Уравнение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если частота ω₀ свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

где ₀ – амплитуда, ω – круговая частота.

Рисунок 2.3.1.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Рисунок 2.3.2.

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ₁ и φ₂. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Здесь через обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

Рисунок 2.3.3.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Из рисунка видно, что

откуда следует

Из выражения для видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

или

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок 2.3.4.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде ₀ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Краткая теория.

Свободные колебания в последовательном колебательном контуре.

Последовательный колебательный контур (рис. 1) содержит конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L и сопротивлением R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд . При разрядке конденсатора через катушку возникнет ток и на основе второго закона Кирхгофа

(1)

Учитывая, что уравнение (1) может быть преобразовано к виду

(2)

(3)

(a — коэффициент затухания, w₀ – собственная частота контура).

Если , решение уравнения (2)может быть записано в виде:

(4)

где .

Таким образом, при зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых w, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура w₀. Постоянные q_m и j зависят от начальных условий. В рассматриваемом случае можно считать w»w₀ и j»0; тогда (4) принимает вид:

(5)

Закон изменения силы тока можно найти, дифференцируя (5) по времени с учетом, что . Тогда

(6)

Уравнение (6) дает следующее соотношение между амплитудами тока и напряжения:

(7)

волновое или характеристическое сопротивлением контура и является одной из его основных характеристик, так как активное сопротивление контура не влияет на соотношение между U_m и I_m; оно определяет лишь степень затухания колебаний, т.е. быстроту уменьшения амплитуд с течением времени.

Кроме коэффициента затухания a для характеристики затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, взятых через период Т:

(8)

Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний:

(9)

Энергия теряемая в контуре за один период, согласно закону Джоуля – Ленца, равна , где I – эффективное значение переменного тока. Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности: . Подставляя в (9) выражения для W и W_Т, получим:

(10)

Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре.

Пусть контур подключен к источнику внешней гармонической ЭДС с амплитудой Е_m:

В соответствии с законом Кирхгофа получаем:

(11)

Решение уравнения (9) можно получить в виде:

(12)

Таким образом, при воздействии на контур периодической ЭДС колебательный процесс в нем вначале представляет собой суперпозицию свободных и вынужденных колебаний. Так как свободные колебания имеют затухающий характер, по истечении некоторого времени ими можно пренебречь и считать, что в контуре существуют лишь вынужденные колебания. Чем выше добротность контура, тем медленнее затухают свободные колебания.

Резонансом в последовательном контуре называется такое явление, при котором резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний силы тока, реактивная составляющая входного сопротивления контура равна нулю и контур представляет для генератора чисто активную нагрузку. Резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.

Из этого вытекают следующие свойства резонанса в последовательном контуре:

1. При резонансе реактивное сопротивление , поэтому частота генератора

;

(13)

но , т.е. резонанс в последовательном контуре происходит при частоте генератора w_р равной собственной частоте контура w₀. Строго говоря, это не всегда правильно, так как при наличии в контуре сопротивления R собственная частота его w₀ отличается, хотя и весьма незначительно, от .

Характер изменения реактивных сопротивлений катушки индуктивности X_L, емкости Х_С и контура в целом Х от частоты показан на рис. 2. Следует иметь в виду, что на частотах ниже резонансной сопротивление контура носит емкостной характер, а на частотах выше резонансной – индуктивный.

2. Равенство , при условии. что w_р = w₀= , дает

(14)

Таким образом, при резонансе индуктивное и емкостное сопротивления контура порознь равны его характеристическому сопротивлению.

Так как при резонансе Х = 0, то полное сопротивление контура:

Отсюда следует, что между амплитудными значениями ЭДС Е_m и тока I_mp существует зависимость:

(15)

3. При резонансе ток и ЭДС генератора совпадают по фазе.

4. По формулам (14) и (15) устанавливаем соотношения между резонансными амплитудами напряжений на индуктивности , емкости и ЭДС генератора :

, , ,

(16)

Из выражения (16) следует, что при резонансе в последовательном контуре амплитуды напряжения на индуктивности и емкости равны между собой и каждая из них превышает амплитуду ЭДС генератора в Q раз. Вследствие наличия активного сопротивления в контуре максимум значений , и достигается при несколько различных значениях частот. И чем выше добротность контура, тем ближе эти значения.

Определим зависимость тока в контуре от частоты в относительном масштабе:

(17)

В случае использования контура в качестве фильтрующего элемента имеет смысл анализировать поведение тока в нем при относительно небольших отклонениях частоты сигнала от резонансной. С учетом этого можно принять, что . Если отклонение частоты от резонансной (расстройку) обозначить через то (17) примет вид

(18)

Это соотношение является аналитическим описанием резонансной, или амплитудно-частотной, характеристики контура. Из него видно, что значительные токи в контуре возникают лишь при небольших , а следовательно, контур обладает фильтрующими (избирательными) свойствами. Избирательные свойства контура, т.е. способность ослаблять сигналы, частота которых отличается от резонансной, характеризуются полосой пропускания.

Полосой пропускания контура ΔF или ΔΩ (ΔΩ = 2π ΔF) называется область частот вблизи резонансной, на границах которой отношение токов (или напряжений) .

Из соотношения (18) можно получить связь между полосой пропускания, резонансной частотой и добротностью:

откуда легко найти, что

или

(19)

Ряд нормированных амплитудно-частотных характеристик контуров, отличающихся только добротностью Q, показан на рис. 3.

Рис. 3

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называют зависимость фазового сдвига j тока в контуре относительно вызывающей его ЭДС от частоты. Для последовательного контура имеем

Работа выполняется с использованием стенда, схема которого изображена на рис 4. Источником внешней ЭДС является генератор звуковой частоты. В контур последовательно включены резистор R переменного сопротивления, катушка индуктивности и конденсатор переменной емкости. Активное сопротивление контураопределяется суммой сопротивления катушки (ее активного сопротивления, измеренного на постоянном токе), резистора и выходного сопротивления генератора. Эффективное значение напряжения на конденсаторе измеряется вольтметром V.

Подключить вольтметр к конденсатору. Емкость конденсатора, сопротивление резистора, выходное напряжение генератора укажет преподаватель. Изменяя частоту f в диапазоне (2…20) кГц, измерить зависимость напряжения на конденсаторе U_C от частоты для двух значений сопротивления.

Подключить вольтметр к катушке индуктивности и измерить зависимость напряжения U_L от частоты для двух значений сопротивления.

Рис. 4.

1. Для двух сопротивлений контура рассчитайте Q, a, r, ΔF, ΔΩ, w_р и f_р (f_р=w_р/2p). Полное активное сопротивление контура равно сумме активного сопротивления катушки, выходного сопротивления генератора и сопротивления резистора. Значения выходного сопротивления генератора и сопротивления резистора, а также емкость конденсатора укажет преподаватель.

2. Снимите зависимости напряжения на конденсаторе U_С от частоты f для двух значений сопротивления вблизи резонансной частоты f_р. Полученные данные занесите в таблицы 1 и 2.

Таблица 1 и 2 (нарисовать две таблицы)

R= C= L=

f, кГц

U_C, В

3. Снимите зависимости напряжения на катушке U_L от частоты f для двух значений сопротивления вблизи резонансной частоты f_р. Полученные данные занесите в таблицы 3 и 4.

Таблица 3 и 4 (нарисовать две таблицы)

R= C= L=

f, кГц

U_C, В

4. По данным таблиц постройте резонансные кривые (см. рис. 5) , .

5. Из графиков определите экспериментальную резонансную частоту f_р_эксп и полосу пропускания контура ΔF_эксп. Полученные результаты сравнить с рассчитанными значениями.

Рис. 5.

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнение вынужденных колебаний

Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).

В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:

где $L$ — индуктивность, $R$ — сопротивление, $C$ — емкость, $U\left(t\right)$ — внешнее воздействие.

Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:

Тогда уравнение колебаний запишется в виде:

где $<\omega >_0=\frac<1><\sqrt>$- собственная частота колебаний контура, $\beta =\frac<2L>.$ По аналогии с механическими колебаниями можно записать частное решение данного уравнения как:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:

общим решением является выражение:

Так как выражение (6) содержит множитель $e^<\left(-\beta t\right)>$, то при $t\to \infty ,\ $ $e^<\left(-\beta t\right)>\to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).

Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:

где $I_m=<\omega q>_m$, $\varphi =\Psi-\frac<\pi ><2>$ — сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:

Готовые работы на аналогичную тему

Надо отметить, что выполняется равенство:

Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.

Резонанс

Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга. В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка». В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.

Резонансной частотой для заряда ($<\omega >_$) и напряжения ($<\omega >_$) на конденсаторе являются частоты, заданные уравнениями:

Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).

Если $\omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:

Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).

Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $\omega L-\frac<1><\omega C>=0.\ $Частота силы тока при резонансе ($<\omega >_$):

Задание: Получите функции $U_R(t),U_C(t),U_L(t)$ в $RCL$ контуре, если приложенное напряжение задано уравнением: $U=U_m.$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем выражение:

\[I\left(t\right)=\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.1\right).\]

Исходя из (1.1) для напряжения на сопротивлении ($U_R$) в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать, что:

\[U_R\left(t\right)=RI\left(t\right)=<_m cos\ >\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.2\right).\]

Используя закон изменения заряда в контуре, заданном в условии:

найдем $U_C\left(t\right)$ как:

где $U_=\frac=\frac<С\omega >.$ Напряжение на катушке индуктивности найдем как:

Задание: Определите, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать напряжение, которое приложено к $RLC$ контуру, если добротность контура равна $O$. Считать, что внешнее напряжение подчиняется гармоническому закону, затухание в контуре мало.

Решение:

Условие малости затухания для контура означает, что:

и резонансную частоту можно считать равной собственной частоте.

Напряжение на конденсаторе можно выразить как:

где $q_m=\frac<\omega \sqrt<^2>>$. Если при резонансе в нашем случае $\omega \approx <\omega >_0$, то максимальное напряжение на конденсаторе при резонансе равно ($U_$):

где при малом затухании можно считать, что $<\omega >_0L-\frac<1><<\omega >_0C>\approx 0$

Найдем отношение $\frac>$, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 04 2021

источники:

http://lektsii.org/6-77095.html

http://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnye_kolebaniya/vynuzhdennye_kolebaniya_v_konture_rezonans/