Уравнение второго порядка путем выделения полного квадрата

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

2.7 Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду (с помощью выделения полного квадрата)

Рассмотрим случай, когда в общем уравнении (2.13) Отсутствует слагаемое с произведением координат, т. е. В = 0. Начнем с рассмотрения примера.

Пример 2.5. Привести к каноническому виду уравнение кривой

4((X – 0,5)2 – 0,25) – ((Y – 1)2 – 1) + 1 = 0;

4(X – 0,5)2 – 1 –(Y – 1)2 + 1 + 1 = 0

Получили гиперболу с центром в точке (0,5;1), с действительной полуосью B = 1, мнимой полуосью А = 0,5.

Выделяя полные квадраты, исходное уравнение (2.13), где коэффициент В = 0, можно привести к одному из следующих видов (мы здесь опустим случай вырождения):

Первые два уравнения определяют эллипс и гиперболы, центр симметрии которых находится в точке (X0, Y0), а оси симметрии параллельны осям координат.

Два последних уравнения – это параболы, вершина которых смещена из начала координат в точку (X0, Y0), а ось симметрии либо параллельна оси ОY, либо оси ОХ.

Введем теперь на плоскости новую систему координат ХОY (см. пунктир на рисунке 2.8), с новым началом координат в точке(X0, Y0) и осями ОХ, ОY, параллельными ОХ и ОY.

Произвольная точка М (Х, У) получит «новые координаты» М(Х, Y), причем связь между «новыми» и «старыми» координатами задается формулами:

Такое преобразование системы координат называется Параллельным Переносом (сдвигом). В этой «новой» системе координат уравнения кривых примут уже знакомый нам канонический вид:

Теория: Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата

Выделите полный квадрат и найдите все корни квадратного уравнения:

Равносильное уравнение после выделения полного квадрата:

1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.

Квадрат разности

Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно

Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-16x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:

Сравним формулу и наше выражение:

Получаем, что \(\displaystyle b=8<\small , >\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color^2=\color<8>^2=\color<64><\small ,>\) чтобы получить квадрат разности, то есть

Поэтому дополним равенство

с обеих сторон числом \(\displaystyle \color<64>\)

и распишем квадрат разности слева явно:

2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color< X>^2=a <\small . >\)

Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)

• имеет два решения, если \(\displaystyle a>0<\small :>\)

• имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0<\small :>\)

не имеет решений, если \(\displaystyle a 0 <\small , >\) получаем:

\(\displaystyle x-8= \sqrt < 4>\) или \(\displaystyle x-8= -\sqrt < 4> <\small ; >\)

\(\displaystyle x-8=2\) или \(\displaystyle x-8=-2 <\small . >\)

\(\displaystyle x=10\) или \(\displaystyle x=6 <\small . >\)