Уравнение y 4y ex является каким уравнением ответ

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

• действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
• действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
• комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

• y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
• y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
• y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

• находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
• записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Уравнение y 4y ex является каким уравнением ответ

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математика

Ответы на все модули (для контрольного теста) по предмету математика.

Ответы на модуль 1 (ЧИСЛА) по предмету математика.

1) Найдите значение выражения

2) Упростите иррациональное выражение

22

10000

6) Какое из перечисленных чисел является иррациональным?

3,141592…

7) Вычислите

6*5/21

8) Какая из перечисленных дробей является смешанной периодической дробью?

2,75(12)

9) Вычислите с точностью до десятых

0,3

10) Найдите значение выражения при a= 2

2/3

11) Упростите

12) Найдите

-2

13) Какие числа называются целыми?

натуральные числа, числа противоположные натуральным, и число 0

Ответы на модуль 2 (ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА) по предмету математика.

1) Дано: Найдите a*b

32

2) Дано: Вычислите

13

3) Найдите l , если

3 или -3

4) Что называется скалярным произведением двух векторов?

число, определяемое по формуле

5) Найдите l , если

2,5 или -2,5

6) Даны векторы и Найдите — проекцию вектора на ось вектора

7) Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислите проекцию вектора на вектор MN

3

8) При каком значении l векторы MP и KD коллинеарны, если M(-3; 2), P(-1; -2), K(2; 1), D(5;l)?

-5

9) Какие векторы называются коллинеарными?

лежащие на одной прямой или параллельных прямых

10) Векторы называются компланарными, если

они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях

11) Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору

12) Векторы a и b взаимно перпендикулярны (ортогональны), причем |a|=5 и |b|=12 . Определите

13

13) Векторы AC=a и BD=d служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор DA через векторы a и b

Ответы на модуль 3 (АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ) по предмету математика.

1) Найдите координаты точки K пересечения прямой с плоскостью 2x+ 5y- 3z= 0

2) Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x + 3y — 8 = 0 и x — 4y + 5 = 0 и через точку M₁(-2; 3)

5x+ 13y— 29 = 0

3) Укажите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; 2; 5) и M₂(-1; 3; -2)

4) Даны прямые и При каком значении a они перпендикулярны?

a= 2

5) Установите взаимное расположение прямых и

прямые перпендикулярны

6) Укажите канонические уравнения прямой

7) Найдите острый угол между прямыми и

60°

8) Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и

9) Даны вершины треугольника ABC: A(3; -1),B(4; 2) и C(-2; 0). Напишите уравнения его сторон

10) Уравнение 3x— 4y+ 12 = 0 преобразуйте к уравнению в отрезках

11) Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 2 и составляющей с осью Ox угол j= 45°

12) Найдите координаты точки пересечения прямых 2x—y— 3 = 0 и 4x+ 3y— 11 = 0

(2; 1)

13) Найдите уравнение прямой, проходящей через точки M₁(3; 2), M₂(4;-1)

Ответы на модуль 4 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.

1) Определите эксцентриситет равносторонней гиперболы

2) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точки А(3;1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой 3x—y— 2 = 0

(x— 2) 2 + (y— 4) 2 = 10

3) Укажите уравнение окружности радиуса R= 8 с центром в точке C(2;-5)

(x— 2) 2 + (y+ 5) 2 = 8 2

4) Определите полуоси гиперболы

5) Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, а прямая 3x— 4y+ 20 = 0 является касательной к окружности

x 2 +y 2 = 16

6) Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(2;6) и ее центр совпадает с точкой C(-1; 2)

(x+ 1) 2 + (y— 2) 2 = 25

7) Укажите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось b= 3

8) Напишите уравнение эллипса, если даны его полуоси a= 5 и b= 4

9) Укажите уравнение окружности, проходящей через точку (4; 5) с центром в точке (1; -3)

(x— 1) 2 + (y+ 3) 2 = 73

10) Определите полуоси гиперболы 25x 2 — 16y 2 =1

11) Напишите уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ox, если даны a= 6 и b= 2

12) Укажите уравнение параболы, с вершиной в точке O и фокусом F(4; 0)

13) Укажите уравнение окружности, для которой точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров

(x— 1) 2 + (y— 4) 2 = 8

Ответы на модуль 5 (КРИВАЯ 2-ГО ПОРЯДКА) по предмету математика.

