Уравнение затухающих колебаний дано в виде x = 5 e-0,25t sin(п/2 t) м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, T, 2T, 3T и 4T.
Готовое решение: Заказ №8366
Тип работы: Задача
Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)
Предмет: Физика
Дата выполнения: 21.08.2020
Цена: 209 руб.
Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.
Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!
Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:
№1 12.45. Уравнение затухающих колебаний дано в виде x = 5 e-0,25t sin(п/2 t) м. Найти скорость колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, T, 2T, 3T и 4T.
Уравнение затухающих колебаний по закону синуса имеет вид: , где – начальная амплитуда колебаний; – зависимость от времени амплитуды колебаний; – коэффициент затухания; – циклическая частота затухающих колебаний; – начальная фаза колебаний. Сравнивая общее уравнение с заданным, делаем вывод, что циклическая частота затухающих колебаний равна: рад.
| Если вам нужно решить физику, тогда нажмите ➔ заказать контрольную работу по физике. |
| Похожие готовые решения: |
- Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на x1 = 5 см, а при втором (в ту же сторону) – на x2 = 4 см. Найти время релаксации t, т. е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз, где e – основание натуральных логарифмов.
- Период T0¬ собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период T того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту vрез колебаний.
- Жёсткость пружины рессоры вагона k = 5•105 Н/м. Масса вагона грузом 4•104 кг. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости вагон начнёт максимально раскачиваться вследствие удара колёс о стыки рельс, если длина рельса 12 м?
- Уравнение колебаний имеет вид x = A sin2пv1t, причём амплитуда A изменяется со временем по закону A = A0 (1 + cos2пv2t). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и результирующего колебаний для A0 = 4 см, v1 = 2 Гц, v2 = 1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Затухающие колебания
Определение затухающих колебаний
Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.
Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.
Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием
Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($<\overline
\[<\overline
где $\beta $ — коэффициент сопротивления.
Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:
где $\dot
(где $<\omega >_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:
Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).
Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:
где $\omega =\sqrt<<\omega >^2_0-<\gamma >^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ — постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll <\omega >_0$, $\omega \approx <\omega >_0$, параметр $A_0e^<-\gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.
Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.
Диссипация энергии при затухающих колебаниях
Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.
Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:
\[\frac
где $\frac
Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac
В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:
Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:
где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.
Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:
$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.
Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания
Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac<1><\gamma >$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.
Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.
Период затухающих колебаний считают равным:
Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:
называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):
называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.
Примеры задач с решением
Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?
Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:
По условию задачи имеем:
С другой стороны:
где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:
Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac
Ответ. $\gamma =\frac<<\ln n\ >><\Delta t>$
Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?
Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:
Фазовая траектория затухающего колебания, если
\[<\overline
представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.
Гармоническое колебательное движение и волны
12.41. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = sinPt и y = 2sin(Pt+P/2). Найти траекторию результирующего движения точки.
12 42. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х = sinPt a y = 4sin(Pt + P). Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее с нанесением масштаба.
12.43. Период затухающих колебаний T = 4с; логарифмический декремент затухания N = 1.6; начальная фаза φ = 0. При t=T/4 смещение точки x = 4,5 см. Написать уравнение движения
этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов.
12.44. Построить график затухающего колебания, данного
уравнением x=5e -0,1t sinP/4t м.
12.45. Уравнение затухающих колебаний дано в виде x=5e -0,25t sinP/2tм. Найти скорость v колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, T, 2T, 3Т и 4T,
12.46. Логарифмический декремент затухания математического маятника N = 0.2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?
12.47. Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t = 1мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l= 1м.
12.48. Математический маятник длиной l = 24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: а) N = 0,01; б) N = 1.
12.49. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания N = 0,2 . Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?
12.50. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t = 3 мин?
12.51. Математический маятник длиной l = 0,5м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на х1 = 5 см, а при втором ( в ту же сторону) — на x2 = 4см. Найти время релаксации t, т. е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз, где е — основание натуральных логарифмов.
12.52. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на dl = 9,8см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания δ, чтобы: а) колебания прекратились через время t = 10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвращается в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был равным N = 6 ?
12.53. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой Amax = 7см, начальной фазой φ = о и коэффициентом затухания δ = 1,6 см -1 . На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид х = 5sin(10Pt-3P/4) см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.
12.54. Гиря массой m = 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания δ= 0,75 см -1 . Жесткость пружины k = 0,5кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки от частоты внешней периодической силы, если известно, что максимальное значение внешней силы F0 = 0,98 Н. Для построения .трафика найти значение А для частот: w= 0, w= 0,5, w = 0,75, w = w0, w = w=1,5w0 и w = 2w0, где w0— частота собственных колебаний подвешенной гири.
12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии l = 30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на x0 = 2 см под действием груза массой m0 = 1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски M= 10 кг.
12.56. Найти длину волны λ колебания, период которого T = 10 -14 с. Скорость распространения колебаний с = 3 * 10 8 м с.
12.57. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 500 Гц и амплитуду A =0.25 мм. распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость Vmax частиц воздуха.
12.58. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид
x=10sinP/2*t см. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний с = 300м*с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии
l = 600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t= 4 с после начала колебаний.
12.59. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = 4sin600Pt см. Найти смещение x от положения равновесия
точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 300 м/с.
12.60. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x=sin2,5Pt см. Найти смещение х от положения равновесия, скорость v и ускорение a точки, находящейся на расстоянии
l = 20м от источника колебаний, для момента времени t = 1с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с = 100 м*с.
Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми 
Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika_46_zatuhajushhie_kolebanija.php
http://studyport.ru/zadachi/fizika/volkenshtejn/6834-garmonicheskoe-kolebatelnoe-dvizhenie-i-volny?start=2