Уравнение высоты опущенной из вершины параллелограмма

Задача 41513 Даны три последовательные вершины.

Условие

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;3), В(5;-1),С(5;5). Не находя координаты вершины D, найти:
1. найти уровень сторон AD
2. уровень высоты опущенной из вершины B на сторону AD
3. найти длину этой высоты
4. уравнение диагонали BD
5. угол между диагоналями параллелограмма

Все решения

Точки В и С имеют одинаковую первую координату, поэтому [i]уравнение прямой[/i] ВС: [red]х=5[/red]

Прямая AD || BC и проходит через точку А, у которой первая координата равна (-3)
Значит, [i]уравнение прямой[/i] АD:[red] x=-3[/red]

Высота ВН перпендикулярна AD и значит параллельна оси Ох.
Уравнение прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку В (5;-1)
y=-1

Точка Н — точка пересечения AD и BH

Значит, координаты точки H (-3;-1)

3)
[green]|BH|[/green]=[green]|x_(H)-x_(B)|[/green]=| -3 — 5|= |-8| = 8
так как это частный случай формулы
при y_(H)=y_(B)

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Координаты точки О как середины отрезка АС:
x_(O)=[m]\frac><2>=\frac<-3+5><2>=1[/m]
y_(O)=[m]\frac><2>=\frac<3+5)><2>=4[/m]

Уравнение диагонали BD — это и уравнение прямой BO.

Составим уравнение применяя общее уравнение прямой, проходящей через две точки

Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-5*(х-1)=4*(у-4)
-5х+5=4у-16

[b]5х+4у-21=0[/b] -[i] уравнение диагонали[/i] BD

5)
Угол между диагоналями — это меньший из углов, образованных прямыми BO и AC, значит это угол ВОС

Находим его как угол между векторами
vector и vector

Находим координаты векторов
vector=(5-1;-1-4)=(4;-5)
vector=(5-1;5-4))=(4;1)

Находим скалярное произведение векторов vector и vector
vector*vector=4*4+(-5)*1=11
|vector|=sqrt(4^2+(-5)^2)=sqrt(41)
|vector|=sqrt(4^2+1^2)=sqrt(17)

сos ( ∠ vector, vector)=[m]\frac<11><\sqrt<41>\cdot \sqrt<17>>=\frac<11><\sqrt<697>>=\frac<11\sqrt<697>><697>[/m]

Уравнение высоты опущенной из вершины параллелограмма

-Iriska-
Сделайте рисунок, тогда Вы увидите, что
1) AD параллельно BC и проходит через точку А
2) Высота перпендикулярна AD и проходит через точку B
3) Диагональ проходит через точки B и D. А точка D, например, является пересечением сторон AD и CD.

У меня получилось следующее: 1) y=-3x=9
если предположить, что вы промахнулись и вместо плюса напечатали «=»,
т.е. имели ввиду y=-3x + 9, то это правильно

2) 2) уравнение высоты y=1/3x -19/3
а здесь ошиблись

длину этой высоты
можно посчитать как расстояние от точки В до прямой AD (есть формула расстояния от точки до прямой)

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B: