Уравнение янга миллса кто решил

Задачи тысячелетия. Просто о сложном

Привет, хабралюди!

Сегодня я бы хотел затронуть такую тему как «задачи тысячелетия», которые вот уже десятки, а некоторые и сотни лет волнуют лучшие умы нашей планеты.

После доказательства гипотезы (теперь уже теоремы) Пуанкаре Григорием Перельманом, основным вопросом, который заинтересовал многих, был: «А что же он собственно доказал, объясните на пальцах?» Пользуясь возможностью, попробую объяснить на пальцах и остальные задачи тысячелетия, или по крайней мере подойти в ним с другой более близкой к реальности стороны.

Равенство классов P и NP

Все мы помним из школы квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (Polynomial time) — для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняющийся за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Для примера проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. Из этого напрашивается логичный вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи которые можно легко и быстро проверить можно также легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встретил такую интересную и прозрачную формулировку:

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей.

В данном случае вопрос стоит все тот же, есть ли такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых различных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучение. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого изучаемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор. Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.

Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Римана

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2,3,5,7,11. ). С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача до сих пор так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана как раз устанавливает свойства данной функции распределения.

Многие утверждения о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга — Миллса

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Одно время теория Янга-Миллса рассматривалась лишь как математический изыск, не имеющий отношения к реальности. Однако, позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается не решенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предсказан и не так давно обнаружен нашумевший бозон Хиггса.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Течение жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для некоторых частных случаев уже найдены решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как не влияющие на конечный результат, но в общем виде решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Для уравнения x 2 + y 2 = z 2 в свое время еще Эвклид дал полное описание решений, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательства знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых и по сути является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.

В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.

Гипотеза Пуанкаре

Думаю если не все, то большинство точно о ней слышали. Чаще всего встречается, в том числе и на центральных СМИ, такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно стянуть в точку, а натянутую на бублик — нельзя». На самом деле эта формулировка справедлива для гипотезы Тёрстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.

Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любое трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же как вселенная подобна сфере, подобен обычной кофейной кружке.

Заключение

В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеющими странный вид и говорящие о не менее странных вещах. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика ненужная наука, что после школы/института, она нигде не пригодилась в жизни.

Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности многие наблюдаемые вещи. Она повсюду, в каждом доме. Как сказал В.О. Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».

Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика в соответствии с этим тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все более твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.

МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН: 7 ЗАДАЧ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

Кто из вас хочет стать миллионером? Для этого не нужно покупать лотерейный билет или грабить банк. Математический институт Клэя в США готов с радостью выплатить миллион тем, кто просто решит хотя бы одну из их математических задач. Звучит настолько просто, что вы уже готовы набросать решение любой из них? А давайте-ка сначала узнаем так ли просты эти задачки…

Как обычно, немного истории…

В начале 20 века знаменитый немецкий математик Давид Гильберт на одной из конференций представил миру 26 открытых математических проблем, требующих хорошенько пораскинуть мозгами. К концу столетия 20 из них были решены математиками всего мира. Последней, кстати, была теорема Ферма, знакомая многим из курса линейной алгебры и аналитической геометрии.

Новый список задач, представленный американским институтом Клэя в 1998 году, стал в несколько раз «скромнее» — всего 7 задач – но, как видно, и намного сложнее, ведь за 21 год существования, лишь одна из них была решена…

Так что собой представляют эти 7 задач?

Каждая из них касается какой-либо из областей математики: от теории алгоритмов до топологии и математической физики. И пусть некоторые на первый взгляд могут показаться простыми, но не просто же так за решение любой из них присуждается 1 миллион долларов! Но, пожалуй, начнем описание с той самой единственной решенной задачи. Итак…

1. Гипотеза Пуанкаре

Область изучения – топология.

Эта гипотеза доказана в 2002 году российским математиком Григорием Перльманом. Очень часто можно встретить и другое название этой знаменитой задачи – «проблема бублика». Гипотеза утверждает следующее: всякий трёхмерный объект, обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы, обязан быть сферой с точностью до деформации. Сама же история решения этой задачи тысячелетия прямо-таки, как сюжет фильма: гениальный математик из Санкт-Петербурга на несколько лет обрывает все связи с внешним миром, а потом триумфально возвращается с решением одной из 7 задач, навсегда занося своё имя в историю мировой науки! Что ещё более любопытно: от награды в 1 миллион долларов Григорий Перльман отказался.

2. Равенство классов P и NP

Область изучения – теория алгоритмов.

Перед вами два класса: P и NP. P – это множество задач, которые компьютер может решить за полиномиальное время, т.е. довольно быстро. NP – это класс задач, правильность ответа, которых можно быстро проверить.

Для простоты понимания вот вам пример: у вас есть по одной монетке номиналом 2, 3, 5, 6 и 7. Ваша задача – оплатить покупку без сдачи на сумму 21 денежной единицы. Можно ли набрать из этих монет сумму, равную 21? Задача решается методом перебора, и вот плавно мы подходим к вопросу одной из задач тысячелетия: равны ли классы N и NP? Многие ученые уверены в отрицательном ответе, но доказать свою точку зрения так пока никто и не смог. Только вот что будет, если окажется, что P=NP.

3. Уравнение Навье-Стокса

Задача, которая может быть известна некоторым по фильму «Одарённая». В решении данного уравнения заложена одна из сложнейших проблем современной физики – проблема турбулентности. Турбулентность хоть и является довольно распространённым явлением, но до сих пор остаётся почти неизученной, отчего и совершенно непредсказуемой.

Помимо самого уравнения, задача ставит перед нами и такой вопрос: если известно состояние жидкости в определённый момент времени и характеристики её движения – существует ли решение, которое будет верно для всего будущего времени? Так что, помимо проблемы турбулентности, решение этой задачи помогло бы метеорологам делать более точные прогнозы погоды, а нам – всегда вовремя брать с собой зонтик.

4. Гипотеза Римана

Область – теория чисел.

Задача, посвященная нашим любимым простым числам. Если проследить их последовательность в общем строю всех чисел, то можно прийти к тому, что какой-либо закономерности их распределения нет.

Немецкий математик Бернхард Риман предложил гипотезу, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции распределения простых чисел лежат на прямой линии. Гипотеза Римана уже была проверена для 10 триллионов решений, но полное доказательство ещё не было подтверждено, но математики утверждают, что уже совсем близко подошли к решению этой задачи тысячелетия.

5. Гипотеза Ходжа

Область – алгебраическая геометрия.

«На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов». Так звучит формулировать данной гипотезы. Немного запутанно, да?

Суть в чем: в мире нас окружают простые и сложные объекты. И, вполне логично, что сложные объекты можно описать с помощью определённого количества простых. Основная идея гипотезы состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем приближаться к форме сложного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности.

6. Теория Янга-Миллса

Область – физика элементарных частиц.

Физики Янг Чжэньнин и Роберт Миллс обнаружили связь между геометрией и физикой элементарных частиц и написали уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного воздействия, что до этого казалось невозможным. По сути, уравнения теории Янга-Миллса пытаются предсказать поведение элементарных частиц и дать общее описание 3 из 4 фундаментальных взаимодействий. Проведённые эксперименты полностью подтверждают выдвинутую теорию, однако полное обоснование до сих пор так и не найдено.

7. Гипотеза Бёрча-Свиннертон-Дайера

Область – алгебраическая геометрия. Снова.

Гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени – эллиптических кривых – и является единственным простым общим способом ранга эллиптических кривых.

Суть задачи такова: множество решений эллиптической кривой связано с поведением L-функции, которая вычисляется, как и дзета-функция гипотезы Римана, и количество рациональных решений бесконечно тогда, когда функция равна 0.

Главный вопрос: возможно ли вообще решить все задачи тысячелетия?

Как говорится: нет ничего невозможного! Терпение, труд и отличная математическая база всё перетрут. Кто знает, дорогие студенты ХНУРЭ, может быть именно вы благодаря своим знаниям разрешите оставшиеся 6 задач тысячелетия? И это касается не только тех, кто обучаться по профилю «Прикладная математика», а студентов всех факультетов ВУЗа. Так что, достаём листочки и начинаем решать – за кем будущее, как не за нами?

Нерешаемые задачи: уравнения Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, гипотеза Римана. Задачи тысячелетия

Нерешаемые задачи — это 7 интереснейших математических проблем. Каждая из них была предложена в свое время известными учеными, как правило, в виде гипотез. Вот уже много десятилетий над их решением ломают головы математики во всем мире. Тех, кто добьется успеха, ждет вознаграждение в миллион американских долларов, предложенное институтом Клэйя.

Предыстория

В 1900 году великий немецкий математик-универсал Дэвид Гильберт, представил список из 23-х проблем.

Исследования, осуществленные с целью их решения, оказали огромное влияние на науку 20 века. На данный момент большинство из них уже перестали быть загадками. В числе нерешенных или решенных частично остались:

• проблема непротиворечивости арифметических аксиом;
• общий закон взаимности на пространстве любого числового поля;
• математическое исследование физических аксиом;
• исследование квадратичных форм при произвольных алгебраических числовых коэффициентах;
• проблема строгого обоснования исчислительной геометрии Федора Шуберта;
• и пр.

Институт Клэйя

Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.

В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.

Задачи тысячелетия

В список института Клэйя изначально входили:

• гипотеза о циклах Ходжа;
• уравнения квантовой теории Янга — Миллса;
• гипотеза Пуанкаре;
• проблема равенства классов Р и NP;
• гипотеза Римана;
• уравнения Навье Стокса, о существовании и гладкости его решений;
• проблема Берча — Свиннертон-Дайера.

Эти открытые математические проблемы представляют огромный интерес, так как могут иметь множество практических реализаций.

Что доказал Григорий Перельман

В 1900 году известный ученый-философ Анри Пуанкаре предположил, что всякое односвязное компактное 3-мерное многообразие без края гомеоморфно 3-мерной сфере. Ее доказательство в общем случае не находилось в течение века. Лишь в 2002-2003 годах петербургский математик Г. Перельман опубликовал ряд статей с решением проблемы Пуанкаре. Они произвели эффект разорвавшейся бомбы. В 2010 году гипотеза Пуанкаре была исключена из списка «Нерешенные задачи» института Клэйя, а самому Перельману было предложено получить полагающееся ему немалое вознаграждение, от которого последний отказался, не объяснив причин своего решения.

Самое понятное объяснение того, что удалось доказать российскому математику, можно дать, представив, что на бублик (тор), натягивают резиновый диск, а затем пытаются стянуть края его окружности в одну точку. Очевидно, что это невозможно. Другое дело, если произвести этот эксперимент с шаром. В таком случае вроде бы трехмерная сфера, получившаяся из диска, окружность которого стянули в точку гипотетическим шнуром, будет трехмерной в понимании обычного человека, но двумерной с точки зрения математики.

Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера является единственным трехмерным «предметом», поверхность которой можно стянуть в одну точку, а Перельману удалось это доказать. Таким образом, список «Нерешаемые задачи» сегодня состоит из 6 проблем.

Теория Янга-Миллса

Эта математическая проблема была предложена ее авторами в 1954-м году. Научная формулировка теории имеет следующий вид: для любой простой компактной калибровочной группы квантовая пространственная теория, созданная Янгом и Милльсом, существует, и при этом имеет нулевой дефект массы.

Если говорить на языке, понятном для обычного человека, взаимодействия между природными объектами (частицами, телами, волнами и пр.) делятся на 4 типа: электромагнитное, гравитационное, слабое и сильное. Уже много лет физики пытаются создать общую теорию поля. Она должна стать инструментом для объяснения всех этих взаимодействий. Теория Янга-Миллса — это математический язык, с помощью которого стало возможно описать 3 из 4-х основных сил природы. Она не применима к гравитации. Поэтому нельзя считать, что Янгу и Миллсу удалось создать теорию поля.

Кроме того, нелинейность предложенных уравнений делает их крайне сложными для решения. При малых константах связи их удается приближенно решить в виде ряда теории возмущений. Однако пока непонятно, как можно решить эти уравнения при сильной связи.

