Уравнение y kx b коэффициенты

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

• если х = 0, то у = -2;
• если х = 2, то у = -1;
• если х = 4, то у = 0;
• и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
   
4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
   b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
   b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
   b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
   b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
7. График функции пересекает оси координат:
   ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
   ось ординат OY — в точке (0; b).
8. x=-b/k — является нулем функции.
9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
   Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /_k) и положительные значения на промежутке (- b /_k, +∞)
    При k b /_k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /_k).
11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
    Если k > 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

• если k > 0, то график наклонен вправо;
• если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
• если b 1 /₂x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /₂x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

• график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
• график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
• график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

• С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
  Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
• С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /_k.
  Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /_k; 0)

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

• В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
  Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
  Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
  2 = -4(-3) + b
  b = -10
• Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
  Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
  Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
   Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
   Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Глава 1. Уравнение прямой (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Глава 1. Уравнение прямой

Геометрия развивается по многим направлениям. Возникновение компьютеров привело к появлению такой области математики как вычислительная геометрия. При создании современных приложений часто требуется разработка эффективных алгоритмов для определения взаиморасположения различных объектов на плоскости, вычисления расстояний между ними, вычисления площадей фигур и др.

В данной главе излагается материал, частично известный вам из курса математики. Мы рассмотрим методы решения геометрических задач, которые эффективно реализуются с помощью компьютера, что позволит вам по другому взглянуть на вопросы, изучаемые в рамках школьного курса геометрии. Для этого придется воспользоваться аналитическим представлением геометрических объектов.

1. 1. Формы записи уравнения прямой

В задачах часто приходится задавать на плоскости различные геометрические объекты. Простейшими геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка задается указанием своих координат, например A(15; –5), B(x1; y1). Прямую можно задавать с помощью уравнения прямой. Существуют различные формы записи уравнения прямой. Выбор какой-то конкретной зависит от исходных данных, задающих прямую на плоскости. (Могут быть заданы координаты двух точек, через которые проводится прямая, или коэффициенты при неизвестных в линейном уравнении).

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени. Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Если в общем уравнении прямой коэффициент при y не равен нулю, то уравнение можно разрешить относительно y:

Обозначая k = и b = ,

получаем уравнение вида y = kx + b. Если же B = 0, то уравнение имеет вид

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Oy, считая от начала координат (рис. 1).

Уравнение y – y0 = k(x–x0) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, которая проходит через точку с координатами (x0; y0).

Рассмотрим две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), лежащие на прямой y = kx + b. Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Вычитая из второго равенства первое, имеем y2 – y1 = k(x2 – x1), или

k =

Пусть точка с координатами (x; y) – произвольная точка на прямой, проходящей через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2) ( рис. 2 ). Тогда, с учетом того факта, что она имеет тот же коэффициент наклона, получаем

k =

= или =

=

является уравнением прямой, которая проходит через точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2). Недостатком этой формулы является ее неопределенность при x1 = x2 и (или) y1 = y2. Поэтому ее лучше использовать в виде

Алгоритм для определения значений коэффициентов A, B, C общего уравнения прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим [1] :

C:= – x1*(y2 – y1)+y1*(x2 – x1)

Рассмотрим пример: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 1, y2 = 2. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2) будет следующим:

C = –x1 * (y2 – y1) + y1 * (x2 – x1) = 0 * 2 + 0 * 1 = 0. ЌСледовательно, уравнение прямой будет иметь вид 2х – у = 0.

1. 2. Положение точек относительно прямой

Множество точек прямой, проходящей через две точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), удовлетворяет уравнению

Это значит, что если имеется точка с координатами (x0; y0) и (x0 – x1) * (y2 – y1) – (y0 – y1) * (x2 – x1) = 0, то эта точка лежит на прямой. B дальнейшем, вместо выражения (x – x1) * (y2 – y1) – (y – y1) * (x2 – x1) мы иногда будем использовать для краткости обозначение Ax + By + C или f(x1, y1, x2, y2, x, y).

Прямая Ax + By + C = 0, проходящая через две заданные точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), разбивает плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим возможные значения выражения Ax + By + C.

1) Ax + By + C = 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих на прямой.

