Вынужденные электрические колебания
Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, в котором помимо ёмкости, индуктивности, сопротивления есть ещё и генератор переменного напряжения, то есть источник электрической энергии. Очевидно, что в таком контуре со временем (это время обычно мало) установятся вынужденные колебания тока с частотой генератора и с постоянной амплитудой; подвод энергии от генератора будет в точности компенсировать потери энергии на сопротивлении.
Не будем учитывать внутреннее сопротивление генератора (будем считать, что у нас хороший, «идеальный» генератор). Получим уравнение для колебаний заряда на обкладках конденсатора. Для этого нам необходимо в закон Ома , который мы писали для затухающих колебаний, добавить в левую часть э.д.с. генератора E(t).
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний заряда в электромагнитном контуре в стандартном (каноническом) виде получается следующим:
или
которое полностью аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника . Э.д.с. генератора . Поэтому сразу можем написать решение:
Резонансная частота колебаний заряда на обкладках конденсатора запишется также по аналогии с резонансной частотой механических колебаний маятника:
Напомню, что в электрическом контуре:
и
Обратите внимание, что резонансная частота для заряда зависит от коэффициента затухания, а, следовательно, от сопротивления.
Чаще нас интересуют не колебания заряда на конденсаторе, а колебания тока в цепи контура. Найдем эти колебания, продифференцировав заряд по времени:
В этом уравнении сделана подстановка —
Напомню, что — j является сдвигом фазы между напряжением генератора и током в цепи. В такой записи знак минус показывает, что напряжение первично, а ток отстает по фазе.
Формулы для амплитуды тока и сдвига фаз выглядят так:
Существенное отличие колебаний тока от колебаний заряда состоит в том, что резонансная частота для тока не зависит от сопротивления; она просто равна собственной частоте свободных колебаний в контуре:
Колебания тока в цепи имеют аналогом не колебания механического маятника, а колебания его скорости. Резонансные кривые для амплитуды тока и зависимость сдвига фаз от частоты для различных сопротивлений — на графиках. Обратите внимание, что при резонансе сдвиг фаз между током и напряжением на генераторе отсутствует.
Посмотрим ещё раз на формулу для амплитуды колебаний тока. В числителе стоит амплитудное напряжение на генераторе (мы пренебрегаем внутренним сопротивлением генератора, поэтому его э.д.с. равна напряжению на его клеммах); в знаменателе — величина, имеющая размерность сопротивления. Она включает в себя не только активное сопротивление R, но и составляющую, зависящую от ёмкости и индуктивности контура и от частоты генератора. Эта величина носит название полного сопротивления контура, или импеданса контура Z:
Величина носит название реактивного сопротивления, а её составляющие: — индуктивным сопротивлением; — ёмкостным сопротивлением.
Посмотрим, как ведут себя колебания тока и напряжения на различных участках контура.
Ток в цепи устанавливается со скоростью распространения электрического поля, то есть со скоростью света с. Время установления тока в цепи
l/c, где l — длина контура. Это время в реальных контурах много-много меньше, чем период колебаний. Поэтому мы считаем, что в каждый момент времени значения тока на всех участках цепи одинаково; колебания тока на сопротивлении, индуктивности и ёмкости происходят синхронно.
Иначе обстоит дело с колебаниями напряжения. Вычислим напряжение на каждом элементе контура и посмотрим, как они отличаются по амплитуде и фазе.
Видно, что напряжение на конденсаторе отстает на четверть периода от напряжения на сопротивлении, а напряжение на индуктивности на столько же по фазе опережает его. Напряжение на ёмкости и индуктивности всегда отличаются по фазе на полпериода. Наглядно сдвиг фаз на элементах цепи можно посмотреть на векторной диаграмме; из неё, в частности, ясно, почему импеданс вычисляется таким образом.
Общее падение напряжения на всех трех элементах цепи равно напряжению на клеммах генератора; поэтому угол j на диаграмме дает сдвиг по фазе между током и напряжением на генераторе.