Уравнения Навье-Стокса

С помощью этих выражений описываются такие процессы, как воздушные потоки, течение жидкостей и турбулентность. Для некоторых частных случаев аналитические решения уравнения Навье-Стокса уже были найдены, однако сделать это для общего пока никому не удалось. В то же время, численное моделирование для конкретных значений скорости, плотности, давления, времени и так далее позволяет добиться прекрасных результатов. Остается надеяться, что у кого-нибудь получится применить уравнения Навье-Стокса в обратном направлении, т. е. вычислить с их помощью параметры, либо доказать, что метода решения нет.

Задача Берча — Свиннертон-Дайера

К категории «Нерешенные задачи» относится и гипотеза, предложенная английскими учеными из Кембриджского университета. Еще 2300 лет назад древнегреческий ученый Эвклид дал полное описание решений уравнения x2 + y2 = z2.

Если для каждого из простых чисел посчитать количество точек на кривой по его модулю, получится бесконечный набор целых чисел. Если конкретным образом «склеить» его в 1 функцию комплексной переменной, тогда получится дзета-функция Хассе-Вейля для кривой третьего порядка, обозначаемая буквой L. Она содержит информацию о поведении по модулю всех простых чисел сразу.

Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули гипотезу относительно эллиптических кривых. Согласно ей, структура и количество множества ее рациональных решений связаны с поведением L-функции в единице. Недоказанная на данный момент гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера зависит от описания алгебраических уравнений 3 степени и является единственным сравнительно простым общим способом расчета ранга эллиптических кривых.

Чтобы понять практическую важность этой задачи, достаточно сказать, что в современной криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, и на их применении основаны отечественные стандарты цифровой подписи.

Равенство классов p и np

Если остальные «Задачи тысячелетия» относятся к чисто математическим, то эта имеет отношение к актуальной теории алгоритмов. Проблема, касающаяся равенства классов р и np, известная также, как проблема Кука-Левина, понятным языком может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что положительный ответ на некий вопрос можно проверить достаточно быстро, т. е. за полиномиальное время (ПВ). Тогда правильно ли утверждение, что ответ на него можно довольно быстро отыскать? Еще проще эта задача звучит так: действительно ли решение задачи проверить не труднее, чем его найти? Если равенство классов р и np будет когда-либо доказано, то все проблемы подбора можно будет решать за ПВ. На данный момент многие специалисты сомневаются в истинности этого утверждения, хотя не могут доказать обратное.

Гипотеза Римана

Вплоть до 1859 года не было выявлено какой-либо закономерности, которая описывала бы, как распределяются простые числа среди натуральных. Возможно, это было связано с тем, что наука занималась другими вопросами. Однако к середине 19 столетия ситуация изменилась, и они стали одними из наиболее актуальных, которыми начала заниматься математика.

Гипотеза Римана, появившаяся в этот период — это предположение о том, что в распределении простых чисел существует определенная закономерность.

Сегодня многие современные ученые считают, что если она будет доказана, то придется пересмотреть многие фундаментальные принципы современной криптографии, составляющие основу значительной части механизмов электронной коммерции.

Согласно гипотезе Римана, характер распределения простых чисел, возможно, существенно отличается от предполагаемого на данный момент. Дело в том, что до сих пока не было обнаружено какой-либо системы в распределения простых чисел. Например, существует проблема «близнецов», разность между которыми равна 2. Этими числами являются 11 и 13, 29. Другие простые числа образуют скопления. Это 101, 103, 107 и др. Ученые давно подозревали, что подобные скопления существуют и среди очень больших простых чисел. Если их найдут, то стойкость современных криптоключей окажется под вопросом.

Гипотеза о циклах Ходжа

Эта нерешенная до сих пор задача сформулирована в 1941 году. Гипотеза Ходжа предполагает возможность аппроксимации формы любого объекта путем «склеивания» вместе простых тел большей размерности. Этот способ был известен и успешно применяется достаточно давно. Однако не известно, до какой степени можно производить упрощение.

Теперь вы знаете, какие нерешаемые задачи существуют на данный момент. Они являются предметом исследования тысяч ученых во всем мире. Остается надеяться, что в ближайшее время они будут решены, а их практическое применение поможет человечеству выйти на новый виток технологического развития.