Запишем алгоритм для определения, лежит ли точка с координатами (x3; y3) на прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2). Переменная P – переменная логического типа, которая имеет значение «истина», если точка лежит на прямой и «ложь» в противном случае.

если (x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)=0

2) Ax + By + C > 0 – определяет геометрическое место точек, лежащих по одну сторону от прямой.

3) Ax + By + C рис. 3 точки (x3; y3) и (x4; y4) лежат по одну сторону от прямой, точки (x3; y3) и (x5; y5) по разные стороны от прямой, а точка (x6; y6) лежит на прямой.

Рассмотрим пример: x1 = 1, y1 = 2, x2 = 5, y2 = 6. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим:

Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид 4х – 4у + 4 = 0 или x – y + 1 = 0. Подставим координаты точек (3; 4), (1; 1), (2; 0), (0; 2) в уравнение прямой. Получим:

1 * 3 – 1 * 4 + 1 = 0, 1 * 2 – 1 * 0 + 1 > 0,

1 * 1 – 1 * 1 + 1 > 0, 1 * 0 – 1 * 2 + 1 L:=»по одну»

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

½ то L:=»по разные» (1. 3)

1.3. Взаимное расположение двух отрезков

Пусть нам необходимо определить взаимное расположение двух отрезков. Отрезки на плоскости заданы координатами своих концевых точек. Предположим, что концевые точки одного из отрезков имеют координаты (x1; y1) и (x2; y2), а концевые точки другого – (x3; y3) и (x4; y4). Пусть общее уравнение первой прямой, проходящей через точки (x1;y1) и (x2;y2), имеет вид A1x + B1y + C1 = 0, а второй прямой, проходящей через точки (x3;y3) и (x4;y4), A2x + B2y + C2 = 0.

Определим расположение точек (x3; y3) и (x4; y4) относительно первой прямой. Если они расположены по одну сторону от прямой, то отрезки не могут пересекаться. Аналогично можно определить положение точек (x1; y1) и (x2; y2) относительно другой прямой.

Таким образом, если значения пары выражений Z1 = A1x3 + B1y3 + C1 и Z2 = A1x4 + B1y4 + C1 имеют разные знаки или Z1*Z2 = 0, а также пары Z3 = A2x1 + B2y1 + C2 и Z4 = A2x2 + B2y2 + C2 имеют разные знаки или Z3*Z4 = 0, то отрезки пересекаются. Если же значения пар выражений Z1 и Z2, или Z3 и Z4, имеют одинаковые знаки, то отрезки не пересекаются.

Различные случаи расположения отрезков показаны на рис. 4 .

На этом рисунке отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x4; y4), (x5; y5) пересекаются, отрезки с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x3; y3), (x4; y4) не пересекаются, а отрезки с концами в точках (x3; y3), (x4; y4) и (x4; y4) и (x5; y5) имеют общую вершину, что можно считать частным случаем пересечения.

Алгоритм для определения, пересекаются ли два отрезка с концами в точках (x1; y1), (x2; y2) и (x3; y3), (x4; y4) будет следующим:

Z1:=(x3 – x1)*(y2 – y1) – (y3 – y1)*(x2 – x1)

Z2:=(x4 – x1)*(y2 – y1) – (y4 – y1)*(x2 – x1)

Z3:=(x1 – x3)*(y4 – y3) – (y1 – y3)*(x4 – x3)

Z4:=(x2 – x3)*(y4 – y3) – (y2 – y3)*(x4 – x3)

Приведенный фрагмент алгоритма не учитывает крайней ситуации, когда два отрезка лежат на одной прямой. В этом случае (x3 – x1) * (y2 – y1) – (y3 – y1) * (x2 – x1) = 0 и (x4 – x1) * (y2 – y1) – (y4 – y1) * (x2 – x1) = 0.

На рис. 5 отрезки, лежащие на одной прямой не пересекаются, а на рис. 6 – отрезки пересекаются.

Для того, чтобы определить взаимное расположение таких отрезков, поступим следующим образом. Обозначим

Здесь k1 является левой, а k2 – правой точкой проекции первого отрезка (отрезка, заданного координатами (x1; y1), (x2; y2)) на ось Ox. Аналогично k3 является левой, а k4 – правой точкой проекции второго отрезка (отрезка, заданного координатами (x3; y3), (x4; y4)) на ось Ox. Аналогично ищем преокции на ось OY.

