Уравнение замедления нейтронов в среде без утечки

Модель непрерывного замедления. Возраст нейтронов

В гл. 2 была рассмотрена диффузия моноэнергетических нейтронов (подразумевались тепловые) в среде конечных размеров. Обмен энергий с ядрами при этом не учитывался, и все нейтроны имели одну и ту же энергию после любого числа столкновений. В дальнейшем (гл. 3) рассматривалось замедление нейтронов в бесконечной однородной и гомогенной среде с равномерно распределенными источниками, т. е. в отсутствие диффузии нейтронов. Такое изложение в первую очередь обусловлено стремлением более наглядно представить физическую сущность процессов диффузии и замедления. Необходимо также отметить, что в чаще всего преобладающую роль играет лишь один из этих процессов. Тем не менее, при вычислении распределения плотности нейтронов ядерном реакторе нельзя разделять процессы диффузии и замедления.

Конечно, было бы желательно неким образом совместить эти модели. Существует несколько способов нахождения пространственного распределения замедляющихся нейтронов. Вначале остановимся на сравнительно простом, основанном на модели непрерывного замедления.

Суть этой модели удобно выяснить с помощью рис. 3.5, на котором представлена качественная зависимость 1n (E_f/E) от времени t.

Рис. 3.5 Зависимость 1n (E_f/E) от времени t

Эта зависимость имеет ступенчатый вид. Высота ступенек постоянна почти во всем интервале энергии замедляющихся нейтронов и равна средней логарифмической потере энергии на одно столкновение . При замедлении во всех средах, кроме водородсодержащих, нейтрон испытывает много соударений прежде чем станет тепловым. В таких средах высота ступенек мала, поэтому реальную зависимость с хорошей точностью можно заменить плавной (штриховая кривая на рис. 3.5). Таким образом, основное допущение данной модели заключается в том, что процесс замедления считается непрерывным.

Итак, использовав модель непрерывного замедления, получим уравнение, описывающее пространственное распределение замедляющихся нейтронов. Рассмотрим простейший случай.когда поглощение нейтронов в процессе замедления отсутствует (Σ_a=0), а источник испускает моноэнергетические нейтроны с энергией E_f . Даже если все нейтроны образуются с одинаковой энергией, они не будут обладать одной и той же энергией по истечении некоторого времени с момента рождения из-за статистического характера процесса рассеяния. Другими словами, график зависимости 1n (E_f/E) от времени t(рис. 3.5) меняется от нейтрона к нейтрону. Поyятно, что этот разброс нейтронов по энергиям в любой момент времени будет тем меньше, чем более тяжелые ядра используются в качестве замедлителя.

Примем, что все нейтроны, диффундировавшие в течение времени tпосле рождения, имеют скорость v. Тогда число столкновений, испытываемых одним нейтроном за время dt, равно vdt/λ_s. В то же время число столкновений нейтрона в интервале энергии dE есть dE/ ζE, а в шкале летаргии (du/ ζ) .

Иначе говоря, мы связываем через число столкновений dn переменные времени и энергии(летаргии):

При отсутствии источников и поглощения нейтронов уравнение диффузии для плотности нейтронов n(r,t) примет вид:

Имея связь времени t с летаргией u перейдем в последнем уравнении от плотности n(r, t) к плотности n(r, и). Поскольку

Здесь Ф(г, u)=vn(r,u)-поток нейтронов на единицу интервала летаргии. Величина, стоящая в квадратных скобках, есть плотность замедления q(r, и)— плотность замедления в среде без поглощения.

Ее по-другому называют поток нейтронов по энергетической оси – это другое определение – плотность замедления нейтронов или поток нейтронов по энергетической оси.

Теперь вместо летаргии и введем новую независимую переменную, называемую возрастом нейтронов:

τ(u) = (3.13a)

Эквивалентное определение в дифференциальной форме:

dτ(u)/du = (3.13б)

Тогда уравнение (3.12) запишется в виде :

Δq(r, τ)=∂q(r, τ)/∂ τ (3.14а)

Это уравнение и называется уравнением возраста(в среде без поглощения).

В среде с источниками оно примет вид

Δq(r, τ)=∂q(r, τ)/∂τ +S(r) δ(τ) (3.14б)

где S(r) —скорость генерации нейтронов в единицу времени и в единице объема; δ(τ) -дельта-функция Дирака. Отметим, что уравнение возраста по своему виду совпадает с нестационарным уравнением теплопроводности, решения которого достаточно хорошо известны. Собственно, сведение нейтронно-физических уравнений к виду хорошо изученных и было целью построения данной модели.

Для сред с поглощением математический аппарат усложняется, но смысл основных понятий не меняется.

Для сред и источников вводятся специальные граничные условия.

Возраст нейтронов τ был введен чисто формально при выводе уравнений возраста и замедления и определяется выражением (3.13а-б).

Однако он имеет и физический смысл и, более того, его можно измерить в эксперименте.

Физический смысл. На рис. 3.6 показано распределение плотности замедления j(r, τ) вблизи точечного источника (τ₁ 3/2 в точке, где расположен источник. Поэтому, когда возраст τ мал (энергия нейтронов близка к энергии нейтронов источника), кривая оказывается высокой и узкой. По мере замедления нейтронов (τ увеличивается) кривая становится более низкой и размытой. Такого характера кривых следует ожидать и из физических соображений. Нейтроны больших энергий (кривая τ₁ ) испытали в среде мало столкновений и не успели продиффунднровать далеко от источника. Нейтроны, замедлившиеся до низких энергий (большие τ), испытали много столкновении, успели продиффунднровать на значительные расстояния и распределены в среде более или менее равномерно (кривая τз). Естественно, площадь под кривой при всех значениях т остается постоянной. Это означает, что число нейтронов всех энергий в единицу времени одинаково и равно S_T.

Рис. 3.6 Распределение плотности замедления j(r, τ) вблизи точечного источника (τ₁ 2 (τ)> =6 τ

Следовательно, возраст нейтронов есть 1/6 среднего квадрата расстояния (по прямой), на которое смещается нейтрон при замедлении от энергии источника (соответствующего нулевому возрасту) до данной энергии, отвечающей возрасту τ.

Время замедления нейтронов в среде активной зоны

Если l_s =1/S_s — средняя длина свободного пробега рассеяния нейтронов в среде, то за время dt нейтрон со скоростью v испытывает v dt/ l_s = vS_sdt рассеяний.

С другой стороны, нейтрон за время dt замедляется в элементарном интервале энергий dE ниже энергии Е, и то же число рассеяний можно вы­разить как dE/xE. Приравнивая эти величины, имеем:

vS_sdt = dE/xE, откуда dt = dE/(xS_svE) =

Интегрируя последнее выражение в пределах от Е_о до Е_с, имеем:

. (5.7.1)

Подсчёт по формуле (5.7.1) для трёх известных замедлителей тепло­вых реакторов даёт следующие результаты:

— для воды в нормальных условиях t_з » 1.7 . 10 -5 c;

— для графита (плотностью g = 1.6 г/см 3 ) t_з » 1.57 .10 -4 c;

— для бериллия (плотностью g = 1.85 г/см 3 ) t_з » 77 .10 -5 c.

О том, что время замедления — величина порядка нескольких стоты­сячных долей секунды, нам не раз придётся вспомнить при изучении разде­ла кинетики реактора.

Краткие выводы

На завуалированный в названии темы 5 вопрос: как процесс замедления нейтронов влияет на размножающие свойства реактора? — можно кратко от­ветить так:

а) замедление нейтронов в реакторе большей или меньшей своей ин­тенсивностью воздействует на один из шести сомножителей эффективного коэффициента размножения — вероятность избежания утечки замедляющихся нейтронов (p_з);

б) величина p_з = exp(-B 2 t_т) определяется двумя сложными парамет­рами — возраст тепловых нейтронов в реакторе t_т и геометрический па­раметр реактора B 2 ;

в) возраст тепловых нейтронов t_т — комплексная характеристика за­медляющих свойств среды активной зоны, отражающая её способность да­вать определённое среднеквадратичное пространственное смещение нейтро­нов в процессе их замедления — от точки рождения быстрого нейтрона до точки, где он снижает свою энергию до уровня энергии сшивки (т.е. ста­новится тепловым); величина возраста тепловых нейтронов в каждом одно­родном материале в каждом определенном его термодинамическом состоянии — своя;

г) возраст тепловых нейтронов t_т = ln (E_o/E_c)/3xS_sS_tr, кроме замедляющей способности среды xS_s, содержит величину S_tr — транспортного макросечения среды, представляющую собой величину макросечения рассеяния этой среды, скорректированную с учётом анизотропии рассеяния; поэтому и потребовалось вспомнить физическое понятие анизотропии рассеяния (неравновероятности рассеяния нейтронов ядрами по разным направлениям) и её меры — среднего косинуса угла рассеяния, величина которого определяется только массой ядер-рассеивате­лей (m » 2/3A);

д) величина возраста тепловых нейтронов зависит от температуры среды: в твёрдых веществах она слабо уменьшается за счёт температурного ужестчения спектра тепловых нейтронов и возрастания энергии сшивки; в жидкостях и газах — существенно увеличивается за счёт температур­ного уменьшения плотности этих сред; в реакторах с водой под давлением величина возраста тепловых нейтронов с увеличением средней температуры активной зоны также однозначно возрастает;

е) мы познакомились с уравнением возраста Ферми, решение которого позволяет теоретически найти пространственно-энергетическое распределение замед­ляющихся нейтронов в объёме активной зоны, а в практическом плане воз­растного приближения — скорость генерации тепловых нейтронов в актив­ной зоне теплового реактора;

ж) спектр замедляющихся нейтронов (спектр Ферми) показывает, что распределение замедляющихся нейтронов по энергиям подчинено закону n_з(E)

E -3/2 для любых не поглощающих замедляющиеся нейтроны сред;

з) время замедления t_з, составляющее часть времени жизни нейтронов, — величина поряд­ка 10 -5 с в чистых замедлителях и в активных зонах реальных реакторов.

замедление нейтронов

ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ — уменьшение кинетич. энергии E нейтронов в результате многократных столкновений их с атомными ядрами среды. Механизм 3. н. зависит от энергии нейтронов. Если E больше порога неупругого рассеяния нейтрона на ядре (E ну @0,1 — 10 МэВ), то нейтроны расходуют энергию гл. обр. на возбуждение ядер и ядерные реакции, сопровождающиеся вылетом нейтронов. При одном соударении нейтрон в среднем теряет значит. долю своей энергии и после небольшого числа столкновений (часто одного) переходит в область энергий E ну . Дальнейшее 3. н. происходит только за счёт упругого ядерного рассеяния. Если E/0,1-0,3 эВ, то можно пренебречь тепловым движением и хим. связью атомов среды и рассматривать ядра как свободные и покоящиеся. При этом рассеяние практически изотропно в системе центра масс нейтрон-ядро, и при одном соударении с ядром с массовым числом А нейтрон с энергией E с равной вероятностью может передать ядру любую энергию в интервале от 0 до 4AE/(A+1) 2 . Соответственно, его ср. потеря энергии равна 2АE/(A+1) 2 , т. е. пропорц. E, а среднелогарифмическая (усреднённая по углам рассеяния нейтронов) потеря энергии при одном соударении:

(E и E’ — энергии до и после соударения). Т. о., x не зависит от энергии нейтрона. Поэтому x удобно использовать как характеристику упругого 3. н. (для среды, состоящей из смеси ядер с разными А, x усредняется по концентрациям с весом, пропорц. сечению рассеяния s р , что может привести к слабой зависимости x от E). Для водорода x = 1 и монотонно убывает с ростом А (см. табл.).

Параметры упругого замедления нейтронов в некоторых веществах

* При З. н. от ср. энергии нейтронов деления до тепловой энергии.

Ср. число столкновений m, требуемое для 3. н. от энергии E 0 до E, равно m=u/x, где величина u=ln(E 0 /E) наз. летаргией нейтронов. Захват нейтронов ядрами в лёгких веществах в процессе 3. н. несуществен, т. к. сечения захвата s 3 нейтронов малы по сравнению с сечением рассеяния s р ; в тяжёлых веществах из-за большого т заметное число нейтронов может захватиться при 3. н. до малых энергий. Доля нейтронов, избежавших захвата при 3. н. от энергии E 0 до E, равна

где R g (E 0 , E) — т. н. резонансный интеграл захвата нейтронов, равный:

Энергетич. распределение упруго замедляющихся нейтронов N(E )в случае непрерывно излучающегося моноэнергетич. нейтронного источника интенсивностью Q нейтронов в 1с с энергией нейтронов E 0 в большом (утечкой нейтронов можно пренебречь) объёме однородного вещества в отсутствие захвата описывается ф-лой (спектр Ферми):

где l p — длина свободного пробега нейтрона до рассеяния, v — его скорость. Отношение x/l p наз. замедляющей способностью вещества. Учёт захвата приводит к появлению в ф-ле (4) множителя Р(E, E 0 ), т. е. сдвигает спектр в сторону больших энергий («ужесточает»). В случае импульсного источника нейтроны при упругом 3. н. в однородной среде после I/x соударений в каждый момент времени t после импульса группируются по энергии вблизи ср. энергии

(m n — масса нейтрона), причём тем теснее, чем тяжелее среда [с дисперсией].

Эта особенность позволяет измерять энергию нейтронов по времени замедления в тяжёлых замедлителях (см. Нейтронная спектроскопия). Время 3. н. при E 0 >>E определяется ф-лой (5), т. е. пропорционально l p /x, в Рb при t=4.10 -4 c. Диффузию нейтронов при 3. н. удобно описывать в терминах плотности замедления q, т. е. числа нейтронов