Уравнение второго закона ньютона векторной форме

Запишем уравнения II закона Ньютона в векторной форме для каждого тела

Ответ: 14,8 м/с

Задача 2. Тело массой 4 кг перемещается вверх по наклонной плоскости под действием связанного с ним невесомой и нерастяжимой нитью грузом массой 12 кг. Начальные скорости тела и груза равны нулю, коэффициент трения тела о плоскость равен 0,05, угол наклона плоскости равен 30 о . Определите ускорение, с которым движется тело, и силу натяжения нити. Считать, что блок невесом и трение в блоке отсутствует.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для тела и груза В проекциях на ось Ох: В проекциях на ось Оy: В проекциях на ось О’y’: Получаем систему уравнений Так как нить невесома и нерастяжима, а в блоке отсутствует трение, то: С учётом последних выражений преобразуем систему уравнений Для того, чтобы решить эту систему уравнений сложим первое и второе уравнение. Тогда получим Преобразуем данное уравнение и выразим искомое ускорение Теперь определим силу натяжения нити

Ответ: 6,4 м/с 2 ; 43,2 Н.

Задача 3. Два груза массами т₁ = 5 кг и т₂ = 2 кг связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок, который прикреплен к вершине призмы, и могут скользить по граням этой призмы. Определите ускорение грузов, если начальные скорости грузов равны нулю, α = 60 о , β = 30 о , а коэффициент трения — 0,3.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для обоих грузов В проекциях на ось Оx и O’x’: В проекциях на ось Оy и О’у’: С учётом последних выражений преобразуем систему уравнений в проекциях на ось Оx и O’x’: Так как нить и блок невесомы: Так как нить нерастяжима и в блоке нет сил трения: С учётом последних равенств сложим первое и второе уравнение системы в проекциях на ось Оx и O’x’: Тогда искомое ускорение равно

О

Ответ:а= 2,6 м/с 2 .

Задача 4. Трол­лей­бус мас­сой 12 т дви­жет­ся рав­но­мер­но под гору с укло­ном 0,05 рад при силе тяги 4 кН. Опре­де­лить силу со­про­тив­ле­ния дви­же­нию.

За­пи­сы­ва­ем крат­кое усло­вие за­да­чи и вы­пол­ня­ем по­яс­ня­ю­щий чер­теж :

По ох: mg* sin a + F_т – F_c = 0 при а ≤ 0,1 рад а =sin a = tq a

Ответ: .

Тема №3 « Решение задач на движение связанных тел».

Цель: Диагностика знаний учащихся, необходимых для решения задач.

Физический диктант.

Тело движется горизонтально под действием силы F = 2H, масса тела 2кг, ч = 0.2.

Уравнение движения тела x = 3+2t-0,5t 2

Зарисуйте все векторы.

Запишите II закон Ньютона в векторной форме.

Выберите оси координат и запишите закон в проекции на оси.

Найдите вес тела.

Найдите силу давления на поверхность.

Запишите уравнение зависимости V_x(t).

Найдите силу трения F_тр. (2 способа)

Ответы

1)

2) + _тр + m + = m 6) V_x= 2 – t 2

3) F_тр-? F = ma N — mg =0 7) 1. F_m=чN N=mg F_m=чmg; F_m=0,2*2кг*10м/с 2 = 4Н;

4) P = N = mg P=20H 2. F_m= ma+ F; F_m= 1*2Н+ 2Н = 4Н

5) F_g = N = 20Н

Закрепление и расширение знаний, умений и навыков в решении задач.

Задача №1.

Два груза, массы которых m₁ = 0.1кг; m₂ = 0.2кг связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К левому грузу приложена F₂ = 0,5H; к правому F₁ = 3H. Чему равна сила натяжения нити?

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

2. Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело ₁ + ₁ + + m₁ = m₁

II тело + ₂+ ₂ + m₂ = m₂

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

4. Составляем систему:

a = в уравнение Т = F₂ +

5. сделайте вычисления , а так же выясните, изменится ли натяжение нити ,если силы поменять местами.