Вынужденные колебания в контуре. Резонанс
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнение вынужденных колебаний
Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).
В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:
где $L$ — индуктивность, $R$ — сопротивление, $C$ — емкость, $U\left(t\right)$ — внешнее воздействие.
Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:
Тогда уравнение колебаний запишется в виде:
где $<\omega >_0=\frac<1><\sqrt
Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:
общим решением является выражение:
Так как выражение (6) содержит множитель $e^<\left(-\beta t\right)>$, то при $t\to \infty ,\ $ $e^<\left(-\beta t\right)>\to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).
Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:
где $I_m=<\omega q>_m$, $\varphi =\Psi-\frac<\pi ><2>$ — сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:
Готовые работы на аналогичную тему
Надо отметить, что выполняется равенство:
Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.
Резонанс
Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга. В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка». В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.
Резонансной частотой для заряда ($<\omega >_
Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).
Если $\omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:
Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).
Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $\omega L-\frac<1><\omega C>=0.\ $Частота силы тока при резонансе ($<\omega >_
Задание: Получите функции $U_R(t),U_C(t),U_L(t)$ в $RCL$ контуре, если приложенное напряжение задано уравнением: $U=U_m
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[I\left(t\right)=
Исходя из (1.1) для напряжения на сопротивлении ($U_R$) в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать, что:
\[U_R\left(t\right)=RI\left(t\right)=<
Используя закон изменения заряда в контуре, заданном в условии:
найдем $U_C\left(t\right)$ как:
где $U_
Задание: Определите, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать напряжение, которое приложено к $RLC$ контуру, если добротность контура равна $O$. Считать, что внешнее напряжение подчиняется гармоническому закону, затухание в контуре мало.
Решение:
Условие малости затухания для контура означает, что:
и резонансную частоту можно считать равной собственной частоте.
Напряжение на конденсаторе можно выразить как:
где $q_m=\frac
где при малом затухании можно считать, что $<\omega >_0L-\frac<1><<\omega >_0C>\approx 0$
Найдем отношение $\frac
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 04 2021
Вынужденные колебания. Переменный ток
Дадим определение понятию вынужденных колебаний.
Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.
Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.
Что такое переменный ток?
Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.
Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω 0 . Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω .
Частота свободных колебаний в электрической сети ω 0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω , будут происходить на частоте этого внешнего источника.
Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δ t . По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ .
Цепи переменного тока
Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.
Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:
e ( t ) = ε 0 cos ω t,
где ε 0 – амплитуда, ω – круговая частота.
Фактически, это будет R L C -цепь.
Рисунок 2 . 3 . 1 . Вынужденные колебания в контуре.
Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:
R J + q C + L d J d t = ε 0 c o c ω t.
Величину L d J d t принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.
Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:
u R + u C + u L = e ( t ) = ε 0 cos ω t.
где u R ( t ) , u C ( t ) и u L ( t ) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω .
Векторная диаграмма токов и напряжений
Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω .
Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Рисунок 2 . 3 . 2 . Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) .
Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ 1 и φ 2 , а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B . Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆ φ = φ 1 — φ 2 . Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C → = A → + B → .
При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.
Источник переменного тока может быть подключен к:
- катушке индуктивности L ;
- резистору с сопротивлением R ;
- конденсатору с емкостью С .
Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.
Резистор в цепи переменного тока
J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t
Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через I R . Соотношение R I R = U R выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.
Конденсатор в цепи переменного тока
u C = q C = U C cos ω t
J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( — ω sin ω t ) = ω C U C cos ω t + π 2 = I C cos ω t + π 2 .
Соотношение между амплитудами тока I C и напряжения U C : 1 ω C I C = U C .
Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .
Физическая величина X C = 1 ω C — это емкостное сопротивление конденсатора.
http://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnye_kolebaniya/vynuzhdennye_kolebaniya_v_konture_rezonans/
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektromagnitnye-kolebanija-volny/vynuzhdennye-kolebanija-peremennyj-tok/