Уравнение высот треугольника по координатам онлайн

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты $ \small AA_1 ,$ $ \small BB_1 ,$ $ \small CC_1 $ пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник $ \small A_2B_2C_2. $ Покажем, что точки $ \small A, \ B, \ C $ являются серединами сторон треугольника $ \small A_2B_2C_2. $ $ \small AB=A_2C $ так как они являются противоположными сторонами параллелограмма $ \small ABA_2C. $ $ \small AB=CB_2 $ так как они являются противоположными сторонами параллелограмма $ \small ABCB_2. $ Тогда $ \small CB_2=CA_2, $ то есть точка $ \small C $ является серединой стороны $ \small A_2B_2 $ треугольника $ \small A_2B_2C_2. $ Аналогично доказывается, что точки $ \small A $ и $ \small B $ являются серединами сторон $ \small B_2C_2 $ и $ \small A_2C_2, $ соответственно.

Далее из $ \small AA_1⊥BC $ следует, что $ \small AA_1⊥B_2C_2 $ поскольку $ \small BC \ ǁ \ B_2C_2 $. Аналогично, $ \small BB_1⊥A_2C_2, $ $ \small CC_1⊥A_2B_2. $ Получили, что $ \small AA_1,$ $ \small BB_1, $ $ \small CC_1$ являются серединными перпендикулярами сторон $ \small B_2C_2, $ $ \small A_2C_2, $ $ \small A_2B_2, $ соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна $ \small a=5 $ а площадь $ \small S=7. $ Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения $ \small a $ и $ \small S $ в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где $ \small a, \ b, \ c $ стороны треугольника а полупериод $ \small p $ вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону $ \small a$ вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: $ \small a=5, $ $ \small b= 4, $ $ \small c=7. $ Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону $ \small a. $

Решение: Найдем, сначала полупериод $ \small p $ треугольника из формулы (3):

Подставляя значения $ \small a , \ b, \ c $ и $ \small p $ в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

$\small \max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: \( \small b=7, $ $ \small c= 3 $ и радиус описанной окружности $ \small R=4. $ Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону $ \small a. $

Решение: Проверим сначала условие (9):

$\small \max (7,3) ≤2 \cdot 4 Ответ: \( \small 2\frac<5><8>. $

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту $ \small h_a $ треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

$ \small \frac<\large h_a><\large \sin \angle B>=\frac<\large c><\large \sin 90°>, $

$ \small h_a=c \cdot \sin \angle B. $

(11)

Пример 4. Известны сторона $ \small c=12 $ треугольника и прилежащий угол $ \small \angle B=30°. $ Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону $ \small a. $

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения $ \small c=12 $ и $ \small \angle B=30° $ в (11). Имеем:

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $\cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

источники:

http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php

http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agtr