Уравнение высших степеней 11 класс мордкович

Урок алгебры и начала анализа по теме «Методы решения уравнений высших степеней». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, это способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”.

Цель урока: обеспечение условий для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений.

Образовательные задачи: обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.

Развивающие задачи:

Воспитательные задачи:

Форма урока – установочный практикум.

Обеспечение: 1) листы с заданиями (приложение 1); 2) типы уравнений высших степеней; 3) возможны презентации докладчиков; 4) презентация учителя (приложение 2).

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний (фронтальная работа с классом) (10 минут)

Учитель:

1. Объявляется тема урока, обращается внимание обучающихся на эпиграф урока.
2. Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений.
3. Назовите общие методы решения уравнений высших степеней.
   Какой из перечисленных методов вам наиболее близок и понятен?
   Перечислите аналитические приёмы, с помощью которых можно решить уравнения высших степеней названным методом.
4. А теперь я предлагаю вам составить схему (кластер) методов решения уравнений высших степеней и провести классификацию уравнений по методам решений (обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах).

1) х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х 4 – 9х 3 + 10х 2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х 5 + 3х 3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х 2 + 3х + 2)(х 2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х 3 – 5х 2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х 4 – 5х 3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х 7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х 3 – 10х 2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х 4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х 6 + х 2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)

1. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию. Учитель показывает свою схему, проверяется умение обучающихся определять способы решения уравнений на первый взгляд.

Разложение многочлена на множители

Метод замены переменной

Функционально-графический методСпособом группировкиБиквадратные уравненияТеорема о монотонности функцийПо формулам сокращенного умноженияВозвратные уравненияИспользование производной функцииПо теореме БезуУравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены.Составление уравнения касательнойСхема ГорнераВведение неопределенных коэффициентовДеление многочлена на многочлен

1. Взаимопроверка в парах. (“5” – 9-10 уравнений; “4” – 7-8 уравнений; “3” – 5-6 уравнений; “2” – меньше 5 уравнений”), отложили на край парты.
2. Выявление проблемы: какие методы решения уравнений высших степеней вызывают затруднения (существуют ли другие методы решения ).
3. Сформулируйте задачи нашего урока.

II. Включение в систему знаний (проверка домашнего задания, восприятие и осознание учебного материала) (15 минут):

Востребованные докладчики объясняют:

• Идею метода.
• Показывают решение конкретного примера.

Остальные учащиеся слушают объяснения, задают вопросы докладчику, записывают решение.

III. Закрепление знаний (17 минут):

1. Решение предложенных уравнений различными методами по рядам:
   I ряд – решают введением новой переменной, II ряд –функционально-графическим, III ряд – разложением на множители.
2. В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Особое внимание уделяется уравнениям с параметром.

У доски ученик решает уравнение с параметром №3.4(г).

ах 3 – 3х 2 – 5х – а 2 = 0, р= -1 – корень уравнения.

а 2 + а – 2 = 0, а = -2 или а = 1.

При а = -2 уравнение принимает вид: 2х 3 + 3х 2 + 5х + 4 = 0.

При а=1 уравнение принимает вид: х 3 – 3х 2 – 5х – 1 = 0.

х 2 – 4х – 1 = 0, х = 25.

Ответ: – 1; 25.

1. На слайдах в презентации показывается историческая справка.

Из истории математики

Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

1. Фронтальный опрос о приемах решения уравнений самостоятельно, ответы и решения сверяются с помощью презентации.
2. Самооценка. Проанализируйте свою работу, сделайте выводы о своих навыках и умении решать уравнения высших степеней различными методами.

IV. Домашнее задание (1 минута):

П. 3. №№ 3.20(б); 3.26(а); 3.29(г); 3.33(б).

Задание творческого характера: найти в различных источниках приемы решения уравнений высших степеней, о которых не упоминалось на уроке, привести примеры.

V. Итог урока (2 минуты):

1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
2. Рефлексия:
   – Какой метод для вас оказался самым легким?
   – Какой метод для вас оказался самым трудным?
   – Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
   – Чей доклад вам больше понравился? Почему?
   – Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?

Литература:

1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2012.
2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2012.
3. А.П. Карп “Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11” (М: Просвещение, 1999).
4. Ф.М. Мурзабаева. Презентация “Методы решения уравнений высших степеней” 11 класс (профильный уровень), г. Баймака, 2013.

Презентация к уроку «Уравнения высших степеней» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

МБОУ «СОШ с углубленным изучением отдельных предметов №4» Тема урока: Уравнения высших степеней. Учитель математики высшей квалификационной категории Боярская Мария Николаевна

Цель и задачи урока: Цели: Образовательная: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней Развивающая: Развитие познавательных и исследовательских умений; содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать. Воспитательная: Воспитание культуры общения, воспитание умения работать в группах, выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности. Задачи: познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней, научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной, изучить способы возвратных и однородных уравнений

1 Этап. Организационный. Вопросы по домашнему заданию: 1 уравнение Какая замена переменных сделана в уравнении? Какое уравнение получено после замены переменных? 2 уравнение На какой многочлен делили обе части уравнения? Какая замена переменных была получена? 3 уравнение Какие многочлены необходимо перемножить для упрощения решения данного уравнения? 4 уравнение Назвать функцию f(х). Как были найдены остальные корни? 5 уравнение Сколько было получено промежутков для решения уравнения? 6 уравнение Какими способами можно было решить данное уравнение? Какой способ решения более рациональный?

Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство. Примеры х3 + х = 0 — один корень: х = 0. Ѕіn(πx) =0 — бесконечное число корней х Z. х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х R. х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней ø). 2 Этап. Изложение нового материала.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Примеры х2 = х + 2 и х2 – х – 2 = 0 равносильны. х4 + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны. х2 = 2х – 6 и х = (2х – 6)2 неравносильны. Неравносильные преобразования могут привести к: потере корней, появлению посторонних корней.

Методы решения уравнений Разложение на множители Замена переменной: Основными способами реализации этого метода являются: Использование основного свойства дроби. Выделение квадрата двучлена. Переход к системе уравнений. Раскрытие скобок парами. Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения на х ≠ 0. Двойная замена. Понижение степени уравнения. Использование монотонности Сравнение обеих частей по величине Использование однородности Применение схемы Горнера Возвратное уравнение Уравнение 3 степени – формула Кардано Метод Феррари См. Приложение 1. Теория

“Разобрать предложенный способ решения уравнения и объяснить его на данном примере”. Группа 1. 1. Решить уравнение по формуле Кардано: х3 + 15х2 + 48х + 44 = 0. 2. Решить уравнение выделением целых и рациональных корней х5 – 2х4 – 4х3 + 4х2 – 5х + 6 = 0; 3. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов 2х4 – 5х3 – 3х2 + 7х – 2 = 0. х4 – 2х3 – х2 – 2х + 1 = 0. Группа 2. Решить симметрические и возвратные уравнения. а) х5 – 12х4 + 31х3 + 31х2 –12х + 1 = 0; б) х4 + 4х3 – 18х2 – 12х + 9 = 0. Решить уравнение заменой переменных: (х – 1)(х + 1)(х + 2)х = 24. Решить уравнение вида f(f(х)) = х: (х2 + 2х – 5)2 + 2(х2 + 2х – 5) – 5 = х. На доске. Сколькими способами можно решить уравнение. Выберите наиболее рациональный. х4 + 2х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0. Решить уравнение: (х – 2)2(х + 1)2 – (х – 2)(х2 – 1) – 2(х – 1)2 = 0. 3 Этап. Работа в группах.

Вариант 1. 1. Найдите действительные корни уравнения Зх3 – 5х2 + Зх – 5 =0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2 х4 + 3х3–8х2 – 9х+6= 0. 3. Решите уравнение (х+1)(х – 2)(х+3)(х – 4)=144. Вариант 2 1. Найдите действительные корни уравнения 4х5+8х4+5х3+10х2 – 3х – 6=0. 2. Найдите действительные корни уравнения 2х4 – 5х3 – х2 +5х+2=0. 3. Решите уравнение (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 6. Вариант 3 1. Найдите действительные корни уравнения Зх5 – 6х4 + 4х3 – 8х2 – Зх + 6 = 0. 2. Найдите действительные корни уравнения 5х4 – Зх3 – 4х2 –Зх+5= 0. 3. Решите уравнение (х – 3)(х+2)(х – 6)(х – 1)+56=0. 4 Этап. Самостоятельная работа.

Достигнуты ли цели урока? Чему Вы научились на уроке? Заполним вместе до конца Матрицу мониторинга урока. Домашнее задание. Оформить решение незаконченных уравнений. Подготовиться к контрольному срезу. 5 Этап. Рефлексия. Итог урока.

Спасибо за внимание! Недостаточно только получить знания: надо найти им приложение. И. Гете

Краткое описание документа:

Основная цель материала: Формирование знаний о методах и способах решения алгебраических уравнений высших степеней.

Задачи:

❏познакомить учащихся с различными способами решения уравнений высших степеней,

❏научить понижать степень уравнений высших степеней, используя теорему Безу и схему Горнера, а также удачную подстановку при введении новой переменной,

❏изучить способы возвратных и однородных уравнений

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

1. Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х 2 -9) 2 -8(х 2 -9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:

t 2 -8t+7=0, D=b 2 -4ac=36, t 1 =7; t 2 =1.

Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.

Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.

Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =

Решим второе уравнение х 2 — х – 20 = 0, D =81, х 3 = — 4, х 4 = 5.

Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = — 4, х 4 = 5.

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,

(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:

х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73

(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.

Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,

х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,

х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим

Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:

а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1) 2 =(х-1) 2 ; 2) (х-1) 2 =9(х+1) 2 .

1. х 2 +2х+1=х 2 -2х+1, 2) х 2 -2х+1=9х 2 +18х+9,

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .

Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:

х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,

x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,

Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:

(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:

t 2 +t-90=0, D=1+360=361,

t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:

х 2 +10х+9=0, D=100-36=64

х 2 -9х+9=0, D=81-36=45

Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =

Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)