Отрезки, лежащие на одной прямой будут пересекаться тогда, когда их проекции на каждую ось пересекаются. (Следует заметить, что если проекции двух произвольных отрезков пересекаются, то это не значит, что и сами отрезки пересекаются, что видно на рис. 7 ).

Для определения взаимного расположения проекций на ось OX воспользуемся следующим фактом (см. рис. 5 и рис. 6 ): координата левой точки пересечения проекций Lx равна max(k1; k3), т. е. максимальной из координат левых точек проекций. Рассуждая аналогично для правых точек проекций, получим, что координата правой точки Rx пересечения равна min(k2; k4). Для того, чтобы отрезки пересекались, необходимо, чтобы левая координата пересечения проекций была не больше правой координаты пересечения отрезков (такой случай имеет место на рис. 5 , когда Lx = х3, а Rx = х2). Поэтому условием пересечения проекций является выполнение неравенства Lx £ Rx. Аналогично можно вычислить величины Lу и Rу, беря соответствующие проекции на ось Оу.

Следует отметить, что длина пересечения проекций в этом случае равна величине Lx– Rx (если Lx– Rx = 0, то проекции имеют только общую точку).

1.4. Точка пересечения отрезков

Для определения места пересечения отрезков (если известно, что они пересекаются), достаточно определить точку пересечения прямых, на которых эти отрезки лежат.

Пусть A1x + B1y + C1 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки первого отрезка, а A2x + B2y + C2 = 0 является уравнением прямой, проходящей через концевые точки второго отрезка.

Тогда для определения точки пересечения отрезков достаточно решить систему уравнений

Домножив первое уравнение на A2, а второе уравнение на A1, получим

Вычитая из первого уравнения второе, можно найти значение y:

y =

Аналогично можно вычислить значение x:

x =

Это справедливо в случае, если выражение A2 * B1 – A1 * B2 ¹ 0. Но мы уже знаем, что отрезки пересекаются и не лежат на одной прямой. А это невозможно, если A2 * B1 – A1 * B2 = 0.

2.1 Расстояния между точками. Расстояние от точки до прямой

Расстояние между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) на плоскости ( рис. 8 ) определяется по формуле

D = .

Расстояние от точки до прямой на плоскости определяется как длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Уравнение вида

,

где T = , причем С £ 0 (чего можно достигнуть изменением знака выражения), называется нормальным уравнением прямой. Это уравнение обладает тем свойством, что при подстановке координат произвольной точки в выражение (Ax + By + C)/T получается значение, по абсолютной величине равное расстоянию от точки до прямой ( рис. 9 ).

Запишем алгоритм для определения расстояния от точки (x3; y3) до прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2).

C:= – x1*(y2 – y1)+y1*(x2 – x1) (1. 5)

Рассмотрим пример: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 3, y2 = 4 x3 = –1, y3 = 7. Уравнение прямой, проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2), будет следующим:

Т = = = = 5,

D = = = 5.

2.2. Расстояние между точкой и отрезком

Для определения расстояния между точкой и отрезком необходимо выяснить, пересекает ли перпендикуляр, опущенный из данной точки на прямую, проходящую через концы отрезка, сам отрезок. Если перпендикуляр пересекает отрезок, то расстояние между точкой и отрезком равно расстоянию между точкой и прямой, проходящей через отрезок. (Эту задачу вы уже умеете решать.)

Если перпендикуляр не пересекает отрезок, то расстояние между точкой и отрезком равно минимальному из расстояний между точкой и одним из концов отрезка.

Для определения взаимного расположения отрезка и перпендикуляра поступим следующим образом.

Рассмотрим треугольник, образованный тремя точками, две из которых (x1; y1) и (x2; y2) являются концами данного отрезка, а третья – данная точка с координатами (x3; y3) (см. рис. 10 , б, в). Конечно, может оказаться, что все точки лежат на одной прямой и такого треугольника не существует. В этом случае, однако, мы будем полагать, что треугольник существует, правда он вырожденный (особый). В вырожденном треугольнике длины сторон могут быть равными 0 (см. рис. 10 , а).

