Уравнение вынужденных колебаний для последовательного колебательного контура

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ₀ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение вынужденных колебаний

Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).

В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:

где $L$ — индуктивность, $R$ — сопротивление, $C$ — емкость, $U\left(t\right)$ — внешнее воздействие.

Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:

Тогда уравнение колебаний запишется в виде:

где $<\omega >_0=\frac<1><\sqrt>$- собственная частота колебаний контура, $\beta =\frac<2L>.$ По аналогии с механическими колебаниями можно записать частное решение данного уравнения как:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:

общим решением является выражение:

Так как выражение (6) содержит множитель $e^<\left(-\beta t\right)>$, то при $t\to \infty ,\ $ $e^<\left(-\beta t\right)>\to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).

Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:

где $I_m=<\omega q>_m$, $\varphi =\Psi-\frac<\pi ><2>$ — сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:

Готовые работы на аналогичную тему

Надо отметить, что выполняется равенство:

Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.

Резонанс

Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга. В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка». В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.

Резонансной частотой для заряда ($<\omega >_$) и напряжения ($<\omega >_$) на конденсаторе являются частоты, заданные уравнениями:

Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).

Если $\omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:

Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).

Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $\omega L-\frac<1><\omega C>=0.\ $Частота силы тока при резонансе ($<\omega >_$):

Задание: Получите функции $U_R(t),U_C(t),U_L(t)$ в $RCL$ контуре, если приложенное напряжение задано уравнением: $U=U_m.$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем выражение:

\[I\left(t\right)=\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.1\right).\]

Исходя из (1.1) для напряжения на сопротивлении ($U_R$) в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать, что:

\[U_R\left(t\right)=RI\left(t\right)=<_m cos\ >\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.2\right).\]

Используя закон изменения заряда в контуре, заданном в условии:

найдем $U_C\left(t\right)$ как:

где $U_=\frac=\frac<С\omega >.$ Напряжение на катушке индуктивности найдем как:

Задание: Определите, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать напряжение, которое приложено к $RLC$ контуру, если добротность контура равна $O$. Считать, что внешнее напряжение подчиняется гармоническому закону, затухание в контуре мало.

Решение:

Условие малости затухания для контура означает, что:

и резонансную частоту можно считать равной собственной частоте.

Напряжение на конденсаторе можно выразить как:

где $q_m=\frac<\omega \sqrt<^2>>$. Если при резонансе в нашем случае $\omega \approx <\omega >_0$, то максимальное напряжение на конденсаторе при резонансе равно ($U_$):

где при малом затухании можно считать, что $<\omega >_0L-\frac<1><<\omega >_0C>\approx 0$

Найдем отношение $\frac>$, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 04 2021

в последовательном колебательном контуре

Изучение вынужденных колебаний

Рисунок 1

Принципиальная схема последователь-ного колебательного контура изображена на рисунке 1. Чтобы в контуре совершались вынужденные колебания, необходимо включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС, создающую на контактах разрыва цепи переменное напряжение

.

Уравнение колебательного контура для вынужденных колебаний имеет вид

,

где собственная частота колебаний контура и коэффициент затуха-ния определяются по формулам

и .

При установившихся вынужденных колебаниях изменение величины заряда на обкладках конденсатора описывается уравнением

,

;

.

Сила тока в контуре при установившихся колебаниях изменяется по закону

,

где — сдвиг по фазе между током в контуре и приложен-ным напряжением . Значения и определяется из формул

(1)

и . (2)

Можно считать, что сумма падений напряжения в колебательном контуре равна напряжению, приложенному извне

,

где напряжения на каждом из элементов контура равны

,

,

.

Значения и связаны с соотношениями

и .

Фазовые соотношения между , и можно представить с помощью векторной диаграммы, показанной на рисунке 2. Напряжение на ёмкости отстаёт по фазе от тока на , а на индуктивности опережает ток на .

Рисунок 2

Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. При приложенное к контуру нап-ряжение опережает ток по фазе и (в соответствии с формулой (2)); при ток будет опере-жать напряжение и . При ток в контуре будет определяться значением активного сопротивления и будет максимальным:

.

Это явление называется резонансом напряжений, так как при этом напряжение на конденсаторе в каждый момент времени будет равно по величине напряжению на индуктивности , но противоположно ему по фазе. Резонансная частота для тока в контуре , т.е. резонансная частота для тока равна собственной частоте контура.

Рисунок 3

Кривая зависимости амплитуды си-лы тока в контуре от частоты внешнего источника (формула (1)) называется резонансной кривой для тока. Вид этой кривой для различных значений коэффициента затухания показан на рисунке 3, из которого вид-но, максимум при резонансе тем выше и острее, чем меньше активное сопро-тивление и больше индуктивность L. При ток I = 0, т. е. при пос-тоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором проходить не может.

Амплитудное значение напряжения на конденсаторе также за-висит от частоты внешнего источника ЭДС. При этом максимальное значение U_cm достигается при частоте

называемой резонансной частотой для напряжения, которая в реальном контуре меньше собственной частоты контура w₀ .

