Уравнение временного ряда формируется под воздействием

Уровень временного ряда (y_t) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Для аддитивной модели временного ряда для уровня y₃ получено уравнение тренда T = 3,14 + 2,07t. Известны значения компонент: S₃ = 1,6; E₃ = –0,3. Тогда значение уровня временного ряда y₃ будет равно …

Аддитивная модель временного ряда записывается в виде выражения и предполагает, что сумма компонент ряда T, S и Е равна значению уровня ряда y_t. Расчет компоненты Т осуществим по формуле T = 3,14 + 2,07t , где t = 3, так как необходимо рассчитать значение уровня y₃.
Получаем: y₃ = 3,14 + 2,07 * 3 +1,6 + (–0,3) = 10,65.

Бывшев, В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М. : Финансы и статистика, 2008. – С. 236 –237.

Эконометрика: учеб. / И.И. Елисеева и [др.]; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2005. – С. 311 –313.
ответ тест i-exam

Имеет выраженную сезонную компоненту с лагом 4

содержит только тенденцию, и не содержит сезонной компоненты

имеет выраженную сезонную компоненту с лагом 6

не имеет ни тенденции, ни сезонной компоненты, имеет только случайную компоненту

Решение:

Высокое значение коэффициентов автокорреляции четвертого и кратного ему восьмого уровней позволяет сделать вывод, что ряд имеет выраженную сезонную компоненты, периодичность которой равна четырем.
Низкое значение коэффициента автокорреляции первого порядка позволяет предположить, что ряд не содержит трендовой компоненты.

3. Автокорреляционной функцией временного ряда называется последовательность коэффициентов автокорреляции …

первого, второго, третьего и последующих порядков

между трендовой, сезонной и случайной компонентами

между несколькими временными рядами

факторов, формирующих уровень ряда

Решение:

Автокорреляционной функцией временного ряда называется последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и последующих порядков.

4. Значение коэффициента автокорреляции второго порядка равно (-0,6), следовательно, ряд содержит …

затухающую сезонную волну периодичностью 2 момента времени

полиномиальную тенденцию с точкой минимума

Решение:

Структура временного ряда определяется по значениям коэффициента автокорреляции, рассчитанным для разных порядков. Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту связи между уровнями исходного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на значение порядка коэффициента автокорреляции. Если временной ряд содержит тенденцию, то наиболее высокое (максимальное или чуть меньше, чем максимальное) значение наблюдается у коэффициента автокорреляции первого и/или второго порядка. Однако, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о направленности тенденции. Поэтому вариант «ряд содержит убывающую тенденцию» является ошибочным, так как ряд при данном значении коэффициента автокорреляции может содержать и положительную тенденцию. Правильный вариант – «ряд содержит тенденцию».

5. Автокорреляцией уровней ряда называется корреляционная зависимость между …

последовательными уровнями ряда

уровнями двух рядов

компонентами, образующими уровни ряда

факторами, формирующими уровень ряда

Решение:

Автокорреляцией уровней ряда называется корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.

Тема 19: Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов

1. Уровень временного ряда (y_t) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Для аддитивной модели временного ряда для уровня y₃ получено уравнение тренда T = 3,14 + 2,07t. Известны значения компонент: S₃ = 1,6; E₃ = –0,3. Тогда значение уровня временного ряда y₃ будет равно …

Решение:

Аддитивная модель временного ряда записывается в виде выражения и предполагает, что сумма компонент ряда T, S и Е равна значению уровня ряда y_t. Расчет компоненты Т осуществим по формуле T = 3,14 + 2,07t , где t = 3, так как необходимо рассчитать значение уровня y₃.
Получаем: y₃ = 3,14 + 2,07 * 3 +1,6 + (–0,3) = 10,65.

2. Уровень временного ряда (y_t) формируется под воздействием различных факторов – компонент: Т (тенденция), S (циклические и/или сезонные колебания), Е (случайные факторы). Для мультипликативной модели временного ряда, содержащего периодические колебания в 4 момента, получены значения сезонных компонент: S₁ = 2,087; S₂ = 0,632; S₃ = 0,931; S₄ = 3,256. Известны значения компонент: T₅ = 20,6 и E₅ = 0,4. Рассчитайте значение уровня временного ряда y₅.

Решение:

Мультипликативная модель временного ряда записывается в виде выражения и предполагает, что произведение компонент ряда T, S и Е равно значению уровня ряда y_t. Значение компоненты S определим из имеющихся, так как необходимо рассчитать значение уровня y₅, периодичность колебаний составляет 4 момента времени, тогда для t = 5 значение компоненты S₅ = S₁ = 2,087. Получаем:

3. Для аддитивной модели временного ряда Y = T + S + E лаг модели равен 4 и известны значения трех скорректированных сезонных компонент: , , . равна …

Решение:

Для аддитивной модели временного ряда Y = T + S + E сумма скорректированных сезонных компонент равна нулю. .
Значит,

4. Для мультипликативной модели временного ряда Y = T · S · E сумма скорректированных сезонных компонент равна …

Решение:

Для мультипликативной модели временного ряда Y = T · S · E сумма скорректированных сезонных компонент равна лагу.

Тема 20: Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

1. Известно, что дисперсия временного ряда Y увеличивается с течением времени. Значит, ряд Y …

Решение:

Временной ряд называется стационарным, если он является конкретной реализацией стационарного стохастического процесса. Под стационарным в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными. Если дисперсия ряда увеличивается, то есть она не постоянна, то ряд будет нестационарным.
Правильный ответ: временной ряд Y – нестационарный.

2. Известно, что временной ряд Y порожден случайным процессом, который по своим характеристикам является «белым шумом». Значит, ряд Y …

Решение:

По своим характеристикам временной ряд, образованный случайным процессом «белый шум», является стационарным. Математическое ожидание временного ряда, образованного случайным процессом «белый шум» постоянно, дисперсия постоянна, автоковариация зависит только от длины лага. Правильный ответ: временной ряд Y – стационарный.

3. Известно, что временной ряд Y характеризуется устойчивой тенденцией, то есть его среднее значение меняется. Значит, ряд Y, скорее всего,является …

Решение:

Временной ряд называется стационарным, если он является конкретной реализацией стационарного стохастического процесса. Под стационарным в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение. Автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными. Если среднее значения ряда меняется, то ряд будет нестационарным. Правильный ответ: временной ряд Y – нестационарный.

4. Для временного ряда известны характеристики: – среднее и – дисперсия. Если временной ряд является стационарным, то …

Решение:

При моделировании временных рядов рассматривается отдельный класс – стационарные временные ряды. Основные характеристики стационарного временного ряда состоят в том, что среднее и дисперсия стохастического процесса, сгенерировавшего конкретный временной, не зависят от времени t, то есть ; .

Тема 21: Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике

1. Левая часть системы эконометрических уравнений представлена совокупностью _________ переменных.

Решение:

Система эконометрических уравнений включает множество переменных, среди которых выделяют экзогенные и эндогенные переменные. В левой части системы эконометрических уравнений находятся только эндогенные (зависимые) переменные.

2. Модель равенства спроса и предложения, где предложение и спрос являются линейными функциями цены p, состоит из уравнений …

Решение:

В модели предложение и спрос являются линейными функциями цены p. Значит, уравнение для предложения будет иметь вид , а уравнение для спроса – . Так как рассматривается модель равенства спроса и предложения, значит, первые два уравнения должны быть дополнены третьим: .

Модель будет иметь вид

3. Системой эконометрических уравнений не является система линейных _____ уравнений.

Решение:

Система линейных одновременных уравнений является одним из видов систем эконометрических уравнений.

Система рекурсивных уравнений также является видом системы эконометрических уравнений.

Система нормальных уравнений используется при расчете оценок параметров линейных моделей с помощью МНК и не является системой эконометрических уравнений (правильный вариант ответа).

Стандартизованное уравнение регрессии используется при моделировании линейных уравнений множественной регрессии для расчета стандартизованных коэффициентов регрессии и ранжировании факторов по силе связи с зависимой переменной и не является системой эконометрических уравнений (правильный вариант ответа).

Тема 22: Классификация систем уравнений

1. При построении систем эконометрических уравнений различают три класса моделей:

(1) система независимых уравнений;

(2) система рекурсивных уравнений;

(3) система одновременных уравнений.

Отнесите предложенные модели к соответствующему классу.

(1)

(2)

(3)

Решение: http://ravanda.ru/i-exam/35682

Модель, в которой – продуктивность коров, можно назвать моделью экономической эффективности сельскохозяйственного производства. Эта модель содержит в правой части только независимые переменные, поэтому она может быть отнесена к классу «система независимых уравнений».

Модель, в которой – производительность труда, может быть названа моделью производительности труда и фондоотдачи. Это модель содержит в первом уравнении только независимые переменные, а во втором уравнении в правой части встречается и зависимая переменная ; это значит, что модель можно отнести к классу «система рекурсивных уравнений».

Модель, в которой – темп изменения месячной заработной платы, может служить моделью динамики цены и заработной платы. В правых частях обоих уравнений содержатся зависимые переменные, поэтому данная модель может быть отнесена к классу «система одновременных уравнений».
Система, в которой y – объем производства, вообще не является какой бы то ни было системой эконометрических уравнений – это система нормальных уравнений для определения параметров парной линейной регрессии.

2. Изучаются модели зависимости спроса и предложения от цены p и прочих факторов. Установите соответствие между видом и классом эконометрических уравнений.

(1)

(2)

(3)

система независимых уравнений

система одновременных уравнений

система рекурсивных уравнений

система приведенных уравнений

Решение:

В системе (1) оба уравнения зависят только от независимой переменной p. Это система независимых уравнений, и мы не предполагаем, что спрос и предложение связаны между собой.

В системе (2) зависимые переменные спрос и предложение содержатся и в правой, и в левой частях уравнения. Это система одновременных уравнений.

В системе (3) первое уравнение содержит в правой части только независимую переменную p, а второе уравнение уже включает в себя и зависимую переменную , определенную в первом уравнении. Это система рекурсивных уравнений.

Система приведенных уравнений не является классом систем одновременных уравнений.

Контрольная работа: Анализ временных рядов

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

1.1 ВРЕМЕННОЙ РЯД И ЕГО ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

1.2 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ

1.3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

1.4 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1.5 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕНДА К ЛИНЕЙНОМУ ВИДУ

1.6 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

1.7 АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

1.8 СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

1.9 ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К СТАЦИОНАРНОМУ ВРЕМЕННОМУ РЯДУ

1.10 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ОСТАТКОВ. КРИТЕРИЙ ДАРБИНА- УОТСОНА

Введение

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они изменяются во времени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.

Совокупность существующих методов анализа таких рядов наблюдений называется анализом временных рядов.

Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

Цель работы состоит в получении модели для дискретного временного ряда во временной области, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдения.

Получение такой модели важно по следующим причинам:

1) она может помочь понять природу системы, генерирующей временные ряды;

2) управлять процессом, порождающим ряд;

3) ее можно использовать для оптимального прогнозирования будущих значений временных рядов;

Временные ряды лучше всего описываются нестационарными моделями, в которых тренды и другие псевдоустойчивые характеристики , возможно меняющиеся во времени , рассматриваются скорее как статистические, а не детерминированные явления. Кроме того, временные ряды, связанные с экономикой , часто обладают заметными сезонными , или периодическими , компонентами; эти компоненты могут меняться во времени и должны описываться циклическими статистическими (возможно, нестационарными) моделями.

Пусть наблюдаемым временным рядом является y₁ , y₂ , . . ., y_n . Мы будем понимать эту запись следующим образом. Имеется Т чисел, представляющих собой наблюдение некоторой переменной в Т равноотстоящих моментов времени. Эти моменты для удобства пронумерованы целыми числами 1, 2, . . .,Т. Достаточно общей математической (статистической или вероятностной) моделью служит модель вида:

В этой модели наблюдаемый ряд рассматривается как сумма некоторой полностью детерминированной последовательности , которую можно назвать математической составляющей, и случайной последовательности t >, подчиняющейся некоторому вероятностному закону. ( И иногда для этих двух составляющих используются соответственно термины сигнал и шум). Эти компоненты наблюдаемого ряда ненаблюдаемы; они являются теоретическими величинами. Точный смысл указанного разложения зависит не только от самих данных, но частично и оттого, что понимается под повторением эксперимента, результатом которого являются эти данные. Здесь используется так называемая «частотная» интерпретация. Полагается, что, по крайней мере, принципиально можно повторять всю ситуацию целиком, получая новые совокупности наблюдений. Случайные составляющие , кроме всего прочего, могут включать в себя ошибки наблюдений.

В данной работе рассмотрена модель временного ряда, в которой на тренд накладывается случайная составляющая, образующая случайный стационарный процесс. В такой модели предполагается, что течение времени никак не отражается на случайной составляющей. Точнее говоря, предполагается, что математическое ожидание (то есть среднее значение) случайной составляющей тождественно равно нулю, дисперсия равна некоторой постоянной и что значения u_t в различные моменты времени некоррелированны. Таким образом, всякая зависимость от времени включается в систематическую составляющую f(t). Последовательность f(t) может зависеть от некоторых неизвестных коэффициентов и от известных величин, меняющихся со временем. В этом случае её называют «функцией регрессии». Методы статистических выводов для коэффициентов функции регрессии оказываются полезными во многих областях статистики. Своеобразие же методов, относящихся именно к временным рядам, состоит в том, что здесь исследуются те модели, в которых упомянутые выше величины, меняющиеся со временем, являются известными функциями t.

1.1 Временной ряд и его основные элементы

Временной ряд –это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

При различных сочетаниях в изучаемом процессе или явлении этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых , большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую долговременное совокупное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное влияние на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку деятельность ряда отраслей экономики и сельского хозяйства зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой временного ряда.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой(положительной или отрицательной) случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача статистического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда. [5, стр.76]

1.2 Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .

Количественно её можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Одна из рабочих формул для расчёта коэффициента автокорреляции имеет вид:

(1.2.1)

В качестве переменной х мы рассмотрим ряд y₂ , y₃ , … , y_n ; в качестве переменной у – ряд y₁ , y₂ , . . . ,y_{n – 1} . Тогда приведённая выше формула примет вид:

(1.2.2)

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями у_t и y_{t – 1} и определяется по формуле

(1.2.3)

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции .

Во-первых , он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. Порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости её значений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической, сезонной компоненты.

1.3 Моделирование тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Пусть имеются следующие фактические уровни ряда:

Характер изменения этих уровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

· экспоненциальный тренд: y_t = e a + bt ;

· тренд в форме степенной функции: y_t = at b ;

· парабола второго и более порядков:

Аналитическое выравнивание есть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных .

Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание , могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию:

где y_t считается как у, выровненный по t.

2) Если приросты приростов уровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:

Показатели а₀ , а₁ и а₂ представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами : а₀ –начальный уровень; а₁ – начальная скорость ряда и а₂ – ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной функции):

В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y_{t –1} тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляется экспериментальным методом , то есть путём сравнения величины остаточной дисперсии D_ост , рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у – у_t ). Величина этих отклонений и лежит в основе расчёта остаточной дисперсии:

(1.3.1)

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.

1.4 Метод наименьших квадратов

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов – метод наименьших квадратов — основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:

(у₁ – у₁ ) 2 + (у₂ – у₂ ) 2 + . . . + (у_n – y_n ) 2 = S.

S должно быть наименьшим (минимальным)

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:

Из курса математического анализа известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частные производные и приравнять их к нулю. Найдём минимум функции, используя уравнение параболы.

Находим частные производные функции S сначала по параметру а₀ , а затем по а₁ и а₂ , и приравниваем их к нулю.

;

; (1.4.3)

.

;

; (1.4.4)

.

Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров а₀ , а₁ и а₂ при выравнивании по параболе второго порядка.

При выравнивании по показательной функции y_t = a₀ a₁ t параметры а₀ и а₁ определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений:

; (1.4.5)

.

Если тренд представляет собой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценки его параметров неприменимы. Но к некоторым нелинейным функциям мы можем применить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.

Если наш тренд представлен степенной линией регрессии, то есть он имеет вид:

то логарифмируя обе части равенства, получим:

Отсюда видно, что, введя новые переменные

мы получим уравнение вида

где b₀ = ln a₀ . Это обычное линейное уравнение.

Если линия тренда – парабола второго порядка

то заменой вида:

мы получим линейную функцию двух переменных:

Оценку параметров такой функции можно провести методами линейного регрессионного анализа для множественной регрессии. [5, c.29]

Далее приведём основные понятия регрессионного анализа, которые используются для оценки параметров.