1) Найдите общее решение системы

2) Вычислите определитель

-89

3) Найдите ранг и базисные строки матрицы

2. 1-я строка, 2-я строка

4) Вычислите определитель

0

5) Найдите А × В, где ;

6) Решите систему уравнений методом Крамера

7) Найдите обратную матрицу для матрицы

8) Найдите ранг матрицы

4

9) Определитель системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными равен 5. Это означает, что

система имеет единственное решений

11) Метод Гаусса решения системы линейных уравнений предполагает использование

последовательного исключения неизвестных

12) Система линейных уравнений называется совместной, если

она имеет хотя бы одно решение

13) Решите матричное уравнение AX + AXA = B, где ;

Ответы на модуль 6 (МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) по предмету математика.

1) Найдите предел

3

2) Найдите предел

5

3) Найдите предел

5

4) Найдите предел

1/e

5) Найдите предел

0

6) Найдите предел

0

7) Найдите предел

8) Найдите предел

1/2

9) Найдите предел

e — 5

10) Найдите предел

1

11) Найдите предел

0

12) Найдите предел

5/3

13) Найдите предел

3/5

Ответы на модуль 7 (ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ) по предмету математика.

1) Вычислите предел по правилу Лопиталя

0

2) Найдите производную функции f(x)=(1+ cos x)sin x

cos x+ cos 2x

3) Вычислите предел по правилу Лопиталя

1/18

4) Вычислите предел по правилу Лопиталя

-4/3

5) Найдите производную функции y= sin(2x 2 + 3)

4xcos(2x 2 + 3)

6) Найдите производную функции y=(3e x +x)× cos x

(3e x + 1) × cos x— (3e x +x) × sin x

7) Для функции найдите y(49)

1/14

8) Найдите производную функции

9) Найдите производную функции y=2 tg x

10) Найдите производную функции

11) Найдите скорость тела, движущего по закону S=3t-5

3

12) Дана функция Решите уравнение

13) Найдите производную функции y=xe x —e x

xe x

Ответы на модуль 8 (ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ) по предмету математика.

1) Число f(x₀) называется наибольшим значением функции на отрезке [a;b], если

для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) 2 — 3x+ 1

убывает при x 3/2

3) Найдите точки максимума (минимума) функции y=- 5x 2 — 2x+ 2

(-0,2;2,2) — точка максимума

4) Каково необходимое условие возрастания функции?

если функция y=f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a;b), то f(x)>=0 для всех xиз этого интервала

5) Определите поведение функции y= 2x 2 при x= 1

возрастает

6) В каких точках выпукла или вогнута кривая y=x 2 — 3x+ 6

вогнута во всех точках

7) Найдите промежутки возрастания или убывания функции y=- 2x 2 + 8x— 1

(0; 0)

9) Найдите точки перегиба кривой y=x 4 — 12x 3 + 48x 2 — 50

(2; 62) и (4; 206)

10) Найдите точки максимума (минимума) функции y=x 2 — 2x

(1;-1) — точка минимума

11) Вертикальные асимптоты к графику функции имеют вид

12) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x 2 на промежутке [-1; 3]

13) В каких точках выпукла или вогнута кривая y= 2 — 3x—x 2

выпукла во всех точках

Ответы на модуль 9 (ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ) по предмету математика.

1) Найдите частные производные функции двух переменных

2) Найдите частные производные второго порядка функции z=x 3 y 4 +ycos x

3) Найдите предел функции при x->0, y->0

0

4) На каком из рисунков изображена область определения функции

5) Найдите частные производные функции двух переменных z=xe y +ye x

6) Найдите частные производные функции z=x 2 × ln y

7) Найдите полный дифференциал функции z=x 2 y+xy 2

8) Какая поверхность называется графиком функции n переменных?