Рисунок 4

Вид резонансных кривых для напря-жения на конденсаторе показан на рисунке 4 для различных b. При w®0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_cm=U_m равной напряжению на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_m.

Широко используемой характе-ристикой колебательного контура является его добротность Q. Это безразмерная величина, характери-зующая относительную величину по-терь энергии в контуре: , где DW — потеря энергии за один период и W — энергия в контуре в данный момент. Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания l и числом колебаний N_e, совершаемых за промежуток времени, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, соотношением

.

При малом затухании (b 2 2 » 0,5 мощности при резонансе. Можно показать, что при малом затухании

, (3)

т.е. чем меньше ширина резонансной кривой, тем выше добротность.

Рисунок 5

4 ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

1 Звуковой генератор.

2 Электронный осциллограф.

3 Переменный резистор.

4 Катушка индуктивности.

5 СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Рисунок 6

Для изучения вынужденных колебаний в контуре используется установка, изображенная на рисунке 6, а). С помощью этой установки можно изучать зависимость амплитудного напряжения на конденсаторе U_cm от частоты w внешнего источника эдс. При этом на вход Y осциллографа подается напряжение с конденсатора С. В качестве внешнего источника переменного напряжения используется звуковой генератор ЗГ. Активное сопротивление контура можно менять с помощью переменного резистора R.

6 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1 Включить осциллограф и звуковой генератор в сеть и дать им про-греться 5. 7 минут.

2 Установить на выходе генератора напряжение до 3 В.

3 Усиление осциллографа и его временную развертку установить так, чтобы на экране наблюдалось около 10 периодов колебаний.

Меняя частоту генератора w_i и усиление на входе Y осциллографа добиваемся того, чтобы при резонансе (максимальная амплитуда U_сmрез) сигнал не выходил за рамки экранной сетки. Сопротивление контура должно быть при этом минимальным.

Снять зависимость амплитуды напряжения U_сmi (в делениях экранной сетки) и осциллографа) от частоты w_i (всего 8. 10 измерений). Резонансные значения должны находиться примерно посередине диапазона измерений. Зависимость U_сmi(w_i) снять Повторить измерения, указанные в пунктах 3-4, для 3-4 разных значений сопротив-ления R_i. Результаты измерений занести в таблицу 1.

6 Не меняя усиления входа Y осциллографа, подать на этот вход вместо исследуемого напряжения U_cm напряжение непосредственно со звуко-вого генератора (клемма Г). Определить амплитудное значение напряжения генератора U_m (также в делениях сетки экрана). Напряжение U_m должно слабо зависеть от R, поэтому можно ограничиться измерением этого напряжения только для одного значения активного сопротивления.

Измерить напряжение, подаваемое от звукового генератора U_m . Для этого напряжение с клеммы Г подать на вход вольтметра, отсоединив от него конденсатор (рис. 6а).

7 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1 По данным таблицы 1 построить резонансные кривые U_Ñm=U(w) для различных R.

2 По результатам графического измерения ширины резонансных кри-вых Dw определить добротность контура для разных R по формуле (3). Результаты занести в таблицу 2. Построить график зависимости Q=Q(R).

С о п р о т и в л е н и е
Добротность	R1	R2	R3	R4

3 Определить добротность контура для разных R. Результаты занести в таблицу 2. Нанести полученные точки на график Q = Q(R) и сравнить полученные результаты.

8 ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

Определить сдвиг фаз между током в цепи и приложенным напря-жением в зависимости от частоты внешней эдс, т.е. снять фазовую ха-рактеристику колебательного контура j = j(w).

Для снятия фазовой характеристики контура используется та же экспериментальная установка, что и при выполнении основного зада-ния. С помощью переключателя можно перейти от схемы, показанной на рисунке 6а), к схеме на рисунке 6б). При этом на вход Y осциллографа подается напряжение, пропорциональное току в контуре, а на вход X — напряжение звукового гене-ратора.

Рисунок 7

Подобрав соответствующее усиле-ние по каналам X и Y, получим на экране эллипс, являющийся результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Ориентация эллипса относительно координатных осей зависит от угла сдвига фаз j (формула (2)), который, в свою очередь, зависит от частоты w. Измеряя полуоси эллипса a и b, можно определить сдвиг фаз j:

и .

В задании необходимо определить сдвиг фаз для различных значе-ний частоты внешней ЭДС. Для этого, изменяя частоту генератора w вблизи резонансной частоты (резонанс соответствует вырождению эл-липса в прямую), измерить полуоси эллипса на экране и занести данные в таблицу 3. Опыт проделать для 2. 3 значений R.

По данным таблицы 3 построить фазочастотные характеристики j=j(w). Примерный вид фазочастотной характеристики показан на рисунке 7.

Дата добавления: 2016-01-03 ; просмотров: 1923 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