Более того, мы будем полагать, что данный отрезок является основанием рассматриваемого треугольника (см. рис. 10 , б, в).

При таких предположениях для решения исходной задачи нам достаточно определить, является ли один из углов при основании тупым или нет. Действительно, если один из углов при основании является тупым, то перпендикуляр, опущенный из вершины, соответствующей исходной точке, не попадает на основание (отрезок). Иначе перпендикуляр, опущенный из вершины, соответствующей исходной точке, попадает на основание (отрезок).

Для решения последней задачи воспользуемся следующим свойством. Пусть a, b, c – длины сторон треугольника, причем с – длина основания. Тогда треугольник является тупоугольным при основании, если

Поэтому, вычислив значения квадратов длин сторон, нетрудно определить, пересекает ли перпендикуляр, опущенный из точки (x3; y3) на прямую, отрезок с концами в точках (x1; y1) и (x2; y2). И если не пересекает, то расстояние от точки до отрезка равно минимуму из величин a, b. Если же пересекает, то необходимо воспользоваться свойством нормального уравнения прямой .

§ 3. Многоугольники

3.1. Виды многоугольников

Ломаной называется фигура, которая состоит из точек A1, A2, . An и соединяющих их отрезков A1A2, A2A3, . An – 1An ( рис. 11 , а). Точки называются вершинами ломаной, а отрезки – звеньями. Наиболее распространенным способом задания ломаной является использование таблицы, элементы которой соответствуют координатам вершин ломаной в порядке ее обхода из одного конца в другой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Многоугольником называется замкнутая ломаная линия без самопересечений (рис. 11, б).

Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 11, в).

Обход плоского многоугольника называется положительным, если при обходе область расположена по левую руку, и отрицательным, если область остается по правую руку.

Расстояние между фигурами на плоскости определяется как длина минимального отрезка, один конец которого принадлежит одной фигуре, а второй конец – другой фигуре.

3.2. Выпуклость многоугольников

Многоугольник является выпуклым, если для каждой прямой, проходящей через любую его сторону, все остальные вершины лежат в одной полуплоскости относительно прямой. Проверим для каждой прямой, проходящей через вершины (x1; y1) и (x2; y2), (x2; y2) и (x3; y3), . (xn – 1; yn – 1) и (xn; yn), (xn; yn) и (x1; y1) взаимное расположение вершин многоугольника. Если они каждый раз расположены в одной полуплоскости относительно проведенной прямой, то многоугольник выпуклый. Если же найдется прямая, проходящая через одну из сторон, и пара вершин многоугольника, лежащих по разные стороны относительно проведенной прямой, то многоугольник не является выпуклым. Случаи выпуклого и невыпуклого многоугольников изображены на рис. 12.

Можно заметить, что для каждой прямой, проходящей через вершины (x1; y1) и (x2; y2), (x2; y2) и (x3; y3), . (xn – 1; yn – 1) и (xn; yn), (xn; yn) и (x1; y1) достаточно ограничится определением взаимного расположения вершин многоугольника (xn; yn) и (x3; y3), (x1; y1) и (x4; y4), . (xn – 2; yn – 2) и (x1; y1), (xn – 1; yn – 1) и (x2; y2), соответственно. Если они каждый раз расположены в одной полуплоскости относительно проведенной прямой, то многоугольник выпуклый. Если же найдется прямая и пара вершин многоугольника, лежащих по разные стороны относительно проведенной прямой, то многоугольник не является выпуклым. Поэтому для определения, является ли многоугольник выпуклым, достаточно воспользоваться алгоритмом

нц для i от 1 до n

½ j:= mod( i, n +1 ) : номер вершины после вершины i

½ k:= mod (j, n +1) : номер вершины после вершины j

½½ то m:=n : номер вершины перед вершиной i

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

1. Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
2. Областью значений также является множество всех действительных чисел.
3. Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
4. При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
5. При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
6. При k=0 прямая параллельна оси х.
7. Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

у=2х – 1=2 × 0 – 1= –1;

у=2х – 1=2 × 3 – 1= 5.

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),

Проводимость — способность живой ткани проводить возбуждение.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

• если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b 0, то выше ноля в точке y = b
• если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить