Вынужденные электрические колебания
Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, в котором помимо ёмкости, индуктивности, сопротивления есть ещё и генератор переменного напряжения, то есть источник электрической энергии. Очевидно, что в таком контуре со временем (это время обычно мало) установятся вынужденные колебания тока с частотой генератора и с постоянной амплитудой; подвод энергии от генератора будет в точности компенсировать потери энергии на сопротивлении.
Не будем учитывать внутреннее сопротивление генератора (будем считать, что у нас хороший, «идеальный» генератор). Получим уравнение для колебаний заряда на обкладках конденсатора. Для этого нам необходимо в закон Ома , который мы писали для затухающих колебаний, добавить в левую часть э.д.с. генератора E(t).
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда в электромагнитном контуре в стандартном (каноническом) виде получается следующим:
или 
которое полностью аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника . Э.д.с. генератора 
. Поэтому сразу можем написать решение:
Резонансная частота колебаний заряда на обкладках конденсатора запишется также по аналогии с резонансной частотой механических колебаний маятника:
Напомню, что в электрическом контуре:
и 
Обратите внимание, что резонансная частота для заряда зависит от коэффициента затухания, а, следовательно, от сопротивления.
Чаще нас интересуют не колебания заряда на конденсаторе, а колебания тока в цепи контура. Найдем эти колебания, продифференцировав заряд по времени:
В этом уравнении сделана подстановка — 
Напомню, что — j является сдвигом фазы между напряжением генератора и током в цепи. В такой записи знак минус показывает, что напряжение первично, а ток отстает по фазе.
Формулы для амплитуды тока и сдвига фаз выглядят так:
Существенное отличие колебаний тока от колебаний заряда состоит в том, что резонансная частота для тока не зависит от сопротивления; она просто равна собственной частоте свободных колебаний в контуре:
Колебания тока в цепи имеют аналогом не колебания механического маятника, а колебания его скорости. Резонансные кривые для амплитуды тока и зависимость сдвига фаз от частоты для различных сопротивлений — на графиках. Обратите внимание, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на генераторе отсутствует.
Посмотрим ещё раз на формулу для амплитуды колебаний тока. В числителе стоит амплитудное напряжение на генераторе (мы пренебрегаем внутренним сопротивлением генератора, поэтому его э.д.с. равна напряжению на его клеммах); в знаменателе — величина, имеющая размерность сопротивления. Она включает в себя не только активное сопротивление R, но и составляющую, зависящую от ёмкости и индуктивности контура и от частоты генератора. Эта величина носит название полного сопротивления контура, или импеданса контура Z:
Величина 
носит название реактивного сопротивления, а её составляющие: 
— индуктивным сопротивлением; 
— ёмкостным сопротивлением.
Посмотрим, как ведут себя колебания тока и напряжения на различных участках контура.
Ток в цепи устанавливается со скоростью распространения электрического поля, то есть со скоростью света с. Время установления тока в цепи
l/c, где l — длина контура. Это время в реальных контурах много-много меньше, чем период колебаний. Поэтому мы считаем, что в каждый момент времени значения тока на всех участках цепи одинаково; колебания тока на сопротивлении, индуктивности и ёмкости происходят синхронно.
Иначе обстоит дело с колебаниями напряжения. Вычислим напряжение на каждом элементе контура и посмотрим, как они отличаются по амплитуде и фазе.
Видно, что напряжение на конденсаторе отстает на четверть периода от напряжения на сопротивлении, а напряжение на индуктивности на столько же по фазе опережает его. Напряжение на ёмкости и индуктивности всегда отличаются по фазе на полпериода. Наглядно сдвиг фаз на элементах цепи можно посмотреть на векторной диаграмме; из неё, в частности, ясно, почему импеданс вычисляется таким образом.
Общее падение напряжения на всех трех элементах цепи равно напряжению на клеммах генератора; поэтому угол j на диаграмме дает сдвиг по фазе между током и напряжением на генераторе.
Вынужденные колебания. Переменный ток
Дадим определение понятию вынужденных колебаний.
Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.
Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.
Что такое переменный ток?
Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.
Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω 0 . Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω .
Частота свободных колебаний в электрической сети ω 0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω , будут происходить на частоте этого внешнего источника.
Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δ t . По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ .
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.
Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:
e ( t ) = ε 0 cos ω t,
где ε 0 – амплитуда, ω – круговая частота.
Фактически, это будет R L C -цепь.
Рисунок 2 . 3 . 1 . Вынужденные колебания в контуре.
Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:
R J + q C + L d J d t = ε 0 c o c ω t.
Величину L d J d t принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:
u R + u C + u L = e ( t ) = ε 0 cos ω t.
где u R ( t ) , u C ( t ) и u L ( t ) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω .
Векторная диаграмма токов и напряжений
Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω .
Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рисунок 2 . 3 . 2 . Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) .
Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ 1 и φ 2 , а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B . Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆ φ = φ 1 — φ 2 . Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C → = A → + B → .
При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.
Источник переменного тока может быть подключен к:
- катушке индуктивности L ;
- резистору с сопротивлением R ;
- конденсатору с емкостью С .
Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.
Резистор в цепи переменного тока
J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t
Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через I R . Соотношение R I R = U R выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.
Конденсатор в цепи переменного тока
u C = q C = U C cos ω t
J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( — ω sin ω t ) = ω C U C cos ω t + π 2 = I C cos ω t + π 2 .
Соотношение между амплитудами тока I C и напряжения U C : 1 ω C I C = U C .
Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .
Физическая величина X C = 1 ω C — это емкостное сопротивление конденсатора.
Уравнение вынужденных электрических колебаний и его решение
Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.
Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.
Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .
Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.
Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .
Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):
 , |
где 0 – амплитуда, ω – круговая частота.
 | |||||||||||||||||||||||||||||
| Рисунок 2.3.1. Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:
Величина Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде
где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм . На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).
|
– это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .
называется емкостным сопротивлением конденсатора .
или 
В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
