Уравнение введение новой переменной tg

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.

Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений».

Рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений базового и повышенного уровня сложности.

Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность.

Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

I этап урока – организационный (1 минута).

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока (12 минут). Повторение теоретического материала по теме: «Тригонометрические уравнения».

Учитель обращается к учащимся с вопросом:

— Какие уравнения называются тригонометрическими?

Определение. Тригонометрическими называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

— Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Простейшие тригонометрические уравнения.

Однородные (1 и 2 степеней).

Квадратные уравнения относительно одной из тригонометрических функций.

— Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Определение. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x =a, (где |a| ≤ 1), cos x =a,( где |a| ≤ 1),

tg x =a, (где -∞ 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x = 0 – тригонометрическим уравнением второй степени.

— Какие уравнения называются квадратными?

Определение. Уравнения вида asin 2 x + bsinx = с (acos 2 x + bcosx = c, atg 2 x + btg x = c) является квадратным уравнением относительно sinx, (cosx, tgx).

— Какие уравнения называются не однородными?

Определение. Уравнения вида asinx + bcosx =c, где a≠0, b≠0, c≠0 называется неоднородным тригонометрическим уравнением.

— Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

Введение новой переменной.

Разложение на множители.

С помощью формул понижения степени.

Введение вспомогательного угла.

Использование универсальной подстановки и др.

После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Способы решения некоторых тригонометрических уравнений.

1. Введение новой переменной.

№1. 2sin 2 x – 5sinx + 2 = 0.

Пусть sinx = t, |t|≤1,

Имеем: 2t 2 – 5t + 2 = 0.

Пусть tg = z,

№2. tg + 3ctg = 4.

Имеем: z + = 4.

2. Разложение на множители.

2sinx cos5x – cos5x = 0; cos5x (2sinx – 1) = 0.

3. Однородные тригонометрические уравнения.

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).

Разделим на cosx ≠ 0.

Имеем: a tgx + b = 0; …

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

1) если а ≠ 0, разделим на cos 2 x ≠0

имеем: a tg 2 x + b tgx + c = 0.

имеем: b sinx cosx + c cos 2 x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4sinx + 3cosx = 5.

Показать два способа:

1) Применение универсальной подстановки:

sinx = (2tg x/2) / (1 +tg 2 x/2);

cosx = (1- tg 2 x/2) / (1+tg 2 x/2);

2) Введение вспомогательного аргумента:

4sinx + 3cosx = 5

Разделим обе части на 5:

Т. к. (4/5) 2 +(3/5) 2 = 1, то пусть

4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0 2 x + 2sin 2 2x = 5

4) Применение формул двойного и тройного аргументов.

III этап урока (4 минут). Выполнение тестового задания.

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

После ответа учащихся на экран проектируются задание. Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание на проекторе.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

Приведение к квадратному.

Приведение к однородному.

Разложение на множители.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

IV этап урока (5 минут). Повторение формул для решения уравнений.

Проговорите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Формулы корней тригонометрических уравнений. (Приложение 2)

V этап урока (5 минут). Устная работа по решению простейших задач на тему: «Тригонометрические уравнения».

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

sin x = 0 cos x = 1 tg x = 0 ctg x = 1 sin x = — 1 /₂ sin x = 1 cos x = 1 /₂ sin x = — √3 /₂ cos x = √2 /₂ sin x = √2 /₂ cos x = √3 /₂ tg x = √3 sin x = 1 /₂ sin x = -1 cos x = — 1 /₂ sin x = √3 /₂ tg x = -√3 ctg x = √3 /₃ tg x = — √3 /₃ ctg x = -√3 cos x – 1 =0 2 sin x – 1 =0 2ctg x + √3 = 0

VI этап урока (15 минут). Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут. Учителем подготовлены карточки трех цветов для удобства ориентации по уровням сложности.

Учащимся 1-й группы учитель выдал зеленые карточки с задачами повышенного уровня сложности в 4-х вариантах.

Для учащихся 2-й группы учитель выдал розовые карточки в 4-х вариантах с разнообразными заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены желтые карточки в 4-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й группы — это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они будут выполнять задания под контролем учителя.

Все варианты содержат два вычислительных задания и четыре задания на рассмотренную на уроке тему.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

VII этап урока (3 минуты). Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из предыдущей краевой контрольной работы.

А.Н. Колмогоров. «Алгебра и начала анализа 10-11».- М.: Просвещение, 2003г.

А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа».Учебник — М.: Мнемозина, 2003г.

А.Г. Мордкович. «Алгебра и начала анализа». Задачник – М.: Мнемозина, 2003г.

Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.Н. Белая, Г.Н.Ларкин. «Тестовые задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Просвещение – Юг», 2005г.

Е.А. Семенко, С.Л.Крупецкий, М.В.Фоменко, Г.Н.Ларкин. «Тестовые задания для подготовки к ЕГЭ- 2008 по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Просвещение – Юг», 2008г.

Е.А. Семенко, М.В.Фоменко. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Мир Кубани», 2007г. Часть 2.