Задача №2

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Обратите внимание: нити две, соответственно силы натяжения разные Т₁ и Т_2.

2. Запишем уравнение II закона в векторной форме для каждого тела.

I тело: ₁ + m₁ = m₁

II тело: ₂ + + _тр + ₁ + m₂ = m₂

III тело: m₃ + ₂ = m₃

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

4. Составляем систему:

Дорешайте в числах и найдите силу давления возникающую в оси левого блока (F_g=N) (Силу реакции действующую на ось левого блока)

Задача №3

На гладком столе лежит брусок массой 2кг, на котором лежит тело 1кг. Какую силу нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он двигался с а = g/2? Коэффициент трения между брусками 0,5.

1. Изобразим все векторы сил действующие на тела.

Запишем уравнения II закона Ньютона в векторной форме для каждого тела

+ + _тр1+ m = m

+ + _тр2 + М + ₂ + = М

3. Запишем уравнение в проекциях на координатной оси.

Так как F_тр1 = F_{тр2 ,} то уравнение для 2 го тела в проекции ось Y писать не обязательно!

4.Составляем систему:

F — 2чmg = mа + Ма

F = а(m + М) + 2чmg =1/2 g(m + М) + mg

F = 1/2 g(m + М + 2m) =1/2 g(М + 3m) =1/2 ·10 · 2 = 25 Н..

Задача № 4:

Два тела, связанные невесомой нерастяжимой нитью (см. рис.) тянут с силой 15 Н вправо по столу. Массы брусков m₁= 1 кг и m₂ = 4 кг, μ = 0,1.

С каким ускорением движутся бруски? Чему равна сила натяжения нити?

Ч

Сила натяжения нити на всех участках одинакова и все тела движутся с одним и тем же ускорением, т.е.

Т₁ = Т₂ = Т, .

Чтобы решить задачу, надо её проанализировать.

Рассмотрим все силы, действующие на каждое тело отдельно. Оба тела взаимодействуют с землёй, столом и нитью. На первое тело действуют: m₁g, Т₁, F_тр1, N₁. На второе тело действуют: m₂g, N₂, T₂,F_тр2 и сила F. Системы отсчета свяжем со столом.

— ? (м/с 2 ); Т — ? (Н) Решение

1.Изобразим все силы, действующие на тела. Ускорение тела направлено вправо.

Из условия задачи => Т₁ = Т₂ = Т; .

2.Запишем II-ой закон Ньютона в общем виде ∑ =m и для каждого тела в векторной форме, для этого страницу разделим пополам:

3.Выберем координатные оси: ось ОУ направим по направлению ,

а ось ОХ по направлению системы тел.

4.Проецируем векторные уравнения II закона Ньютона для I-го и II-го тела на координатные оси:

O X: T – F_тр1 = m₁ (1)OX: F – T – F_тр2 = m₂ ∙ (1 / )

Поскольку из уравнения 2 =>что Аналогично:

N₂ = m₂ ∙ g; то F_тр2 =μ · N₂=μ ∙ m · g

N₁ = m₁g; то F_тр1= μ · N₁ = μ ∙ m₁g, тогда уравнение (1 / )II- го тела примет вид

тогда ур-ние (1)примет видF – T – μ ∙ m₂ ∙ g = m₂ (3 1 )

Т – μ · m₁g = m₁ (3)

Получили два уравнения для 2-х тел, где учтены все силы, действующие на тела в отдельности.

Решаем совместно систему уравнений (3)и (3 1 ) методом почленного сложения уравнений, получаем: T – μ m₁g + F – T – μ m₂g = m₁

F – μg (m₁+ m₂) = (m₁+ m₂) (4),в этом уравнении учтены все силы, действующие на систему 2-х тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью.

