния с циклической частотой колебаний . Период колебаний вычисляется по формуле

Обозначив период колебаний рамки без грузов , а с грузами T, по формуле (6) имеем:

Из этих формул получим для угловой скорости (4) следую-щее выражение:

Исключая модуль кручения из формул (7) находим момент инерции рамки с грузами:

Подстановка соотношений (8) и (9) в уравнение (2) дает окон-чательную формулу:

Порядок выполнения работы

1. Произведите регулировку положения основания с помощью регулировочных опор. Добейтесь вертикальности нити подвеса.

2. Установите грузы на рамке.

3. Установите «мишень» на рамке. Убедитесь, что «мишень» находится на линии «выстрела» и перпендикулярна ей, а флажок пе-ресекает при колебаниях рамки оптическую ось фотодатчика.

4. Установите «пулю» на направляющий стержень «пушки», 6

взведите пружину и произведите «выстрел». Визуально определите угол максимального отклонения рамки по шкале угловых пере-мещений с помощью флажка, закрепленного на рамке. Повторите «выстрел» и измерение угла максимального отклонения не менее трех раз.

5. Измерьте штангенциркулем расстояние l от оси вращения рамки до центра отпечатка «пули» в «мишени».

6. Отклоните рамку с грузами на угол 40° градусов и зафикси-руйте с помощью электромагнита. Нажмите на электронном блоке кнопку «СБРОС», при этом должны обнулиться показания счетчиков колебаний и времени. Нажмите кнопку «ПУСК», при этом выклю-чится электромагнит, и начнутся крутильные колебания рамки. Оп-ределите время t, за которое происходит N колебаний рамки. Для ре-гистрации времени необходимо нажать кнопку «СТОП» после того, как произойдет N — 1 полных колебаний. Прибор остановит счет вре-мени в момент завершения N-го колебания. Количество колебаний выберите в пределах 10 ч 15.

7. Измерьте штангенциркулем расстояние l1 от оси вращения рамки до центров грузов.

8. Снимите грузы с рамки и аналогично п. 6. проведите измере-ния времени t1, за которое происходит N1 колебаний рамки без гру-зов. Выберите N1 в пределах 10 ч 15.

9. С помощью лабораторных весов определите массы грузов M и массу «пули» m.

10. Вычислите среднее значение угла максимального отклоне-ния при выстреле:

где n – количество измерений угла максимального отклонения.

11. Вычислите периоды колебания рамки с грузами и без гру-зов:

12. Используя среднее значение угла , вычислите по форму-ле (10) скорость «пули» v.