9) Укажите полное приращение функции f(x;y)

10) Найдите

4

11) Укажите частное приращение функции f(x;y)по переменной у

12) На каком из рисунков изображена область определения функции

13) Найдите область определения функции

xy 2 не =y 2

Ответы на модуль 10 (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) по предмету математика.

1) Найдите

2) Найдите

3) Найдите

4) Найдите

5) Найдите

6) Найдите

7) Найдите

8) Найдите

9) Найдите

10) Найдите если при x= 2 первообразная функция равна 9

11) Найдите

12) Найдите если при x=0 первообразная функция равна 0

13) Найдите

Ответы на модуль 11 (ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ) по предмету математика.

1) Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v=9t 2 -2t-8. Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения

48 м

2) Вычислите определенный интеграл

9

3) Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?

0,24 кГм

4) Вычислите определенный интеграл

5) Вычислите определенный интеграл

e p -1

6) Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми y=4x— 5, x=-3, x=-2 и осью Ox

15

7) Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v= 9,8t м/сек. Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?

490 м

8) Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми y=5x, x=2 и осью Ox

10

9) Вычислите определенный интеграл

2

10) Вычислите определенный интеграл

4*2/3

11) Вычислите определенный интеграл

2/3

12) Вычислите определенный интеграл

0,24

13) Вычислите определенный интеграл

0,25

Ответы на модуль 12 (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) по предмету математика.

1) Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?

частным решением

2) Найдите общее решение уравнения (x+y)dx+xdy=0

3) При решении каких уравнений используют подстановку

при решении однородных уравнений

4) Найдите общее решение уравнения xy 2 dy=(x 3 +y 3 )dx

5) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение Бернулли

6) Найдите общее решение уравнения y — 9y = e 2 x

7) Найдите общее решение уравнения

8) Найдите частное решение уравнения ds=(4t-3)dt, если при t= 0 s= 0

9) Найдите общее решение уравнения y—y= 0

10) Найдите общее решение уравнения

11) Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное уравнение

12) Найдите общее решение уравнения y— 4y+ 3y= 0

13) Найдите общее решение уравнения y = cos x

Ответы на модуль 13 (РЯДЫ) по предмету математика.

1) Исследуйте сходимость ряда

сходится

2) Найдите интервал сходимости ряда x+2x 2 +3x 3 +4x 4 +…+nx n +…, не исследуя концов интервала

(-1; 1)

3) Найдите радиус сходимости ряда

4) Разложите в степенной ряд f(x)= arctg 3x

5) Исследуйте сходимость ряда

расходится

6) Исследуйте сходимость ряда

сходится

7) Найдите интервал сходимости ряда

8) Исследуйте сходимость ряда

расходится

9) Исследуйте сходимость ряда

расходится

10) Исследуйте сходимость ряда

сходится

11) Разложите в степенной ряд f(x)= sin 2x

12) Исследуйте сходимость ряда

расходится

13) Исследуйте сходимость ряда

сходится

Ответы на задачник по предмету математика.

1) Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1, -1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

x — y + 3z — 11 = 0

2) Вычислить определитель D, разложив его по элементам второго столбца.

-20

3) Вычислить J= ∫cos(lnx) dx/x

sin(lnx)+ C

4) Найти lim _x—>0 (5 x — cos x)

0

5) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 4y = x 2 , y 2 = 4x.

16/3

6) Найти производную функции y =ln sinx

ctg x

7) Найдите угол между векторами a = 2m+4n и b = m-n, где m и n — единичные векторы и угол между m и n равен 120 о

120

8) Найти наименьшее значение функции y = x 2 – 6x + 5 на отрезке (1,2).

-3

X1=2, X2=3, X3=-2.

10) При каком положительном значении параметра t прямые, заданные уравнениями
3tx — 8y + 1 = 0 и (1+t)x — 2ty = 0, параллельны?