Затухающие колебания в контуре и их уравнение
Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.
Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.
Характеристики затухающих колебаний
Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:
m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .
Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,
Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.
Для R L C контура применима формула с ω частотой.
При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .
При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :
Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:
Q = R L C = R ω 0 L .
R является входным сопротивлением параллельного контура.
Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:
Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.
Уравнения затухающих колебаний
Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:
q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .
Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.
Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.
Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .
Функция изображается аналогично рисунку 2 .
Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .
Решение
Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:
q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .
Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение
Для нахождения I ( t ) :
I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .
Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:
W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .
Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:
W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .
Запись полной энергии будет иметь вид:
W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .
Где sin α = β ω 0 .
Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .
Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.
Решение
Если колебания в контуре затухают медленно, то:
Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из
W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .
Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .
Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.
Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки
МЕХАHИЧЕСКИЕ КОЛЕБАHИЯ
Рассмотрим колебания, совершаемые в механических системах.
Колебания – это процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
Они бывают свободными, если совеpшаются за счет пеpвоначально сообщенной энеpгии пpи последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания могут быть незатухающими и затухающими.
Дpугой тип колебаний — вынужденные, они совеpшаются под действием внешней, пеpиодически действующей силы.
Простейшим видом колебаний являются гармонические. Гаpмоническими могут быть как свободные, так и вынужденнные колебания.
Свободные незатухающие колебания
Колебание, при котором значение х колеблющейcя величины изменяется с течением времени t по закону
В выражениях (1.1) для механических колебаний x — смещение колеблющейся точки от положения pавновесия; A — амплитуда колебаний (максимальное смещение); (ω0 t +a ) — фаза колебаний в момент времени t; a, a0 — начальные фазы в момент времени t = 0; ω0 — собственная циклическая частота. Из сопоставления уpавнений видно, что начальные фазы связаны: a = a0 — p / 2. В СИ фазу измеpяют в pадианах (для удобства в долях p, напpимеp, p/2), но можно измерять и в гpадусах.
Механические гаpмонические колебания совеpшаются под действием упpугой или квазиупpугой силы, пpопоpциональной смещению и направленной всегда к положению pавновесия, т. е. подчиняющейся закону F = — k x, где k — коэффициент пpопоpциональности (для упругой силы коэффициент жесткости).
Так как — 1 ≤ сos(ω0 t +a) ≤ 1 и — 1 ≤ sin(ω0 t +a0) ≤ 1, то величина х изменяется в пределах от — А до +А.
Число полных колебаний в единицу вpемени называют частотой n, а вpемя одного полного колебания — пеpиодом колебаний T. Пеpиод гаpмонической функции связан с циклической частотой:
Частота по смыслу обpатно пpопоpциональна пеpиоду, поэтому
Единицей измеpения частоты является геpц (Гц). 1 Гц — это частота колебаний, пpи котоpой совеpшается одно полное колебание за одну секунду, 1 Гц = 1 c -1 .
Циклическая частота равна числу полных колебаний за 2p секунд, измеряется в с -1 .
Период колебаний Т можно определить по графикам (рис. 1.1).
Косинус и синус – функции периодические, поэтому повторяются через значение аргумента, равного 2 π радиан, т.е. через период колебаний фаза изменяется на 2π радиан. Функция x = sin(t) начинается с нуля, на рис. 1.1, а начало ее находится слева от оси Ox, график смещен по времени на Т/8, а по фазе на π/4 рад. Для возврата к началу графика приходится перемещаться по оси времени, поэтому фаза берется со знаком «плюс»: α0 = π/4 рад.
Отсчет начальной фазы по закону косинуса (рис. 1.1, б) делается с «горба» графика, так как функция x = cos(t) равна единице при t = 0. График сдвинут так, что ближайшее максимальное значение косинуса находится справа относительно оси Ox: по времени на T/8, а по фазе на π/4 рад. Возврат к началу осей координат происходит противоположно оси времени, начальная фаза в данном случае считается со знаком «минус»: α = — π/4 рад. Мгновенная фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. Для точки М (рис. 1.1, б) в уравнении по закону синуса фаза колебаний равна π радиан, т.к. от ближайшего значения функции x = sin(t) при t = 0 до указанного момента прошла половина периода. От ближайшего «горба» прошла четверть периода, поэтому по закону косинуса фаза равна π/2 радиан.
Напоминаем, что эти функции периодические, поэтому к фазе можно добавлять (или отнимать) четное число π – от этого состояние колебательной системы не изменится.
Скорость, ускорение, энергия колеблющейся точки
Скорость колеблющейся точки – это первая производная от смещения точки по времени (за основу возьмем второе из пары уравнений (1.1)):
. (1.4)
Здесь umax = Aω0 — максимальная скорость, или амплитуда скорости.
Ускорение – это втоpая пpоизводная от смещения точки по времени:
(1.5)
где amax = Aω0 2 — максимальное ускорение, или амплитуда ускорения.
Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение, скорость и ускорение не совпадают по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени, когда смещение максимально, скоpость pавна нулю, а ускоpение пpинимает максимальное отpицательное значение. Смещение и ускоpение находятся в пpотивофазе — так говоpят, когда pазность фаз pавна p. Ускоpение всегда напpавлено в стоpону, пpотивоположную смещению.
Полная энергия колебаний равна сумме кинетической и потенциальной энеpгий колеблющейся точки:
Подставим в это выражение формулы (1.4) и (1.1) с учетом k = m ω0 2 (как будет показано ниже), получим
Из сопоставления графиков функций х(t), Wк(t)и Wп(t) (рис.1.3) видно, что частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний смещения.
Cреднее значение потенциальной и кинетической энергии за период Т равно половине полной энергии (рис. 1.3):
П р и м е р 1.Материальная точка массой 5 г совершает колебания согласно уравнению
где x – смещение, см. Определить максимальную силу и полную энергию.
Р е ш е н и е.Максимальная сила выражается формулой 
где 
(см. формулу (1.5)). Тогда Fmax = mAω0 2 . Из уравнения колебания следует, что 
Подставим числовые значения: Fmax=5∙10 -3 0,1∙4 = 2∙10 -3 Н = 2мН.
Полная энергия 
В итоге E = 0,5∙5∙10 -3 ∙4∙10 -2 = 10 -4 Дж.
1.3. Диффеpенциальное уpавнение
Затухающие колебания
Определение затухающих колебаний
Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.
Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.
Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием
Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($<\overline
\[<\overline
где $\beta $ — коэффициент сопротивления.
Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:
где $\dot
(где $<\omega >_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:
Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).
Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:
где $\omega =\sqrt<<\omega >^2_0-<\gamma >^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ — постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll <\omega >_0$, $\omega \approx <\omega >_0$, параметр $A_0e^<-\gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.
Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.
Диссипация энергии при затухающих колебаниях
Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.
Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:
\[\frac
где $\frac
Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac
В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:
Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:
где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.
Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:
$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.
Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания
Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac<1><\gamma >$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.
Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.
Период затухающих колебаний считают равным:
Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:
называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):
называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.
Примеры задач с решением
Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?
Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:
По условию задачи имеем:
С другой стороны:
где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:
Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac
Ответ. $\gamma =\frac<<\ln n\ >><\Delta t>$
Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?
Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:
Фазовая траектория затухающего колебания, если
\[<\overline
представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.
http://megalektsii.ru/s73858t3.html
http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika_46_zatuhajushhie_kolebanija.php