Уравнение юла уокера для модели авторегрессии

Об авторегрессионном оценивании спектральной плотности стационарного сигнала

Методы спектрального оценивания стационарных случайных процессов, основанные на быстром преобразовании Фурье (БПФ), хорошо известны и широко применяются в инженерной практике. К их недостаткам следует отнести, в частности, высокую дисперсию (низкую точность) оценки при недостаточно длительном интервале наблюдения за процессом, что визуально обычно проявляется в сильной «изрезанности» графика спектральной плотности мощности(СПМ). Одним из альтернативных методов спектрального оценивания является авторегрессионный метод, рассмотренный на примере ниже, который в инженерной практике известен гораздо меньше. Метод во многих случаях позволяет сравнительно просто получить гораздо более качественную оценку СПМ (рис.1), а иногда и более глубокие сведения об исследуемом случайном процессе.

Рис.1 Классическая и авторегрессионная оценка СПМ «короткого» процесса

Для демонстрационных целей был синтезирован дискретно-временной сигнал (последовательность) x[i]. Сигнал смоделирован при помощи ARMA-модели (цифрового фильтра), имитирующей свойства механической системы (1) — перемещение материальной точки x(t) в «одномассовом» осцилляторе с параметрами m=1 кг, c= 100 Н/м, k=2,5 кг/с, и силовым возмущением — гауссовым «белым»(с учетом дискретизации) шумом f(t) с дисперсией 1 Н 2 , интервал дискретизации по времени Δt=0,12 с.

Построена модель (2). Способ построения модели уже рассматривался ранее здесь .

x[i] — 0.6388· x[i-1] + 0.7408· x[i-2] = 0.009667·f[i-1] (2)

С помощью (2) синтезирована последовательность в 50 тыс. отсчетов, для чего использован генератор нормально-распределенной случайной величины randn( ) общеизвестной программной среды.

После завершения моделирования процесса x[i], количественные параметры модели (2) предполагаются неизвестными — для исследования доступен только сам процесс и, в какой-то мере, сведения о свойствах модели в самых общих чертах.

Было проведено спектральное оценивание 50000-точечной последовательности методом Уэлча, размер сегмента принят равным 256 отсчетам, применено окно Хэмминга и 60% перекрытие сегментов. Среднеквадратичное отклонение такой оценки, исходя из того, что последовательность имеет длину около 200 неперекрывающихся сегментов, может быть примерно оценено, как

Далее, предполагая, что в реальных условиях в эксперименте для исследования доступна гораздо менее длинная последовательность, проведены исследования только по первым 500 отсчетам этого сигнала.

Получена оценка методом Уэлча с теми же параметрами. СКО такой оценки

70%, заметна очень сильная «изрезанность» графика (рис.2).

Рис.2 Оценивание СПМ «длинного» и «короткого» процессов классическими методом

Исходя из того, что примерный вид функции (графика) СПМ процесса нам известен (например, исходя из известной физической природы процесса — одномассовый осциллятор под белым шумом, либо из оценивания аналогичных процессов, для которых доступны более длинные реализации), принято решение об оценивании с помощью модели авторегрессии второго порядка (AR(2), или =ARMA(2,0)).

Определение порядка модели — весьма важный момент, ошибка в порядке может повлечь очень грубые ошибки в результатах оценивания. Существуют методы, здесь пока не рассматриваемые, помогающие в определении порядка модели на основании только самого анализируемого процесса.

Оценивание параметров модели поизведено с помощью известных уравнений Юла-Уолкера для авторегрессионного процесса (несущественно модифицированных с целью некоторого упрощения структуры скрипта ):

Как видно из уравнений, для определения параметров понадобятся только три первых члена авторегрессионной последовательности Rxx[0], Rxx[1], Rxx[2], которые и были оценены по исходной 500-точечной последовательности x[i] корелограммным методом, СКО такой оценки

(Кстати, видно, что «минусы» перед a₁, a2 ₂и т.д, крайне неудобны. Они и появились-то из-за преимущественно «предсказательного» использования ARMA-моделей в экономике, в более ранних «инженерных» источниках их нет. Уже сомневаюсь, что надо было здесь использовать такое понимание AR-коэффициентов.)