Е.А. Семенко, М.В.Фоменко, Е.С.Янушпольская, Г.Н.Ларкин. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Мир Кубани», 2006г. Часть 3.

Е.А. Семенко, И.В.Васильева и др. «Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа, Готовимся к ЕГЭ по математике». Под редакцией Е.А. Семенко. — Краснодар: «Просвещение – Юг», 2006г. Часть 1.

М.И. Сканави. «Сборник задач по математике для поступающих в ВТУЗы», М.: Высшая школа, 1997г.

Презентация по алгебре на тему «Тригонометрические уравнения» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок « РЕШЕНИЕ ОДНОГО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»
Разработала учитель математики МОУ ВГЛ Казакова С.В..
10 класс

Французский математик и физик Паскаль
“Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным”

Разгадать слова ребуса

Человеку, изучающему алгебру
часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами,
чем решать три – четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить,
какой из них короче и эффективнее.
Так вырабатывается опыт

(Английский математик и педагог 20-го века

Тема урока:
«УРОК ОДНОГО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»

Восточная мудрость гласит:
“Приобретать знания – храбрость,
приумножать их – мудрость,
а умело применять — великое искусство”

Формулы решения уравнений
sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Способы решения тригонометрических уравнений
Разложение на множители
Метод замены переменной:
сведение к квадратному уравнению;
введение вспомогательного аргумента;
универсальная тригонометрическая подстановка
Сведение к однородному уравнению (первой или второй степени)
4 Путем преобразования тригонометрическими формулами
5. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
обращение к условию равенства одноименных тригонометрических функций;
использование свойства ограниченности функции.
6. Графический

АЛГОРИТМ решения тригонометрических уравнений
методом введения новой переменной

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций
Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t)
Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
Шаг 4. Сделать обратную замену
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение

АЛГОРИТМ решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Шаг 2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg2 x + b tg x + c = 0. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).
Шаг 4. Сделать обратную замену
Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение

АЛГОРИТМ решения тригонометрических уравнений
функциональным методом
Использование свойств:

1.Выделение полного квадрата из квадратичного трехчлена
2.Свойство ограниченности функции косинус: −1≤ cosх≤ 1
3.Свойство ограниченности квадратичной функции:
(x+ m)2+ k≥ k
4.Построить графики функций и найти абсциссу точки их пересечения, если точек пересечения нет, записать ответ: корней нет

АЛГОРИТМ решения тригонометрических уравнений методом
использования различных тригонометрических формул

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III.
Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.
1 способ: с помощью формул приведения
2 способ: с помощью вспомогательного аргумента
3 способ: приведение уравнения к однородному
4 cпособ: возведение обеих частей уравнения в квадрат
5 способ: универсальная подстановка

делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений

Методы решения уравнений

Даны уравнения, распределить их по видам
.

Ответы
1. Простейшие тригонометрические уравнения. ________________________
2. Решения уравнений с помощью замены переменной. __________________
3. Решение уравнений разложением на множители. _____________________
4. Решение однородных уравнений I степени. __________________________
5. Решения однородных уравнений II степени. _________________________
6. Решение уравнений с помощью основного тригонометрического тождества. ____________
7. Решение уравнений с помощью формул суммы и разности аргументов. ________________
8. Решение уравнений с помощью формул понижения степени _________________________
9. Решение уравнений с помощью преобразования сумм тригонометрических функций в произведение _______________

Три пути ведут к знаниям:
путь размышления — это путь самый благородный,
путь подражания — это путь самый легкий и
путь опыта — это путь самый горький
Конфуций

Работа в группах
Решить уравнение
Sin x — Cos x = 1

различных способов решения

Французский писатель Анатоль Франс говорил: «Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

Рефлексия деятельности на уроке
Какие умения вы сегодня тренировали?
Какую цель вы ставили перед собой?
Вы достигли поставленной цели?
Какие знания вы использовали при выполнении заданий?
Какие затруднения возникали в процессе работы над заданиями?

Станислав Коваль :
“Уравнение — это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”

Барометр настроения
Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то увы, вы « примерзли»;
Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на отметке 0;
Понравилось на уроке: информация и формы работы, которые вызвали положительные эмоции, либо по вашему мнению могут быть полезны для достижения каких-то целей, то вы на отметке “закипел”

23
Домашнее задание:
Решить различными способами уравнения:
sin4x — sin2x = 0,
√3 cosx + sinx = 0,
cos2x — cos4x = 0.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 184 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

§ 36. Решение тригонометрических уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

24.11.2021
113
0

24.11.2021
151
6

24.11.2021
137
11

24.11.2021
261
2

24.11.2021
40
0

24.11.2021
31
0

24.11.2021
269
15

24.11.2021
401
47

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

24.11.2021 117
PPTX 223.8 кбайт
7 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Казакова Снежана Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 3 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 429
Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/576294

http://infourok.ru/prezentaciya-po-algebre-na-temu-trigonometricheskie-uravneniya-10-klass-5516309.html