Откуда =

Силу натяжения нити находим из уравнения (3) или (3 1 )

Т= μ ∙ m₁ · g + m₁ = m₁ (μ · g + ) = 1 (0,1 · 10 + 2) = 3Н

или Т = F – m₂ – μ · m₂ g = F – m₂ ( + μ ∙ g) = 15 — 4∙ (2 + 0,1· 10) = 3Н

Второй закон Ньютона в векторной форме: объяснение + 5 примеров решения задач

Физиков всегда увлекали теоретические знания трех «китов» классической динамики, их грамотное практическое применение. Понимание основ способствует представлению примитивных движений окружающих предметов, подчиняющихся ньютоновской механике. Второй закон Ньютона в векторном виде определен Лукасовским профессором по специализации: математика и физика. Трактовка: сдвиг изменяется пропорционально силе, приложенной к объекту. Направление перемещения соответствует прямой линии, вдоль действия данной силы.

Второй закон Ньютона в векторном виде формулируется иначе современными физиками: сила, оказывающая воздействие на объект, составляет равенство произведения массы тела на ускорение, придаваемого силой. Направления физических величин совпадают. Его альтернативное название – главным тождеством (правилом) динамики.

Как записывается второй закон ньютона в векторной форме

Второй закон Исаака Ньютона записывается в векторной или скалярной форме.

Скаляр – величина без направления, вектор – указывает ориентацию смещения.

• – результирующая сила, [H];
• – ускорение, [м/с 2 ];
• – масса материальной точки, [кг].

если расписать через векторные величины – это производная проекций скорости по времени: дважды берется дифференциал x, y, z по t):

Второй образец записи главного тождества динамики через импульс тела p:

Таблица отражает особенности, присущие основному правилу динамики, используемые при решении заданий.

Внимание! Далее ориентированные параметры представлены латинскими буквами, выделенными полужирным курсивом.

Примеры задач и их решение

Джон Сантаяна – американский философ, писатель подметил: «Ребенок, получивший образование только в учебном заведении – необразованный ребенок».

Его соотечественник оратор Джим Рон высказывал схожую мысль: «Образование поможет выжить. Самообразование приведет Вас к успеху».

Собственной деятельностью Герман Оскарович Греф – российский экономист продемонстрировал верность, высказанного им утверждения: «Не верю в науку, не связанную с практикой, в образование, не связанное с практикой…»

Для достижения «признания» следует научиться решать задания любого уровня сложности.

Целесообразно рассмотреть ключевые задания на примерах, которые дополнительно могут усложняться.

Справка! Для успешного прохождения «миссий» по усвоению материала, нужно использовать ряд предписаний:

1. Обозначить систему отсчета.
2. Использовать графический подход. Рисунки с отмеченной направленностью параметров помогут составить все выражения для ответов на вопросы.
3. Дополнительно подписать необходимые формулы, соответствующие числу неизвестных.

Рекомендуем вам посмотреть видео о алгоритме решения всех задач на второй закон Ньютона в векторном виде.

Задача 1 – идеальна для «новичков»

Бруски массами 4 и 6 килограмм связаны нерастяжимой нитью, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. К материальной точке с большей массой приложена F=12 Н, воздействующая горизонтально. Каково ускорение движения обоих брусков? Чему равна сила натяжения нити?

• На рисунке отображено влияние сил:

Нить нерастяжима, значит, материальные точки сдвигаются синхронно и равноускоренно.

общий вид уравнения движения.

• Формулу надо переписать для предмета массой m₁:

Из эквивалента действия и противодействия, получается

• Составление системы уравнений: формула (2) переписывается через T, другое – получается путем почленного сложения (2) и (3):

• Из второго равенства системы формируется:

• Числовые значения ставим вместо букв в записи (5) и (6).
• Результат: =1,2 м/с 2 , =4,8 Н.

Задача 2 – подходит для проверки усвоенного материала

Есть однородный шарик массой 0,5 килограмм. К его центру прикладывают F=3,9Н. Нужно определить модуль и направление F₁, необходимой для перемещения с ускорением 7 м/с 2 сонаправленного F.

Второй закон Ньютона в векторном виде:

F, a и F₁ располагаются вдоль одной прямой.

Микрозадача: найти проекцию F₁ на ось Х.

если F» width=»121″ height=»25″ align=»absmiddle» data-lazy-src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%3C150%3E&space;%5CLARGE&space;ma%3E&space;F» /> то 0″ width=»101″ height=»27″ align=»absmiddle» data-lazy-src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%3C150%3E&space;%5CLARGE&space;F_%3C1x%3E%3E&space;0″ /> ,

ось Х и F₁ одинаково ориентированы, если то , – противонаправлены.

Буквы заменяются цифрами:

Ответ отрицательный, поэтому ориентация F₁ противоположена относительно оси Х.

Задача 3 – повышенный уровень сложности

После толчка брусок начал скольжение вверх из точки 0 по гладкой наклонной плоскости. Его начальная скорость равна 5,3 м/с. Уклон поверхности 30°. Определить нахождение бруска через 4 секунды, относительно 0.

Пусть 0 – начало координат. Строятся оси X и Y, отображаются: mg – вес, N – реакция опоры (перпендикулярна поверхности скольжения).

Второй закон сэра Ньютона в векторной форме: . Силы, оказывающие воздействие на брусок, носят постоянный характер, смещение вдоль Х, равноускорено.

Нужно использовать кинематическое равенство:

Нахождение проекции ускорения на ось Х получается из главного правила динамики.

Делается подстановка в кинематическое уравнение:

Ответ: 18 метров.

Задача 4 – упрощенная версия

Нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, расположенный на наклонной поверхности, связаны бруски массами 16 и 24 грамма. Уклон составляет 30°. Надо найти ускорения, перемещающихся предметов. Трение не учитывать.

Пусть m₂ перетягивает. Изображаются оси координат.

Записываются уравнения движения брусков по проекциям на оси X и Z:

Нить нерастяжима, поэтому . Силы натяжения равны, поскольку блок и нить невесомы.

Левые и правые части формул суммируются:

Результат выходит больше нуля, ориентация сдвига выбрана верно.

Задача 5 – сверхсложный вариант

Грузовик массой 2 тонны переезжает выпуклую эстакаду со скоростью 27 км/ч. Радиус кривизны дуги составляет 60 метров. Чему равна сила посередине моста, которая давит на грузовой автомобиль? Какова должна быть минимальная быстрота перемещения, чтобы давление на поверхность в верхней точке отсутствовало?

Влияние силы тяжести обозначается – mg, нормальная реакция эстакады – N.

Из эквивалента действия и противодействия выходит:

F искомая величина.

По второму правилу, установленному Ньютоном, центростремительное ускорение представляет сумму сил:

Давления на поверхность отсутствует, в случае N=0:

=588 м/с = 87,3 км/ч

Автомобиль оторвется от моста, если скорость передвижения будет выше минимальной.

Еще примеры решения простых задач на законы Ньютона вы можете посмотреть в видеоролике.

Из представленных выше задач можно увидеть, что второй закон, автора фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» – Ньютона в векторной форме ключевое тождество, описывающее физические явления, способствующее решению задач по механике.

Сакович А.Л. Движение под действием нескольких сил. Механика. Рекомендации по решению задач-2/2

Сакович А.Л. Движение под действием нескольких сил. Механика. Рекомендации по решению задач // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2008. – № 6. – С. 25-34.

Операции, связанные с указанием направления скорости и ускорения, должны были быть отработаны еще в кинематике, поэтому в данной статье рассматриваться не будут. В качестве напоминания можно предложить учащимся следующее.

При прямолинейном движении ускорение направлено:

• в сторону движения (скорости), если скорость тела увеличивается;

• в противоположную сторону движения (скорости), если скорость тела уменьшается.

При равномерном движении по окружности тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.

Следующие элементарные операции связаны с построением чертежа. Здесь следует обратить внимание на такие правила:

• Большинство тел в динамике – это материальные точки, которые изображаются в виде прямоугольников или окружностей.

• Сила изображается в виде направленного отрезка, начало которого расположено в точке приложения силы.

• Силы, действующие на материальные точки, будем изображать из середины тела.

• Равнодействующая всех действующих сил должна быть направлена в сторону ускорения.

