Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Формулы для нахождения высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор |
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты \( \small AA_1 ,\) \( \small BB_1 ,\) \( \small CC_1 \) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник \( \small A_2B_2C_2. \) Покажем, что точки \( \small A, \ B, \ C \) являются серединами сторон треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) \( \small AB=A_2C \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABA_2C. \) \( \small AB=CB_2 \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABCB_2. \) Тогда \( \small CB_2=CA_2, \) то есть точка \( \small C \) является серединой стороны \( \small A_2B_2 \) треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) Аналогично доказывается, что точки \( \small A \) и \( \small B \) являются серединами сторон \( \small B_2C_2 \) и \( \small A_2C_2, \) соответственно.
Далее из \( \small AA_1⊥BC \) следует, что \( \small AA_1⊥B_2C_2 \) поскольку \( \small BC \ ǁ \ B_2C_2 \). Аналогично, \( \small BB_1⊥A_2C_2, \) \( \small CC_1⊥A_2B_2. \) Получили, что \( \small AA_1,\) \( \small BB_1, \) \( \small CC_1\) являются серединными перпендикулярами сторон \( \small B_2C_2, \) \( \small A_2C_2, \) \( \small A_2B_2, \) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
. |
. | (1) |
Пример 1. Сторона треугольника равна \( \small a=5 \) а площадь \( \small S=7. \) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения \( \small a \) и \( \small S \) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
(2) |
где \( \small a, \ b, \ c \) стороны треугольника а полупериод \( \small p \) вычисляется из формулы:
(3) |
Высота треугольника, отпущенная на сторону \( \small a\) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
. | (4) |
Пример 2. Известны стороны треугольника: \( \small a=5, \) \( \small b= 4, \) \( \small c=7. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)
Решение: Найдем, сначала полупериод \( \small p \) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения \( \small a , \ b, \ c \) и \( \small p \) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
(5) |
(6) |
Далее, из теоремы синусов имеем:
(7) |
Подставляя (6) в (7), получим:
(8) |
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
\(\small \max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: \( \small b=7, \) \( \small c= 3 \) и радиус описанной окружности \( \small R=4. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \) |
Решение: Проверим сначала условие (9):
\(\small \max (7,3) ≤2 \cdot 4 Ответ: \( \small 2\frac<5><8>. \) |
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту \( \small h_a \) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
\( \small \frac<\large h_a><\large \sin \angle B>=\frac<\large c><\large \sin 90°>, \) |
\( \small h_a=c \cdot \sin \angle B. \) | (11) |
Пример 4. Известны сторона \( \small c=12 \) треугольника и прилежащий угол \( \small \angle B=30°. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения \( \small c=12 \) и \( \small \angle B=30° \) в (11). Имеем:
http://microexcel.ru/vysota-treugolnika-formuly/
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php