1.6 Оценка параметров уравнения регрессии

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_yt . Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже:

, (1.6.1)

. (1.6.2)

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах:

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю ещё не означает отсутствия связи между признаками.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r_yt 2 , называемый коэффициентом детерминации . Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у_t , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

(1.6.3)

общая дисперсия результативного признака у;

остаточная дисперсия, определяемая, исходя из уравнения регрессии

Соответственно величина 1 – r 2 характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных, не учтённых в модели факторов.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R:

(1.6.4)

Иначе, индекс корреляции можно выразить как

Величина данного показателя находится в границах:

чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надёжно найденное уравнение регрессии.

Парабола второго порядка, как и полином более высокого порядка, при лианеризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадёт с индексом корреляции.

Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции у_х = ах b после перехода к логарифмически линейному уравнению lny = lna + blnxможет быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных х и у, а для их логарифмов, то есть r_lnylnx . Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов:

.

Между тем при расчёте индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не их логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативного признака, то есть , как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле

В знаменателе расчёта R 2 _yx участвует общая сумма квадратов отклонений фактических значений у от их средней величины, а в расчёте r 2 _{lnx lny} участвует . Соответственно различаются числители и знаменатели рассматриваемых показателей:

— в индексе корреляции и

— в коэффициенте корреляции.

Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции.

Несмотря на близость значений R и r или R и rв нелинейных функциях с преобразованием значения признака у, следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию, как следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию как , так и , так как, то при криволинейной зависимости для функции y=j(x) не равен для регрессии x=f(y).

Поскольку в расчёте индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надёжности коэффициента корреляции.

Индекс корреляции используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:

где — индекс детерминации;

n – число наблюдений;

m – число параметров при переменных х.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а ( n – m — 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Для степенной функции m = 1 и формула F – критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости:

Для параболы второй степени y = a₀ + a₁ x + a₂ x 2 +εm = 2 и

(1.6.5)

Расчёт F-критерия можно вести и в таблице дисперсионного анализа результатов регрессии, как это было показано для линейной функции.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Практически, если величина разности между индексом детерминации и коэффициентом детерминации не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия R 2 , вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t – критерий Стьюдента:

(1.6.6)

m_{| R — r |} — ошибка разности между R 2 и r 2 , определяемая по формуле

Если t _факт >t _табл , то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически, если величина t 2 . [20, c.98], [21, c.78]

Для каждого момента (периода) времени t = 1 : N значение компоненты e_t для аддитивной модели определяется как

,

где — сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели:

где — произведение циклической и трендовой компонент.

Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд , можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e_t должныбыть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых , иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых , в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.

Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.

Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия .

(1.10.1)

представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r₁ , первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.

Значение d в выборке зависит одновременно от последовательности z_t и от значений e_t ( для t = 1,2, . . . ,N). Однако Дарбин и Уотсон показали, что для заданных значений e_t значение d обязательно заключено между двумя границами d_U и d_L , не зависящими от значений, принимаемых z_t , и являющимися функциями лишь чисел N , именно d_L £d£d_U .

Для некоторых значений последовательности z_t границы d_U и d_L могут достигаться. Интервал [d_L ,d_U ] является, следовательно, наименьшим из возможных, если не принимать во внимание точные значения z_t .

Границы d_U и d_L представляют случайные величины, распределение которых можно определить с помощью точных гипотез относительно распределения e_t .

Для практического использования таблицы полученное значение d * следует сравнить с d₁ и d₂ .

а) Если d * * > d₂ , то вероятность столь малого значения наверняка больше a. Гипотеза независимости не отбрасывается.

в) Если d ₁ £d * £d ₂ , то приведённые таблицы оставляют вопрос открытым. Возможно, что гипотезу независимости при уровне значимости a следует отбросить. Однако этого нельзя узнать без изучения закона распределения вероятностей dдля последовательности переменных z_t . Практически в этом случае часто довольствуются указанием на то , что значение d * попадает в область неопределённости критерия.

В настоящее время принято приводить значение d * вместе с регрессиями для временных рядов и указывать на расположение этого значения относительно d ₁ и d _{2 .}

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина – Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, то есть к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во-вторых, методика расчёта и использования критерия Дарбина — Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина – Уотсона даёт достоверные результаты только для больших выборок.