Для закрепления полезно разобрать задачи, в которых тела движутся по вертикали, горизонтально и по окружности.

Задачи на закрепление

10. Автомобиль движется по горизонтальной дороге. Изобразите все действующие на автомобиль силы, укажите направления скорости и ускорения , когда он: а) увеличивает свою скорость; б) тормозит.

Решение . Автомобиль взаимодействует с дорогой и Землей (по умолчанию), следовательно, на него будут действовать: 1) сила реакции опоры дороги ( N ), направленная вверх перпендикулярно поверхности; 2) сила тяжести ( m ∙ g ), направленная вертикально вниз; 3) сила трения (сила сопротивления) ( F _тр ), направленная вдоль поверхности против скорости; 4) сила тяги ( F ), направленная в сторону движения (по умолчанию).

Определим направления ускорений в каждом случае: а) автомобиль увеличивает свою скорость, следовательно, ускорение направлено в сторону скорости; б) автомобиль тормозит, следовательно, ускорение направлено в противоположную сторону скорости.

Обратите внимание, что на всех рисунках N = m ∙ g , т.к. автомобиль не движется с ускорением по вертикали. На рис. 16 а силы изображены так, чтобы F _тр F , т.к. ускорение направлено в сторону силы тяги (движения); на рис. 16 б F _тр > F , т.к. ускорение направлено в сторону F _тр (против движения).

11. Велосипедист равномерно движется по дороге. Изобразите все действующие на велосипедиста силы, укажите направления скорости и ускорения , когда он: а) проходит середину выпуклого моста; б) проходит середину вогнутого моста.

Решение . Велосипедист взаимодействует с дорогой и Землей (по умолчанию), следовательно, на него будут действовать: 1) сила реакции опоры дороги ( N ), направленная вверх перпендикулярно поверхности; 2) сила тяжести ( m ∙ g ), направленная вертикально вниз; 3) сила трения (сила сопротивления) ( F _тр ), направленная вдоль поверхности против скорости; 4) сила тяги ( F ), направленная в сторону движения (по умолчанию).

При равномерном движении по окружности велосипедистдвижется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.

Обратите внимание, что на всех рисунках F_тр = F, т.к. велосипедистдвижется равномерно по дороге, ускорения вдоль оси 0Х нет. На рис. 17 а силы изображены так, чтобы m∙g > N, т.к. ускорение направлено вниз (к центру окружности); на рис. 17 б – m∙g m по горизонтальной дороге. Сила тяги аэросаней F . Изобразите силы взаимодействия между следующими телами: Земля, аэросани, сани, дорога.

Решение . Рассмотрим взаимодействующие пары тел.

Земля – сани. Сила, возникающая в результате взаимодействия этих тел, – это сила тяжести саней, которая направлены по вертикали. По третьему закону Ньютона, такая же по величине, но противоположная по направлению сила действуют и на Землю (рис. 18 а).

Земля – аэросани. Сила, возникающая в результате взаимодействия этих тел, – сила тяжести аэросаней, которая направлены по вертикали. По третьему закону Ньютона, такая же по величине, но противоположная по направлению сила действуют и на Землю (рис. 18 б).

Дорога – сани. Сани давят на дорогу – это вес саней, дорога действует на сани – это сила реакции опоры. Эти силы направлены перпендикулярно дороге. Так как сани движутся (скользят), то между санями и дорогой действует так же сила трения скольжения, направленная вдоль поверхности против движения саней. По третьему закону Ньютона, такая же по величине, но противоположная по направлению сила действуют и на дорогу (рис. 18 в).

Дорога – аэросани. Аэросани давят на дорогу – это вес аэросаней, дорога действует на аэросани – это сила реакции опоры. Эти силы направлены перпендикулярно дороге. Так как аэросани движутся (скользят), то между аэросанями и дорогой действует так же сила трения скольжения, направленная вдоль поверхности против движения аэросаней. По третьему закону Ньютона, такая же по величине, но противоположная по направлению сила действуют и на дорогу (рис. 18 г).

Аэросани – сани. Аэросани действуют на сани при помощи сцепки, которая растягивается. Поэтому на сани и на аэросани действуют силы упругости сцепки, направленные вдоль сцепки, в но противоположные стороны ее растяжения (рис. 18 д).

На рис. е указаны все тела данной задачи и изображены все действующие силы. На аэросани действует также сила тяги F. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, что для наглядности рисунка, линии действия некоторых сил не совпадают.

При решении задач нужно выделять силы, действующие на отдельные тела. Силы, действующие только на сани, изображены на рис. 18 ж; силы, действующие только на аэросани, изображены на рис. 18 з; силы, действующие только на дорогу, изображены на рис. 18 и.

Обобщим выделенные элементарные операции, в результате получив следующий расширенный план первого пункта:

1.1. Сделайте чертеж, на которых тела изобразите в виде прямоугольников (или окружностей).

1.2. Определите все действующие на тело силы.

1.3. Определите направление каждой силы.

1.4. Укажите направления скорости и ускорения.

1.5. Изобразите все действующие силы в виде направленных отрезков, начало которых расположено в середине тела (материальной точки).

2. Запишите второй закон Ньютона в векторном виде:

Используя один из способов решения, составьте систему уравнений. Проверьте, является ли полученная система уравнений полной. При необходимости воспользуйтесь дополнительными формулами.

При выполнении первой элементарной операции (запишите второй закон Ньютона в векторном виде) обычно, если правильно выполнен первый пункт плана, затруднений не бывает. Основная ошибка здесь в том, что эту операцию просто не выполняют, не видят необходимости или переоценивают свои способности при выполнении этого действия в уме.

Можно порекомендовать здесь такие трафареты:

(запишите справа все векторы сил, указанные на рисунке)

(оставьте только те силы, которые указаны на рисунке).

При составлении системы уравнений обычно используют только координатный метод решения. Хотя при решении задач, в которых силы направлены под углом к поверхности, иногда бывает проще решить задачу векторным способом.

Рассмотрим особенности координатного метода решения задач.

Здесь можно выделить такие элементарные операции:

1) выберите систему координат;

2) запишите второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

Все эти операции должны были быть отработаны еще в кинематике. При выборе системы координат можно порекомендовать направлять одну из осей вдоль ускорения или скорости, и проводить все оси через материальную точку. Все силы, направленных под углом к осям, желательно разложить на составляющие вдоль этих осей.

В качестве напоминания можно предложить учащимся следующее:

• положительна , если составляющая вектора на данную ось направлена вдоль этой оси;

• отрицательна – если против оси;

• равна нулю – если вектор перпендикулярен оси.

Задачи на закрепление

13. На рис. 19 изображены тела, их ускорения, скорости, силы, действующие на эти тела, и оси координат. Запишите уравнения второго закона Ньютона для каждого тела в векторной форме и в проекциях на оси координат.

Решение а) Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид . Проекции этого уравнения

б) Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид . Проекции этого уравнения

в) Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид . Проекция этого уравнения

14. Запишите уравнения второго закона Ньютона в векторной форме и для проекций на оси координат для тела, изображенного на рис. 20.

Решение. Уравнения второго закона Ньютона в векторном виде: . Разложим вектор на две составляющее и . Тогда проекции этого уравнения (рис. 21):

Векторный метод решения

Векторный методизучается в ознакомительном порядке.

Второй закон Ньютона связывает между собой векторные величины (1), поэтому некоторые задачи динамики можно решать векторным методом, т.е. геометрическим суммированием векторов.

Наиболее эффективен этот метод в случаях, когда второй закон Ньютона (или в преобразованном виде) связывает между собой три вектора.

Одной из операций векторного метода является построение векторного многоугольника сил. Для ее закрепления можно предложить упражнения следующего вида.

15. Тело массы т под действием трех сил движется равномерно (а = 0) (рис. 22). Постройте векторный многоугольник сил.

Решение.Запишемвторой закон Ньютона: . Векторный многоугольник сил для этого уравнения изображен на рис. 23.

16. Тело массы т под действием трех сил движется с ускорением (рис. 24). Постройте векторный многоугольник сил.

Решение.Запишемвторой закон Ньютона: . Векторный многоугольник сил для этого уравнения изображен на рис. 25.

В некоторых случаях можно преобразовывать второй закон Ньютона, уменьшая число векторов. Делают это за счет вспомогательного построения сумм двух-трех векторов, причем так, чтобы значение результирующего вектора можно было легко рассчитать.

Например, многоугольник сил , изображенный на рис. 26 а, можно упростить следующим образом : 1) найти разность векторов (рис. 26 б); 2) найти сумму векторов (рис. 26 в). Тогда получим следующий многоугольник сил (рис. 26 г).

Следующей операцией является запись уравнений. Это полностью геометрическая задача. Например, пусть в предыдущем примере заданы следующие величины: т = 2 кг, а = 7 м/с 2 , Т₁ = 30 Н, N = 40 Н, и надо найти значение и направление вектора .

Решение. Найдем значения (см. рис. 26 б), (см. рис. 26 в). Из прямоугольного треугольника (см. рис. 26 г) находим .

Задачи на закрепление

17. Запишите уравнение второго закона Ньютона для шарика в векторной форме (рис. 27). Используя векторный метод решения, запишите уравнение, связывающее между собой массу шарика m, длину нити l , угол a и скорость вращения шарика.

Решение. Запишем второй закон Ньютона . Векторный многоугольник (прямоугольный треугольник) сил для уравнения изображен на рис. 28. При движении по окружности в горизонтальной плоскости шарик обладает центростремительным ускорением , где . Из прямоугольного треугольника получаем

18. Запишите уравнения второго закона Ньютона в векторной форме для бруска, изображенного на рис. 29. Используя векторный метод решения, запишите уравнение, связывающее между собой величины, указанные на рисунке.

Решение. Уравнения второго закона Ньютона в векторном виде . Векторный многоугольник сил для уравнения изображен на рис. 30 а. Упростим данный многоугольник сил , для этого найдем сумму векторов или (рис. 30 б). Тогда получим следующий многоугольник сил (рис. 30 в). Из прямоугольного треугольника получаем

, или и т.п.

Выделим еще несколько элементарных операций в алгоритме решения:

1) проверьте, является ли полученная система уравнений полной;

2) при необходимости воспользуйтесь дополнительными формулами.

Систему уравнений будем считать полной, если ее решение позволит получить соотношение между требованием и условием задачи. Одним из критериев полноты системы может служить следующее: число уравнений должно быть не меньше числа неизвестных величин. Эта операция отрабатывается на уроках алгебры, и в данной статье рассматриваться не будет.

К дополнительным формулам отнесем расчетные формулы, которые рассматривались выше:

• сила гравитационного взаимодействия – ;

• сила тяжести – или ;

• сила упругости – или , или ;

• силы сухого трения – ;

• сила сопротивления – или ;

• архимедова сила – .

Так же можно применять и кинематические формулы (для движущего тела) и специальные условия, заданные в задаче.

Обобщим выделенные элементарные операции, в результате получив следующий расширенный план второго пункта:

2.1. Запишите второй закон Ньютона в векторном виде.

2.2. Составьте систему уравнений.

Для координатного метода решения:

2.2.1. Выберите систему координат.

2.2.2. Запишите второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

Для векторного метода решения:

2.2.3. При необходимости сделайте преобразование второго закона Ньютона.

2.2.4. Постройте векторный многоугольник сил.

2.2.5. Запишите уравнения.

2.3. Проверьте, является ли полученная система уравнений полной.

2.4. При необходимости воспользуйтесь дополнительными формулами.

3. Решите полученные уравнения

Эта операция отрабатывается на уроках математики, и в данной статье рассматриваться не будет.

Рекомендую при проверке задач, решенных по расширенном плану, фиксировать выполнение каждой элементарной операции отдельно. Это позволит определить какому ученику над какой операцией еще необходимо поработать, а какому можно уже выполнять отдельные операции в уме.

Рассмотрим пример решения задачи по расширенному плану.

19. При проведении лабораторной работы были получены следующие данные: длина наклонной плоскости 1 м, высота 20 см, масса деревянного бруска 200 г, сила тяги, измеренная динамометром при равномерном движении бруска вверх, 1 Н. Найдите коэффициент трения.

1.1. Сделайте чертеж, на которых тела изобразите в виде прямоугольников (или окружностей).

Чертеж изображен на рис. 31 а.

1.2. Определите все действующие на тело силы.

Брусок взаимодействует с твердой поверхностью наклонной плоскости , которая под действием веса бруска будет деформироваться, с воздухом и с Землей (по умолчанию). Поэтому на брусок будут действовать: 1) сила реакции опоры доски ( N ) (со стороны деформированной поверхности стола) ; 2) сила тяжести ( m ∙ g ) (со стороны Земли) ; 3) сила трения скольжения ( F _тр ) (со стороны твердой поверхностью стола) ; 4) сила тяги ( F ). Архимедовой силой (со стороны воздуха) пренебрегаем, т.к. плотность воздуха во много раз меньше плотности бруска.

1.3. Определите направление каждой силы.

Сила реакции опоры доски ( N ) направлена вверх перпендикулярно поверхности; сила тяжести ( m ∙ g ) – вертикально вниз; сила трения скольжения ( F _тр ) – вдоль поверхности против скорости; сила тяги ( F ) направлена в сторону движения (по умолчанию).

1.4. Укажите направления скорости и ускорения.

Скорость бруска направлена в сторону движения – вверх. Так как брусок движется равномерно, то ускорение равно нулю.

1.5. Изобразите все действующие силы в виде направленных отрезков, начало которых расположено в середине тела (материальной точки).

Все действующие силы и скорость указаны на рисунке 31 б.

2.1. Запишите второй закон Ньютона в векторном виде.

Второй закон Ньютона: .

2.2. Составьте систему уравнений.

Для координатного метода решения

2.2.1. Выберите систему координат.

Направим ось 0Х вдоль скорости (поверхности), тогда ось 0 Y вверх, перпендикулярно поверхности (рис. 32 а).

2.2.2. Запишите второй закон Ньютона в проекциях на оси координат.

Разложим вектор на две составляющее и . Тогда проекции этого уравнения (рис. 32 б):

Для векторного метода решения

2.2.3. При необходимости сделайте преобразование второго закона Ньютона.

Преобразуем второй закон Ньютона следующим образом: , для этого найдем сумму векторов или (рис. 33 а). Тогда получаем .

2.2.4. Постройте векторный многоугольник сил.

Векторный многоугольник сил (рис. 33 б).

2.2.5. Запишите уравнения.

Из прямоугольного треугольника (см. рис. 33 б) получаем

(3)

(4),

(5).

2.3. Проверьте, является ли полученная система уравнений полной.

Данные системы уравнений не являются полными, т.к. ни система уравнений (1)-(2), ни система (3)-(5) не позволяют выполнить требование задачи «найдите коэффициент трения».

2.4. При необходимости воспользуйтесь дополнительными формулами.

Воспользуемся еще несколькими уравнениями

.

3. Решите полученные уравнения.

Для координатного метода решения

Решим систему уравнений (1)-(2) и (6)-(8). Например

, μ ≈ 0,32.

Для векторного метода решения

Решим систему уравнений (4)-(8). Например

, μ ≈ 0,32.

1. Каменецкий С.Е., Орехов В.П. Методика решения задач по физике в средней школе. – М.: Просвещение, 1987. – 336 с.

2. Луцевич А.А., Яковенко С.В. Физика: Учебн. пособие. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 495 с.

3. Усова А.В., Тулькибаева Н.Н. Практикум по решению физических задач. – М.: Просвещение, 1992. – 208 с.

4.Физика. Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики /Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – 496 с.

5.Физика. Теория и технология решения задач /Под общ. ред. В.А. Яковенко. – Мн.: ТетраСистемс, 2003. – 560 с.