Корреляционная матрица в (3) на практике всегда имеет строгое диагональное преобладание | Rxx[0] | >| Rxx[i] |, в том числе по причине присутствия шумов наблюдения, вследствие чего трудностей с ее обращением (нахождением решения(3)) не возникает.

(Для пояснения вопроса о величине статистической ошибки моделирования интересно упомянуть, например, оценку Rxx[0] =2.2606e-04 м 2 , полученную по 500 отсчетам, в сравнении с полученными корелограммной оценкой дисперсии по 50000 отсчетам, = 2.4238e-04 м 2 и оценкой по подынтегральной площади СПМ, полученной методом Уэлча по 50000 отсчетам (рис.2), = 2.4232e-04 м 2 )

После подстановки найденных оценок Rxx[i] имеем:

Определены следующие параметры модели a₀=11325.9; a₁=7090.1; a₂=-8411.5; Как видно из (3), дисперсией гипотетического вхоящего белого шума здесь задались =1, определив вместо нее коэффициент усиления a₀. Авторегрессионная оценка СПМ построена путем преобразования Фурье над последовательностью коэффициентов a₀, a₁, a₂:

Рис.3 Классическая и авторегрессионная оценка СПМ «короткого» процесса

Таким же образом, по выражению, аналогичному (5), был ранее построен и «теоретический» график СПМ, только коэффициенты модели там, естественно, были взяты иные (из (2)).
Из графика видно, что AR-оценка СПМ получилась весьма близка к теоретически ожидаемой. Помимо графика, есть возможность попытаться оценить некоторые аналитические характеристики процесса и связанной с ним механической системы. В данном случае это «полюса» модели, численно характеризующие частоты «резонансных» пиков модели и связанные с ними «добротности».

Из (5) находим соотношение для поиска разрывов передаточной функции нашей модели, используя преобразование Лапласа (заменяя jω на λ=-ε+ jω):

Для полученной AR- модели таким способом вычислены λ_1,2= -1.5427 ± j· 10.1514, что весьма близко к исходной модели, использованной для генерации процесса
λ_1,2теор=-1.2500 ± j · 9.9216 (т.е положения резонансного пика соответственно, 1,615 Гц (в теории) и 1,579 Гц (определено)).

Рис.4 О понятии «полюсов»

Несколько замечаний и рекомендаций в заключение.

1. «Избыточный» (слишком большой) порядок AR-модели обычно гораздо менее опасен, чем недостаточный, с точки зрения риска получения оценки СПМ с грубыми ошибками.
2. Как правило, AR-моделирование позволяет довольно точно определить резонансные частоты jω_k и гораздо мене точно — ширины соответствующих им «пиков» -ε_k
3. ARMA — модель может получиться гораздо меньшего порядка (размера), чем AR-модель, к чему вроде бы следует стремиться для повышения точности модели, по мнению многих источников. Однако оценивание MA-части модели гораздо более затруднительно и может вообще включать в себя первым этапом получение AR-модели большого порядка с целью ее дальнейшего преобразования в MA-часть. В связи с этим источниками высказывается также альтернативное мнение о целесообразности применения для целей спектрального оценивания именно AR-моделей, пусть и большего порядка.
4. Для очень коротких, а также для нестационарных процессов вместо матрицы оценок автокорреляционной функции в (3) обычно используют матрицу ковариаций.
5. Для подробного изучения вопроса авторегрессионного спктрального оценивания можно рекомендовать С.Л. Марпл-мл. «Цифровой спектральный анализ и его приложения», М., Мир, 1990

Анализ временных рядов 1

Дата публикации Mar 8, 2019

Анализ данных временных рядов является неотъемлемой частью работы любого ученого, особенно в области количественной торговли. Финансовые данные являются наиболее запутанными данными временных рядов и часто кажутся ошибочными. Тем не менее, на основе этих нескольких статей я создам основу для анализа таких временных рядов, сначала используя хорошо обоснованные теории, а затем углубившись в более экзотические, современные подходы, такие как машинное обучение. Итак, начнем!

ARIMA Модель

Первая модель, которую мы собираемся обсудить, — это модель ARIMA. Он обозначает модель авторегрессивного интегрированного скользящего среднего. Да, это много, чтобы принять. Однако, по сути, он просто объединяет две более простые модели, модель авторегрессии и скользящую среднюю, обе из которых мы рассмотрим ниже. Перед этим нам необходимо установить концепцию стационарности, так как это важно для возможности точно моделировать и прогнозировать временные ряды.

стационарность

Концепция стационарности происходит от случайных процессов, и иногда результатом этих случайных процессов является белый шум. Ниже приводится широкое определение стационарности:

Стационарный временной ряд — это временной ряд, статистические свойства которого, такие как среднее значение и стандартное отклонение, не зависят от времени.

Для тех, кто имеет опыт работы со статистикой и стохастикой, следующее будет более формальным определением

Пусть — случайный процесс и

является кумулятивной функцией распределения безусловного совместного распределения . Тогда является строго стационарным, если и только если,

Однако в большинстве приложений мы не проверяем стационарность вручную, используя стохастик. Мы используем такие тесты, как тест Дикки-Фуллера и Аугментированный тест Дикки-Фуллера.

Существует также более слабое понятие стационарности, которое в большинстве случаев является достаточным для удовлетворения. Эта слабая стационарность определяется как ожидаемое значение, и ковариация временного ряда не изменяется со временем.

Модель авторегрессии (AR)

Модель авторегрессии концептуально проста: она использует значения запаздывания в качестве регрессоров для простой модели линейной регрессии для текущего / следующего временного шага. Формально это:

Модель AR может выглядеть аналогично обычной регрессии наименьших квадратов (OLS), где предыдущие временные шаги являются регрессорами, а текущее значение x является прогнозируемой переменной. Я думаю, что нам следует уделить время, чтобы понять разницу между регрессией OLS и моделью AR. Рассмотрим следующую проблему OLS:

У вас есть данные X и Y, и вы хотите найти оценку OLS формулы регрессии в форме:

Цель OLS — найти оценку бета-версии, которая минимизирует суммарную квадратичную ошибку. Другими словами, найти минимум

Разложив его и дифференцируя уравнение, мы можем найти стационарную точку, которая оказывается

Это решение для оценки OLS. Однако ключевая проблема в применении этого метода к моделям AR состоит в том, что данные X и Y не находятся в хороших матрицах, и их трудно преобразовать в такие матрицы каждый раз, когда мы работаем с данными. Таким образом, альтернативный метод используется для нахождения коэффициентов лаговых переменных в моделях AR. Прежде чем мы посмотрим на методы, чтобы найти коэффициенты, мы рассмотрим другие компоненты модели ARIMA.

Модель скользящего среднего (MA)

Модель скользящего среднего учитывает предыдущие термины ошибок и использует ее для моделирования текущего значения временного ряда. Формально,

Модель MA выглядит очень похоже на модель AR. Однако есть несколько ключевых отличий, на которые следует обратить внимание:

1. Члены ошибки в модели MA непосредственно влияют на текущее значение временного ряда, тогда как в модели AR член ошибки от предыдущих временных шагов присутствует только неявно.
2. Члены ошибки в модели MA влияют только на временной ряд для q шагов в будущем, но в модели AR члены ошибки влияют на временной ряд на бесконечное время в будущем.

Это ключевое отличие дает нам естественное расширение модели путем их объединения. Именно это и есть модель ARMA. Разница между моделью ARMA и моделью ARIMA заключается в интеграции. В контексте временных рядов интеграция относится к степени разницы, необходимой для того, чтобы сделать временной ряд стационарным временным рядом. Таким образом, если у нас есть временной ряд y, и мы различие его d раз, и пусть это будет называться х, нам просто нужно применить две вышеупомянутые модели вместе, чтобы получить следующую модель ARIMA:

Теперь, когда мы понимаем нашу модель ARIMA, мы можем приступить к изучению того, как оцениваются коэффициенты.

Оценка коэффициентов

Существует несколько методов для расчета коэффициентов модели, и мы рассмотрим два из них. Первый метод использует набор уравнений, называемых уравнениями Юла-Уокера. Уравнения Юла-Уокера основаны на методе моментов в статистике Сначала рассмотрим модель AR, поэтому рассмотрим автоковариации модели AR (p):

Мы можем записать это в матричной форме, чтобы получить: